Rachunek - prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF
Transkrypt
Rachunek - prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF
o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF 51-611 Wrocław, ul. Wieniawskiego 38 www.piotr-liszka.strefa.pl + Rachmistrz zastępowany przez maszynę cyfrową. „Matematycy wykorzystują komputery przynajmniej na sześć różnych sposobów: 1. do obliczeń numerycznych, 2. do rozwiązywania (z reguły przybliżonego) równań i układów równań algebraicznych, różniczkowych, obliczania całek itp., 3. do automatycznego dowodzenia twierdzeń, 4. do sprawdzania poprawności dowodów matematycznych, 5. przy dowodzeniu twierdzeń (uzyskuje się tzw. dowody wspomagane komputerowo), 6. do eksperymentowania z obiektami matematycznymi. Dwa pierwsze zastosowania komputerów są najwcześniejsze i niejako naturalne. Nie prowokują zatem do stawiania interesujących z punktu widzenia filozofa pytań. Maszyna cyfrowa jest tu potraktowana jak duża grupa rachmistrzów czy też udoskonalony arytmometr. Próby automatycznego dowodzenia twierdzeń mieszczą się w nurcie badań nad językami i teoriami formalnymi, a także nad sztuczną inteligencją. Warto dodać, że – jak na razie –na tym polu nie odnotowano wielu osiągnięć. Natomiast uzyskano zadowalające wyniki przy sprawdzaniu przez komputer prac matematycznych. Komputer uwalnia od często żmudnego śledzenia poprawności toku rozumowania w dowodzie. Ożywione dyskusje wywołało użycie komputera jako istotnej pomocy przy dowodzeniu twierdzeń. Istnienie wspomaganych przez komputer dowodów takich twierdzeń, których tradycyjne dowody nie są znane, sprawia, że wygłaszane są rozmaite, często kontrowersyjne, opinie na temat istoty dowodów matematycznych, metody matematyki i samej matematyki” /A. Lemańska, Eksperyment komputerowy a istnienie obiektów matematycznych, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 187-202, s. 188. + Rachuba czasu określa poszczególne lata, stulecia i tysiąclecia wedle tego, jak przebiegają one przed lub po narodzeniu Chrystusa. „Ci zatem, którzy się nawracają, zostają przez Ducha Świętego wyprowadzeni z orbity „sądu”, wprowadzeni zaś do tej Sprawiedliwości, która jest w Jezusie Chrystusie – gdyż ma ją od Ojca (por. J 16, 15) jako odzwierciedlenie świętości trynitarnej. Jest to sprawiedliwość Ewangelii i Odkupienia, sprawiedliwość Kazania na górze i Krzyża, która sprawia oczyszczenie sumień przez Krew Baranka. Jest to z kolei ta sprawiedliwość, jaką Ojciec oddaje Synowi oraz wszystkim, którzy z Nim są zjednoczeni przez prawdę i miłość”. W sprawiedliwości tej Duch Święty, który jest Duchem Ojca i Syna – który „przekonywa świat o grzechu” – objawia się i uobecnia w człowieku jako Duch życia wiecznego” (Dominum et Vivificantem 48). „Do Ducha Świętego zwraca się myśl i serce Kościoła przy końcu dwudziestego wieku i w perspektywie trzeciego tysiąclecia od przyjścia na świat Jezusa Chrystusa, gdy stajemy w obliczu wielkiego Jubileuszu, którym Kościół pragnie uczcić to wydarzenie. Przyjście to mierzy się skalą czasu jako wydarzenie przynależące do dziejów człowieka na ziemi. Stosowana powszechnie rachuba czasu określa poszczególne lata, 1 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF stulecia i tysiąclecia wedle tego, jak przebiegają one przed lub po narodzeniu Chrystusa. Równocześnie zaś wydarzenie to oznacza dla nas, chrześcijan, według słów Apostoła „pełnię czasu” (por. Ga 4, 4), gdyż w nim dzieło człowieka zostały dogłębnie przeniknięte „miarą” Boga samego: transcendentną obecnością wiecznego „Teraz”. Tego, „Który jest, Który był, i Który przychodzi”. Tego, który jest „Alfą i Omegą, Pierwszym i Ostatnim, Początkiem i Końcem” (Ap 1, 8; 22, 13). „Tak bowiem Bóg umiłował świat, że Syna swego Jednorodzonego dał, aby każdy, kto w Niego wierzy, nie zginął, ale miał życie wieczne” (J 3, 16). „Gdy jednak nadeszła pełnia czasu, zesłał Bóg Syna swego, zrodzonego z niewiasty (…), abyśmy mogli otrzymać przybrane synostwo” (Ga 4, 4 n.). Dokonało się zaś owo Wcielenie SynaSłowa za sprawę Ducha Świętego” (Dominum et Vivificantem 49). + Rachuby stratega genialnego zawiodły. „wojnę z Napoleonem przedstawiano ludowi w kształcie