Matematyka 1. 3 lista zadań
Transkrypt
Matematyka 1. 3 lista zadań
Matematyka 1. 3 lista zadań Wyznacznik macierzy kwadratowej. Wzory Cramera 1. Oblicz wyznaczniki z macierzy: 1 2 3 3 5 3 2 1 2 2 1 3 0 1 3 2 3 5 ; a) A ; b) B 3 0 2 ; c) C 0 4 3 ; d) D 1 2 3 4 5 1 7 4 1 3 2 0 1 1 0 8 1 2 7 2 1 3 2 4 4 e) 5B ; f) B C ; g) C B ; h) B ; i) 3B ; 5 3 4 j) (3B) ; k) B C ; l) B 3C ; m) I 5 ; n) 3I 4 . W odpowiednich podpunktach skorzystaj z twierdzenia Cauchy’ego oraz z faktu, że jeżeli macierz B powstaje z macierzy A przez pomnożenie ustalonego wiersza (lub kolumny) przez liczbę a to det B a det A . 20 24 35 2. Dana jest macierz A 50 30 0 . Oblicz wyznaczniki z macierzy: 10 18 42 a) A ; b) 3 A ; c) (3 A) 4 d) (3 A) T ; e) AAT . 3. Rozwiąż układ równań stosując wzory Cramera: 2 x1 x2 x4 3 5 x x 3 x 1 x1 2 x2 5 1 2 4 a) ; c) 3 x1 4 x2 7 9 x1 2 x2 x3 8 x4 0 x1 x4 2 4. Stosując wzory Cramera rozwiąż wszystkie cramerowskie układy równań z listy 1. 5. Wykorzystując wzory Cramera i wiedząc, że poniższe układy są oznaczone wyznacz z każdego z nich niewiadomą y : x 2 y z 3t 4 2 x y 3 z 3 2 x 7 y 2z 4 3 x y 5t 2 a) 3 x 4 z 0 ; b) x 3 y z 2 ; c) 7 x 3 z 4t 0 5 x 2 y 7 z 6 7 x 3 y 3z 6 2 x y 5 z 7t 2 6. Nie rozwiązując równania obliczyć wyznacznik macierzy X : x1 4 x 2 x3 3 b) 2 x1 x 2 3x3 4 ; 4 x x 5 x 6 2 3 1 3 1 1 1 a) X ; 4 2 3 3 3 1 4 1 b) X ; 1 2 2 2 4 1 6 2 1 3 c) 2 1 4 X 0 0 2 . 0 0 3 7 1 1 Wskazówka. Skorzystaj z twierdzenia Cauchy’ego. 7. Podaj przykład macierzy A i B takich że: a) det( AB) det( BA) 1; b) det( AB) det( BA) 2016 ; c) det( AB ) det( BA) 2 . Wzory Cramera x1 b1 Układ równań Ax b , gdzie A aij , x , b nazywamy układem Cramera, n n x b n n det Ai jeżeli det A 0 . Jest to układ oznaczony, który ma rozwiązanie: xi ; i 1, ..., n , det A gdzie Ai powstaje z A przez zastąpienie i-tej kolumny kolumną b .