Wyznacznik - E-SGH
Transkrypt
Wyznacznik - E-SGH
Wyznacznik Justyna Winnicka Na podstawie podr¦cznika Matematyka. e-book M. D¦dys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kªopotowskiego. rok akademicki 2016/2017 Denicja Niech A bedzie macierz¡ kwadratow¡ stopnia n. Macierz B odwrotn¡ do macierzy A wtedy i tylko wtedy, gdy nazywamy macierz¡ AB = BA = I. Macierz odwrotn¡ do macierzy A oznaczamy symbolem Mamy wi¦c AA−1 = A−1 A = I. A−1 . Przykªad Sprawdzimy, która z macierzy macierzy A= B= 3 −2 . 2 −1 3 2 −1 2 ,C = −2 −1 −2 3 jest odwrotna do Denicja Macierz kwadratow¡ A nazywamy odwracaln¡, je±li istnieje macierz A−1 . Twierdzenie Macierz kwadratowa A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa. Twierdzenie Je±li macierz A jest nieosobliwa, to istnieje dokªadnie jedna macierz odwrotna A−1 , która tak»e jest nieosobliwa, oraz (A−1 )−1 = A. Przykªad Wyznaczymy I−1 . Twierdzenie Je±li macierz A jest nieosobliwa, to macierz AT jest nieosobliwa oraz (AT )−1 = (A−1 )T . Twierdzenie Je±li A, B s¡ macierzami nieosobliwymi stopnia (AB)−1 = B−1 A−1 . n, to macierz AB jest nieosobliwa oraz Niech A = [aij ] b¦dzie macierz¡ kwadratow¡ stopnia n > 1. Przez Aij oznaczamy macierz otrzyman¡ z macierzy A przez skre±lenie i -tego wiersza i j -tej kolumny. Denicja nazywamy tak¡ funkcj¦, oznaczan¡ symbolem det, okre±lon¡ na zbiorze wszystkich macierzy kwadratowych, »e a) je±li A = [a] (A jest macierz¡ stopnia 1), to det A = a; b) je±li A = [aij ] jest macierz¡ stopnia n > 1, to Wyznacznikiem macierzy det A = (−1)1+1 a11 det A11 + (−1)2+1 a21 det A21 + · · · + (−1)n+1 an1 det An1 . Wyznacznik macierzy A stopnia n > 1 oznaczamy równie» symbolem |A|. Przykªad Obliczymy wyznacznik macierzy stopnia drugiego A= a11 a12 a21 a22 . Bezpo±rednio z denicji dostajemy a11 a12 a21 a22 = a11 a22 − a21 a12 . det A = det = (−1)1+1 a11 det A11 + (−1)2+1 a21 det A21 = Przykªad a11 a12 a13 Obliczymy wyznacznik macierzy stopnia trzeciego A = a21 a22 a23 . Zgodnie z a31 a32 a33 a11 a12 a13 denicj¡ mamy det A = det a21 a22 a23 = a31 a32 a33 = (−1)1+1 a11 det A11 + (−1)2+1 a21 det A21 + (−1)3+1 a31 det A31 = a a a a a a = a11 det 22 23 − a21 det 12 13 + a31 det 12 13 = a32 a33 a32 a33 a22 a23 =a11 (a22 a33 − a32 a23 ) − a21 (a12 a33 − a32 a13 ) + a31 (a12 a23 − a22 a13 ) = = a11 a22 a33 − a11 a32 a23 − a21 a12 a33 + a21 a32 a13 + a31 a12 a23 − a31 a22 a13 . Do obliczania wyznacznika macierzy kwadratowej stopnia trzeciego (i tylko trzeciego) mo»na zastosowa¢ tzw. schemat Sarrusa. Po prawej stronie macierzy dopisujemy kolumny pierwsz¡ i drug¡, a nast¦pnie tworzymy iloczyny z odpowiednimi znakami: + dla & oraz − dla % . Dodaj¡c otrzymane iloczyny z odpowiednimi znakami, otrzymujemy wyznacznik macierzy. Przykªad 1 2 3 Obliczymy 1 −1 0 . 3 2 1 Twierdzenie (rozwini¦cie Laplace'a) Je±li A jest macierz¡ stopnia n ≥ 2, to a) det A = (−1)1+j a1j det A1j + (−1)2+j a2j (rozwini¦cie wzgl¦dem j -tej kolumny), det A2j + · · · + (−1)n+j anj det Anj b) det A = (−1)i+1 ai 1 det Ai 1 + (−1)i+2 ai 2 det Ai 2 (rozwini¦cie wzgl¦dem i -tego wiersza). + · · · + (−1)i+n ain det Ain Przykªad Obliczymy wyznacznik macierzy A stopnia czwartego, gdzie A= −1 0 3 2 2 −3 0 4 . 3 0 −2 1 0 3 −2 −1 Twierdzenie (wªasno±ci wyznacznika) Niech A = [aij ] b¦dzie macierz¡ kwadratow¡ stopnia n. Wtedy a) det AT = det A; b) je±li A ma kolumn¦ (wiersz) zªo»on¡ z samych zer, to det A = 0; c) je±li dwie kolumny (dwa wiersze) macierzy A s¡ proporcjonalne (w szczególno±ci równe), to det A = 0; d) je±li A jest macierz¡ trójk¡tn¡ górn¡ lub trójk¡tn¡ doln¡, to det A = a11 a22 · · · ann ; e) det In = 1. Kolejne wªasno±ci wyznacznika podamy po zdeniowaniu operacji elementarnych na wierszach (kolumnach) macierzy. Twierdzenie (Cauchy'ego) Je±li A, B s¡ macierzami kwadratowymi stopnia n, to det(AB) = det A det B. Denicja Niech A b¦dzie macierz¡ o wymiarach m × n, a B macierz¡ kwadratow¡ stopnia k otrzyman¡ z macierzy A przez skre±lenie m − k wierszy i n − k kolumn. Wyznacznik det B nazywamy minorem stopnia k macierzy A. Twierdzenie Rz¡d macierzy A o wymiarach m × n jest równy k wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje ró»ny od zera minor stopnia k macierzy A i nie istnieje ró»ny od zera minor A stopnia wi¦kszego ni» k . Przykªad Wyznaczymy rz¦dy macierzy 1 0 1 1 a) A = 2 1 1 1 , 3 7 −4 −4 b) B = I4 , 1 m m c) C = m 1 m w zale»no±ci od warto±ci parametru m ∈ R. 3 3 3 Twierdzenie Macierz kwadratowa A stopnia n jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy det A 6= 0. Przykªad 4 −3 −1 Poka»emy, »e macierz A = −1 0 1 jest osobliwa. 1 1 −2 Denicja Niech A = [aij ] algebraicznym b¦dzie macierz¡ kwadratow¡ stopnia n, gdzie n ≥ 2. elementu aij nazywamy liczb¦ dij = (−1)i+j det Aij . Macierz AD = [dij ] nazywamy macierz¡ lub macierz¡ doª¡czon¡ macierzy A. dopeªnie« algebraicznych Twierdzenie Je±li macierz A jest nieosobliwa, to A−1 = 1 (AD )T . det A Przykªad 0 0 1 Wyznaczymy macierz odwrotn¡ do macierzy A = 1 −3 −2 1 −1 1 i sprawdzimy otrzymany wynik. Dopeªnieniem Przykªad Wyznaczymy macierz odwrotn¡ do macierzy a) b) A= B= a b c d 5 4 . 3 2 (o ile istnieje), Twierdzenie Je±li macierz A jest nieosobliwa, to det A−1 = 1 . det A