powszechnej wojny religijnej przeciwko świętokradcy, jemu oczywiście przypisując pożogę, mordy i gwałty. Lud rosyjski nie był natchniony patriotyzmem […], lecz z premedytacją oszukiwany i okłamywany” /E. Kiślak, Car-Trup i Król-Duch. Rosja w twórczości Słowackiego, IBL PAN, Warszawa 1991, s. 37/. „W Rosji straszyło ciągle widmo Pugaczowa toteż rosyjska zwierzchność, którą nurtował ten sam niepokój i obawa przed rozpętanym żywiołem rewolucji, jakie powstrzymywały najeźdźcę od radykalnych decyzji, posłużyła się innym żywiołem, prowadząc wojnę z niezwykła zaciętością i samozaparciem” /Tamże, s. 39/. „wielkie to przedsięwzięcie kierowali w tej samej mierze przeciwko swoim poddanym, co przeciw Napoleonowi (F. P. Ségur, Pamiętniki adiutanta Napoleona. Przeł. E. Leszczyńska. Warszawa 1967, s. 81). „Od początku tej nietypowej kampanii, w której ciągły marsz naprzód przypominał błędne koło, korzyści były problematyczne, a sukcesy terytorialne zawieszone w pustce ogromnych przestrzeni” /Tamże, s. 40/. „pożar Moskwy, zaplanowany z premedytacją przez jej gubernatora, Rostopczyna, stał się namiastką i widmem rewolucji, dokonywanej przez zbrodniczy motłoch, nastawionej wyłącznie na zniszczenie, rabunek, pożogę, rewolucji zwróconej w pustkę” /tamże, s. 41/. „Zima była głównym i najgroźniejszym wrogiem Francuzów; ostrożny do przesady Kutuzow ociągał się z wykorzystaniem swej przewagi nad zdemoralizowanym wojskiem, pozostawiając dokonanie zemsty przyrodzie” /Tamże, s. 45/. „Błędne kalkulacje i niedopatrzenia, których dopuścił się Napoleon, wypływały z jego hybris, nie liczącej się z prawami natury i pragnącej je przekroczyć” /Tamże, s. 46/. „Wszystko tonęło w bezkresnej przestrzeni. Tak giną wielkie przedsięwzięcia własnym przygniecione ciężarem! Chcąc się wznieść ponad czas, klimat i przestrzeń, ludzką przekroczywszy miarę, geniusz Napoleona zbłądził w przestworzach i, jakkolwiek wielki, w końcu uległ” (tamże, s. 256). „Lud rosyjski w istocie okazał się nieobliczalnym żywiołem, co do którego zawiodły wszystkie rachuby genialnego stratega.” /Tamże, s. 47. + Rachunek abstrakcyjny pojęciem podstawowym jednego z dwóch wielkich nurtów myśli. Ten obraz rzeczywistości przedstawia logikę jej podłoża tak, jakby rządziła czymś raczej dyskretnym niż ciągłym. „Czy Wszechświat jest komputerem? / Wrogość niech będzie między wami! Za wcześnie na przymierze. Szukajcie wzdłuż osobnych ścieżek, bo właśnie tak prawda wychodzi na jaw (Fryderyk Schiller) / W nauce współczesnej istnieją dwa 2 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF wielkie nurty myślowe, które po tym, jak długo biegły równolegle, zaczęły podążać zbieżnymi korytami, co zdaje się obiecywać ich przyszłe spotkanie. Warunki tego spotkania określą, który z nich będzie później na zawsze postrzegany jako jedynie dopływ drugiego. Z jednej strony mamy wiarę fizyków w nacechowane symetrią „prawa przyrody”, wiarę, że są one najbardziej fundamentalną osnową logiki Wszechświata. Symetrie te zakorzenione są w obrazie przestrzeni i czasu jako niepodzielnych obiektów kontinuum. Z drugiej strony mamy pewien obraz, w którym najbardziej podstawowym pojęciem jest raczej abstrakcyjny rachunek niż symetria. Ten obraz rzeczywistości przedstawia logikę jej podłoża tak, jakby rządziła czymś raczej dyskretnym niż ciągłym. Wielką zagadką do rozwiązania w przyszłości jest pytanie, co jest bardziej podstawowe: symetria czy rachunek. Czy Wszechświat jest kosmicznym kalejdoskopem czy kosmicznym komputerem, wzorem czy programem? Lub ani jednym, ani drugim? Wybór wymaga, byśmy wiedzieli, czy prawa fizyki nakładają ograniczenia na ostateczne możliwości abstrakcyjnego rachunku. Czy ograniczają one jego szybkość i zasięg? A może reguły rządzące procesem liczenia kontrolują to, jakie prawa przyrody są możliwe? / Zanim rozważymy to, jak mało możemy powiedzieć na temat tego wyboru, dobrze jest mieć się na baczności w związku z samym wyborem. Przez całą historię ludzkiej myśli istniały dominujące paradygmaty Wszechświata. Te umysłowe obrazy często mało mówią o Wszechświecie, za to dużo o społeczności, która zaangażowana była w jego badanie. Dla tych wczesnych Greków, którzy rozwinęli teleologiczne