Z czego należy się przygotowywać do 1. kolokwium z Analizy

Z czego należy się przygotowywać
do 1. kolokwium z Analizy matematycznej 2.3A
Numery poniżej to numery zadań z list podlinkowanych na stronie.
Funkcje 2 i 3 zmiennych, podstawy:
1.4, 1.5.
Pochodne cząstkowe i ich zastosowania:
2.4, 2.5, 2.7, 2.8, 3.1–3.3. Zadań typu 1.7–2.3 na kolokwium nie będzie, ale
warto przynajmniej część przerobić, żeby nabrać wprawy w liczeniu pochodnych cząstkowych.
Całki podwójne i potrójne:
4.1–4.5, 5.3, 6.1, 6.2, 6.4–6.6. Nie będzie (na tym kolokwium ani na następnym) zadań z zastosowań całek, czyli całej listy 7. Należy się ich natomiast
spodziewać na egzaminie.
UWAGA!
W każdej grupie na kolokwium będą 3 zadania: jedno z podstaw funkcji
wielu zmiennych lub zastosowań pochodnych cząstkowych oraz dwa z całek
wielokrotnych. Wśród zadań z całek na pewno (w każdej grupie) znajdzie się
jedno na zamianę współrzędnych (a więc dotyczące współrzędnych biegunowych, walcowych lub sferycznych - temu będą poświęcone w większości dwa
ostatnie wykłady przed kolokwium).
Wszystkie zadania w każdej grupie będą na poziomie średnio trudnych
zadań z listy. Nie będzie kosmicznych obliczeń na kilka stron ani kruczków,
wyłącznie zadania na znajomość rzemiosła.
Nie można korzystać z kalkulatorów ani pomocy naukowych (nie mówiąc
o kolegach), więc wszystkie wzory trzeba znać na pamięć (ponieważ nie ma
zastosowań całek, to wzorów do zapamiętania też nie ma dużo).
Miłej nauki!
VERTE
Wskazówki do zadań, jakich przykłady nie pojawiły się na wykładzie:
2.5. Żeby płaszczyzna styczna w punkcie (x0 , y0 )
z − z0 =
∂f
∂f
(x0 , y0 )(x − x0 ) +
(x0 , y0 )(y − y0 ),
∂x
∂y
(1)
była równoległa do płaszczyzny π : x + y − z = 5, jej wektor normalny, ( ∂f
(x0 , y0 ), ∂f
(x0 , y0 ), −1), musi być równoległy do wektora normalnego
∂x
∂y
płaszczyzny π, czyli wektora (1, 1, −1). Ponieważ ostatnia współrzędna obu
wektorów jest taka sama, wektory muszą być równe. Wystarczy więc tyl(x0 , y0 ) = 1 = ∂f
(x0 , y0 ) (oczywiście podstako rozwiązać układ równań ∂f
∂x
∂x
wiając, jak konkretnie wyglądają pochodne cząstkowe dla zadanej funkcji),
a następnie otrzymane (x0 , y0 ) podstawić do wzoru (1). Podpunkt b) robi
się podobnie – tyle że tym razem równoległość wektora normalnego płaszczyzny i wektora kierunkowego prostej ( 21 , 12 , 1) sprowadza się do równania
(x0 , y0 ) = 12 = − ∂f
(x0 , y0 )(x − x0 ).
− ∂f
∂x
∂x
2.8 Wersor spełniający warunki podane w części a) to (cos α, sin α).
Przykład do zadania 4.4 (oraz wyjaśnienie, dlaczego jest ono istotne) pojawi
się jeszcze na wykładzie.