spojrzenie na świat w efekcie pierwszych systematycznych badań istot żywych, świat był wielkim organizmem. Dla innych, którzy utrzymywali, że geometria powinna być ceniona ponad wszystkie kategorie myślenia, Wszechświat był geometryczną harmonią doskonałych kształtów. Później, w czasach, gdy zbudowano pierwsze mechanizmy zegarowe i wahadłowe, władzę dzierżył obraz postnewtonowskiego Wszechświata jako mechanizmu, wysyłając tysiąc okrętów apologetyki na poszukiwanie kosmicznego Zegarmistrza” /J. D. Barrow, Teorie wszystkiego. W poszukiwaniu ostatecznego wyjaśnienia (Theories of Everything. The Quest for Ultimate Explanation, Oxford University Press, New York 1991), przeł. J. Czerniawski, T. Placek, Wydawnictwo Znak, Kraków 1995, s. 264/. „Dla ludzi z okresu rewolucji przemysłowej epoki wiktoriańskiej dominujący był paradygmat maszyny cieplnej oraz fizycznych i filozoficznych zagadnień, jakie w związku z nią powstają odnośnie do praw termodynamiki. Problem ostatecznego losu Wszechświata nosi piętno takiej epoki maszyn. Podobnie być może dziś obraz Wszechświata jako komputera jest po prostu ostatnim przewidywalnym rozszerzeniem naszych nawyków myślowych. Jutro może być jakiś nowy paradygmat. Co nim będzie? Czy istnieje jakieś głębokie i proste pojęcie, które kryje się za logiką w taki sam sposób, w jaki logika kryje się za matematyką i rachunkiem? /Tamże, s. 265. + Rachunek bez zmiennych związanych dopuszczającego indukcję tylko względem wyrażeń bezkwantyfikatorowych wystarczy dla zbudowania prawie całej arytmetyki, Skolem T. „Główne zasady finityzmu można sprowadzić do następujących postulatów: (a) przedmiotem matematyki są tylko konkretnie (skończenie) dane struktury (prototypami skończenie danych obiektów matematycznych są liczby naturalne); (b) operacje na takich strukturach muszą mieć charakter kombinatoryczny, a więc muszą być efektywne; (c) 3 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF pojęcia abstrakcyjne, takie jak pojęcie dowolnego zbioru, operacji czy konstrukcji, nie są uprawnione w matematyce (finitystycznej). Za twórcę i pierwszego przedstawiciela finityzmu uznać należy Leopolda Kroneckera (por. uwagi na temat źródeł intuicjonizmu w § 1). Istotny wkład do rozwoju matematyki finitystycznej wniósł Thoralf Skolem (1887-1963). W pracy z roku 1923 pokazał on mianowicie, że spory fragment arytmetyki może być zbudowany w ramach rachunku bez zmiennych związanych dopuszczającego indukcję tylko względem wyrażeń bezkwantyfikatorowych. W roku 1941 Haskell B. Curry (1900-1982) i niezależnie Reuben L. Goodstein (1912-1985) zbudowali czysto równościowy system PRA arytmetyki pierwotnie rekurencyjnej (nazywanej też dziś arytmetyką Skolema), w której można sformalizować idee Skolema. Goodstein rozszerzył (w swych książkach z 1957 i 1961 roku) wyniki Skolema pokazując m. in., jak można zbudować fragmenty analizy za pomocą metod finitystycznych. Ostatnio (1981) W. W. Tait sformułował tezę, że system PRA jest systemem, który adekwatnie formalizuje wszystkie metody finitystyczne. Matematyka finitystyczna jest całkowicie konstruktywna i stanowi część matematyki intuicjonistycznej. Z drugiej strony jednak, matematyka intuicjonistyczna wykracza poza ramy nakładane przez finityzm. Dodajmy, że koncepcje finitystyczne odgrywały też ważną rolę w Hilberta programie ugruntowania i usprawiedliwienia matematyki klasycznej (por. rozdział następny, Formalizm). Nie oznacza to jednak, że Hilbert był finitystą! W ostatnich latach finitystyczny system arytmetyki pierwotnie rekurencyjnej PRA jest intensywnie używany w tzw. matematyce odwrotnej (ang. reverse mathematics), o której powiemy dokładniej w rozdziale poświęconym formalizmowi. Stosuje się go tam w pewnych badaniach metamatematycznych pokazujących, iż spore fragmenty matematyki mogą być ugruntowane finitystycznie” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 113. + Rachunek całkowy Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716). „Urodził się w Lipsku. Obdarzony umysłem wyjątkowo wcześnie dojrzałym. W wieku piętnastu lat wstąpił na uniwersytet, gdzie studiował prawo, matematykę i filozofię, w wieku lat dwudziestu został doktorem praw. Zaproponowano mu wtedy objęcie katedry uniwersyteckiej. Odrzucił jednak tę propozycję, a i potem przez całe życie nie trudnił się pracą akademicką. Rozpoczął natomiast pracę w służbie elektora Moguncji i w ten sposób dostał się w wir wielkiej polityki europejskiej. Po śmierci elektora w 1676 r. osiadł w Hanowerze jako radca dworu i bibliotekarz. Na stanowisku tym pozostał aż do śmierci, czyli przez lat czterdzieści. Dużo czasu spędzał jednak w podróżach naukowych i politycznych (biorąc na przykład udział w wielu rokowaniach politycznych). Jako umysł niezwykle wszechstronny, był twórczo czynny w bardzo wielu dziedzinach. W zakres jego dociekań naukowych wchodziły: matematyka (w szczególności niezależnie od Newtona stworzył rachunek różniczkowy i całkowy), przyrodoznawstwo (zwłaszcza mechanika), medycyna, górnictwo, językoznawstwo, logika, filozofia, teologia (tu interesowały go zwłaszcza zagadnienie godzenia wyznań i problemat teodycei), a także prawo” /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 212. 4 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF + Rachunek czysty człowieka z Bogiem nie wystarcza, trzeba stać się nowym człowiekiem. Mistyka hiszpańska wieku XVI przyjmuje jako punkt wyjścia anihilację swego „ja”, przeciwnie do hasła głoszonego przez renesans: „poznaj samego siebie”. Człowiek rezygnuje z poznania siebie całkowicie. Dokonuje się to przez oczyszczenie aktywne i bierne zmysłów, które doprowadza do wyzwolenia od własnej nędzy i grzechu. Nie może się to dokonać bez pomocy sakramentów. Droga prowadzi od poznania siebie jako stworzenia Bożego, który stał się grzesznikiem, do zmartwychwstania, przebywania w spoczynku Boga M. Andrés, La teología en el siglo XVI (1470-1580), w: Historia de la Teología Española, t. 1: Desde sus orígenes hasta fines del siglo XVI, M. Andrés Martinez (red.), Fundación Universitaria Española: Seminario Suarez, Madrid 1983 s. 579-735 (r. VII), s. 657. Nie wystarcza czyste konto w rachunku z Bogiem, trzeba stać się nowym człowiekiem. Poznanie samego siebie oznacza poznanie siebie jako obrazu Bożego, w którym mieszka Bóg. Ten obraz Boży w człowieku trzeba oczyścić, rozjaśnić i udoskonalić. Modlitwa unicestwienia prowadzi do nocy ciemnej. Owocem jest radość czystego poznania Boga w swoim wnętrzu i odczuwanie, że On mnie poznaje i kocha. Typowa jest antyteza wszystko-nic św. Jana od Krzyża. Kwietyści unicestwienie chcieli uzyskać poprzez całkowitą bierność. Człowiek, który nic nie czyni jest niczym. Wtedy wszystko czyni Bóg. Pod koniec wieku XVII kontynuowali oni to, co zaczęli alumbrados w roku 1525. Ważniejsze jednak od poznania samego siebie jest poznanie misteriów Chrystusa, aby je naśladować. Medytacja pasji stanowi drugi krok, drugi czas mocny w modlitwie myślnej. Jedynie alumbrados w królestwie Toledo uważali medytowanie pasji za błąd. Tamże, s. 659. + Rachunek komputerowy nie może być prześledzony w całości z racji szybkości procedur obliczeniowych. „Niektórzy filozofowie skłonni są maksymalizować znaczenie techniki komputerowej i nieświadomie nadawać jej sens, w myśl koncepcji Boltera, „technologii definiującej”. W spekulacjach doby nowożytnej, zafascynowanej mechanicyzmem, Bóg postrzegany bywał jako „zegarmistrz” tego świata. Dzisiaj staje się – niekiedy – ”genialnym programistą”, a świat gigantycznym komputerem.” /E. Piotrkowska, D. Sobczyńska, Przedmowa, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 7-16, s. 10/. W codziennej pracy naukowej stosowanie komputerów przyniosło z pewnością rewolucję i przyspieszenie tempa pracy, które mają odpowiednika w historii nauki. Jednakże, a może właśnie dlatego, i ta dziedzina nie jest wolna od problemów natury filozoficznej. Wynikają one, na przykład, z „zapośredniczonego”, a nie bezpośredniego obcowania z przyrodą; z tego, że badacz, z racji szybkości procedur obliczeniowych nie może prześledzić całości rachunku; z tego wreszcie, że obliczenia komputerowe nie dokładne w jakimś „absolutnym” sensie, lecz zawsze przybliżone stosownie do poziomu rozwoju technicznego narzędzi. Zastosowanie komputerów przynosi wszakże korzyści i możliwości warte analizy epistemologów i filozofów nauki. Nowoczesne techniki graficzne dają niebywałe możliwości wizualizowania obiektów lub ich modeli, zarówno w dziedzinie bytów przyrodniczych, jak i 5 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF matematycznych. Można zatem na ekranie komputera obejrzeć z każdej strony i modele cząsteczek chemicznych, i charakterystyki światów wirtualnych, i przebiegi skomplikowanych funkcji matematycznych. Zwłaszcza ten ostatni przykład wydaje się niepokojący. Czy przedmioty badań matematycznych stają się „komputerowo uchwytne”, czy się „urealniają”? Czyżby Platon miał jednak rację?” Tamże, s. 11. + Rachunek logiczny nie wyczerpuje możliwości twórczych dowodu matematycznego, gdyż on sam jest regułą konstrukcji nowego pojęcia. „Wittgenstein występował zdecydowanie przeciw logicyzmowi, w szczególności przeciw Russella próbom zredukowania arytmetyki do logiki. Uważał, że gubi się w nich twórczy charakter dowodu matematycznego i wielość technik jego przeprowadzania. Dowód matematyczny nie jest redukowalny do aksjomatów i reguł wnioskowania rachunku logicznego, gdyż sam jest regułą konstrukcji nowego pojęcia /por. L. Wittgenstein, Remarks on the Foundations of Mathematics, Basil Blackwell, Oxford 1956, II. 41, s. 82/. Logicyzm przypisuje logice funkcję podstawową w matematyce, podczas gdy w rzeczywistości pełni ona rolę tylko pomocniczą. Mówi więc tu Wittgenstein o „zgubnym wtargnięciu logiki na teren matematyki”. Podkreśla jednocześnie swoistość i niezależność poznania matematycznego w stosunku do logiki, uważa też, że twierdzenia matematyki mają charakter sądów apriorycznych, są syntetyczne i konstruktywistyczne. Dostrzegamy tu więc wyraźną zbieżność z koncepcjami Kanta i Brouwera” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 141/. „Podobnie jak Kant, podkreśla też Wittgenstein cechę konieczności właściwą poznaniu matematycznemu. Pisze: „Matematyczna konieczność jest tylko innym wyrażeniem tego, że matematyka tworzy pojęcia” (Remarks, V. 46, s. 194). Matematyk więc tworzy w szczególności liczby i ich ciągi, a nie odkrywa je. W przeciwieństwie do Kanta jednak, Wittgenstein sądzi, że niesprzeczność nie jest a priori niezbędnym warunkiem sensowności konstrukcji pojęciowej. Podważa też, podobnie jak Brouwer, zasadność stosowania zasady wyłączonego środka do twierdzeń dotyczących nieuporządkowanych zbiorów nieskończonych. Wittgenstein kładzie duży nacisk na spontaniczność twórczości matematyka i na wielość operacji stwarzających formy naszych „gier językowych”. Widzimy więc, że poglądy Wittgensteina na matematykę mają w dużej mierze charakter kantowski i są pod wieloma względami zbieżne z koncepcjami intuicjonistów, zwłaszcza Brouwera. Nie oznacza to oczywiście, że jego na wskroś oryginalne ujęcie matematyki można jednoznacznie zaklasyfikować” /Tamże, s. 142. + Rachunek logiczny Reguły wnioskowania rachunku logicznego nie zastępują dowodu matematycznego. „Wittgenstein występował zdecydowanie przeciw logicyzmowi, w szczególności przeciw Russella próbom zredukowania arytmetyki do logiki. Uważał, że gubi się w nich twórczy charakter dowodu matematycznego i wielość technik jego przeprowadzania. Dowód matematyczny nie jest redukowalny do aksjomatów i reguł wnioskowania rachunku logicznego, gdyż sam jest regułą konstrukcji nowego pojęcia (por. Remarks, II. 41, s. 82). Logicyzm przypisuje logice funkcję podstawową w matematyce, podczas gdy w rzeczywistości pełni ona rolę tylko pomocniczą. Mówi więc tu Wittgenstein o „zgubnym wtargnięciu logiki na teren 6 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF matematyki”. Podkreśla jednocześnie swoistość i niezależność poznania matematycznego w stosunku do logiki, uważa też, że twierdzenia matematyki mają charakter sądów apriorycznych, są syntetyczne i konstruktywistyczne. Dostrzegamy tu więc wyraźną zbieżność z koncepcjami Kanta i Brouwera” /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 141/. „Podobnie jak Kant, podkreśla też Wittgenstein cechę konieczności właściwą poznaniu matematycznemu. Pisze: „Matematyczna konieczność jest tylko innym wyrażeniem tego, że matematyka tworzy pojęcia” (Remarks, V. 46, s. 194). Matematyk więc tworzy w szczególności liczby i ich ciągi, a nie odkrywa je. W przeciwieństwie do Kanta jednak, Wittgenstein sądzi, że niesprzeczność nie jest a priori niezbędnym warunkiem sensowności konstrukcji pojęciowej. Podważa też, podobnie jak Brouwer, zasadność stosowania zasady wyłączonego środka do twierdzeń dotyczących nieuporządkowanych zbiorów nieskończonych. Wittgenstein kładzie duży nacisk na spontaniczność twórczości matematyka i na wielość operacji stwarzających formy naszych „gier językowych”. Widzimy więc, że poglądy Wittgensteina na matematykę mają w dużej mierze charakter kantowski i są pod wieloma względami zbieżne z koncepcjami intuicjonistów, zwłaszcza Brouwera. Nie oznacza to oczywiście – jak pisaliśmy już wyżej – że jego na wskroś oryginalne ujęcie matematyki można jednoznacznie zaklasyfikować” /Tamże, s. 142. + Rachunek logiczny uniwersalny utworzył Leibniz. „Leibniz był również twórcą postulatu traktowania logiki w sposób matematyczny. Wiąże się to z jego drugą zasługą na polu filozofii matematyki, a mianowicie z ideą stworzenia uniwersalnego rachunku logicznego (zwróćmy uwagę na związek tego pomysłu z Kartezjusza ideą zbudowania uniwersalnej nauki analitycznej i matematycznej – por. rozdział 7). Rozległe zainteresowania naukowe Leibniza łączyły się u niego z wyraźnym racjonalizmem i troską o ścisłość i pewność wiedzy. To doprowadziło go w końcu do ogólnej teorii języka logicznego. Otóż „już od dzieciństwa obeznany z logiką, oczarowany był ideą (pochodzącą od Rajmunda Lullusa) metody, która by sprowadzała wszystkie pojęcia ludzkie do pojęć pierwotnych, stanowiąc pewien «alfabet myśli ludzkich», i tworzyła znów ich kombinacje sposobem niejako mechanicznym, w celu otrzymania wszystkich zdań prawdziwych” (N. Bourbaki, Elementy historii matematyki, ss. 13-14; por. G. W. Leibniz, Philosophische Schriften, t. 7, s. 185). Marzenia te wykrystalizowały się ostatecznie w projekcie uniwersalnego i ścisłego języka graficznego, nazywanego przezeń characteristica universalis” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 48/. Uniwersalność tego języka miała być dwojaka: miał służyć do wyrażania wszystkich pojęć nauki, a jednocześnie do porozumiewania się ludzi różnych narodowości. Projektowany system znaków miał spełniać następujące warunki: 1. Musi istnieć wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie pomiędzy znakami systemu (jeżeli nie są one znakami miejsc pustych) a myślą (w szerokim tego słowa znaczeniu). 2. Znaki muszą być tak dobrane, by w przypadku, gdy jakaś myśl może zostać rozłożona na części składowe, „obrazy” tych części składowych same były z kolei częściami składowymi odwzorowania danej myśli przez odpowiednie znaki. 3. Należy obmyślić taki system operowania znakami, aby w przypadku, gdy jakaś myśl M, znajduje 7 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF się w stosunku racja-następstwo do myśli M2, również „obraz” M2 mógł być interpretowany jako następstwo „obrazu” M 1 ” /Tamże, s. 49. + Rachunek logiczny z ustalonymi regułami tworzy język sformalizowany określany terminem logika. „Otóż, za Russellem, credo logicyzmu sprowadzić możemy do koniunkcji trzech następujących tez: (1) wszystkie pojęcia matematyczne (w szczególności więc wszystkie pojęcia pierwotne teorii matematycznych) można zdefiniować explicite za pomocą pojęć czysto logicznych; (2) wszystkie twierdzenia matematyki można wyprowadzić (za pomocą dedukcji logicznej) z aksjomatów i definicji logicznych” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 88/; (3) dedukcja ta opiera się na logice wspólnej dla wszystkich teorii matematycznych, czyli uzasadnianie twierdzeń w poszczególnych teoriach matematycznych odbywa się przy odwołaniu się do tych samych podstawowych zasad tworzących jedną dla całej matematyki logikę (zawarta jest tu więc w szczególności teza, że wszelkie argumentacje w matematyce mogą być sformalizowane). Takie sformułowanie jest niestety niejasne. Przede wszystkim niejasny jest tu sam termin „logika”. Można go rozumieć co najmniej na trzy sposoby: (a) jako nazwę pewnej nauki, (b) jako nazwę pewnego języka sformalizowanego, na którego terenie ustalone są reguły rachunku logicznego, (c) jako nazwę pewnego systemu lub rachunku logicznego. Wydaje się, że dla właściwego rozumienia logicyzmu najodpowiedniejszy jest sens (c) słowa „logika”. Z podanych wyżej tez logicyzmu wynika, że twierdzenia matematyki posiadają jednoznacznie określoną treść, i to treść logiczną. Dalej, wynika z nich, że twierdzenia matematyki – podobnie jak twierdzenia logiki – są prawdami analitycznymi (co jest oczywiście przeciwstawieniem się poglądom Kanta)” /Tamże, s. 89. + Rachunek macierzowy Mechanika macierzowa podstawą teorii kwantowej. „W roku 1925 Born, Jordan i Heisenberg sformułowali podstawy teorii kwantowej, którą nazwano mechaniką macierzową. Jednak macierze były zupełnie nieznane większości matematyków i fizyków, dlatego też stosunkowo niewielu z nich zrozumiało znaczenie nowej propozycji. Następny zasadniczy krok w konstruowaniu matematycznej struktury mechaniki kwantowej zrobił Paul Dirac „Gdy Dirac przebrnął przez równania, natychmiast docenił f u n d a m e n t a l n e znaczenie prostego faktu, że a x b b x a. W odróżnieniu od Heisenberga Dirac poznał uprzednio obiekty matematyczne zachowujące się w ten sposób, dzięki czemu w ciągu kilku tygodni mógł doprowadzić równania Heisenberga do postaci, którą odkrył sto lat wcześniej William Hamilton i rozwinął na użytek obliczeń orbit w układach, w których, podobnie jak w Układzie Słonecznym, istnieje wiele wzajemnie oddziałujących planet. Do wielkich paradoksów nauki należy fakt, że równania Hamiltona okazały się użyteczne w nowej teorii kwantowej, która całkowicie odrzuciła koncepcję orbit elektronowych” /J. Gribbin, W poszukiwaniu kota Schrödingera, Poznań 1997, s. 106/. Przy kształtowaniu się formalizmu matematycznego teorii kwantowej pojawiła się więc sytuacja podobna do wspomnianych wcześniej poszukiwań odpowiedniej formuły matematycznej na opisanie reguł symetrii wewnętrznej w teorii cząstek elementarnych. Fizycy szukają rozwiązań, nie wiedząc, że matematycy, zupełnie nie myśląc o fizyce, stworzyli formalizm nieoczekiwanie nadzwyczaj 8 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF przydatny. Taki stan rzeczy nie jest odosobniony w rozwoju przyrodoznawstwa” /A. Szczuciński, Matematyka,, dziwność i kwanty, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 137-157, s. 149. + Rachunek macierzowy Moment pędu cząsteczki elementarnej wyrażony za pomocą macierzy. „Kiedy Born, Jordan i Heisenberg zaproponowali zastąpienie zmiennych położenia i momentów pędu w mechanice kwantowej przez macierze i zastosowali ten sposób opisu do kilku wyidealizowanych sytuacji, nikt nie sądził, że mechanika macierzowa może poprawnie opisywać warunki bliskie rzeczywistości kwantowej. Wspomniany przez Wignera „cud” pojawił się wówczas, gdy mechanikę macierzową zastosowano do problemów fizycznych, dla których reguły rachunkowe Heisenberga wydawały się bezsensowne” /A. Szczuciński, Matematyka,, dziwność i kwanty, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 137-157, s. 154/. „Reguły te zakładały, że klasyczne równania ruchu posiadają rozwiązania z pewnymi cechami okresowości; zaś równania ruchu dwóch elektronów atomu helu lub większej liczby elektronów jakiegoś cięższego atomu po prostu nie posiadają tych własności, a więc reguły Heisenberga nie mogą być stosowane w tych przypadkach. Niemniej jednak, obliczenie najwyższego poziomu energetycznego dla helu, przeprowadzone kilka miesięcy temu przez Konishita w Cornell i przez Bazleya w Biurze Wzorców zgadza się z danymi doświadczalnymi w granicach dokładności obserwacji, która wynosi jedną dziesięciomilionową. Z pewnością w tym przypadku „wydobyliśmy” z równań coś, czego w nie nie włożyliśmy /E. P. Wigner, Niepojęta skuteczność matematyki, „Zagadnienia Filozoficzne w Nauce”, XIII, 1991, 5-18, s. 13-14). + Rachunek macierzy i operatorów narzędziem matematyki. „W latach 1925-27 powstała druga wielka teoria naszego stulecia – mechanika kwantowa (W. Heisenberg i E. Schrödinger). Główne jej narzędzia matematyczne to rachunek macierzy i operatorów. Elementarny obiekt to cząstka elementarna, mająca własności falowe. Położeniu jej (i innym jej wielkościom) przyporządkowane jest prawdopodobieństwo mierzone kwadratem funkcji falowej, co stwierdza równanie Schrödingera – podstawowe prawo mechaniki kwantowej. Teoria ta wykorzystuje nieskończenie-wielowymiarową fazową przestrzeń Hilberta. W następnych dekadach naszego stulecia fizycy tworzyli jeszcze bardziej skomplikowane matematycznie teorie. Konstruuje się coraz bardziej abstrakcyjne modele idealne. Wykorzystuje się rozmaite wielowymiarowe przestrzenie czy hiperprzestrzenie, jak 5-wymiarowa przestrzeń Kaluzy-Kleina, a dziś już 10-wy-miarowa czy nawet 26wymiarowa przestrzeń stosowana w teorii superstrun. I mają to być nie abstrakcyjne przestrzenie fazowe, lecz realne geometryczne przestrzenie naszego świata. Matematyzacja fizyki wciąż postępuje. Fizycy-teoretycy mają do czynienia z matematycznymi modelami, coraz dalszymi od danych doświadczalnych, coraz bardziej abstrakcyjnymi i wyra9 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF finowanymi. Fenomenaliści i fenomenologowie muszą być zrozpaczeni. Przestali zresztą wypowiadać się na temat współczesnej fizyki. Natomiast coraz częściej spotykamy jej interpretacje w duchu platonizmu” /W. Krajewski, Platońskie inspiracje a platonizm. O problemach filozoficznych matematyzacji nowożytnej nauki, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 97-109, s. 103. + Rachunek nadający się do logicznej analizy pojęć i struktury systemów naukowych tworzony przez Leibniza G. W., urzeczywistnił się w logicyzmie wieku XX. „Logicyzmem nazywa się kierunek w filozofii matematyki, którego naczelna teza głosi, że cała matematyka jest sprowadzalna do logiki, czyli – innymi słowy – że matematyka jest jedynie częścią logiki. Twórcą logicyzmu był Gottlob Frege (1848-1925), czołowym zaś jego przedstawicielem Bertrand Russell (1872-1970). Źródła historyczne logicyzmu były wielorakie. Tkwiły one i w wielkiej tradycji filozoficznej, i w pewnych procesach rozwojowych samej matematyki. Logicyści nawiązywali do myśli Platona, Arystotelesa i Euklidesa – zwłaszcza jeśli chodzi o metodę aksjomatyczną. Odwoływali się też do idei J. Locke’a i G. W. Leibniza – genezy logicyzmu szukać należy bowiem m. in. w filozoficznej kontrowersji między racjonalizmem a empiryzmem dotyczącej charakteru sądów matematycznych. Logicyzm nawiązał do poglądu Locke’a i Leibniza, że sądy matematyczne mają charakter tautologiczny. Odwoływał się też do poglądu Leibniza o możliwości zalgorytmizowania wnioskowań matematycznych (i w ogóle wnioskowań naukowych). Rozwój logicyzmu nie byłby jednak możliwy bez stworzenia w drugiej połowie XIX wieku nowoczesnej logiki matematycznej, która była w jakimś stopniu urzeczywistnieniem Leibnizowskiej idei characteristica universalis – rachunku nadającego się do logicznej analizy pojęć i struktury systemów naukowych” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 83. + Rachunek nazw Sylogistyka Arystotelesa „Sylogistyce Arystotelesa rozumianej jako rachunek nazw stawiano zarzut ograniczoności i nieadekwatności jako narzędzia logicznego do formalizacji argumentacji matematycznej. Podobnie jak w geometrii diagramatyczna wykładnia zastąpiona została przez algebraiczną, tak i w logice wykładnia ‘analityczna’ zastąpiona została przez formalną i symboliczną. Dla jej rzeczników sam podział sylogizmów na figury nie ma już znaczenia (Łukasiewicz). Współczesna matematyka i logika odeszła od typowej dla mentalności helleńskiej wyobraźni i naoczności w abstrakcyjny „paradygmat logiczno-teoriomnogościowy” /zob. T. Batóg, Dwa paradygmaty matematyki. Studium z dziejów i filozofii matematyki, Poznań 1996/. Oddzielną kwestią w tym wszystkim jest ewolucja greckiego pojęcia analizy. Wspomnijmy tylko, że renesansowy przekład na łacinę dzieła Papposa, pt. Mathematicae Collectiones, dokonany przez Federico Commandino, ukazał się w Wenecji w 1589 roku” /M. Wesoły, Analiza w greckiej geometrii i analityce Arystotelesa, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 19-40, s. 38/. „Odtąd wpływ 10 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF tego przekładu na filozofów nowożytnych był znaczący, w szczególności na Galileusza (1564-1642), Kartezjusza (1596-1650) i Newtona (1642-1727). Znali oni w tej wersji analizę i syntezę jako resolutio i compositio. Wraz z Leibnizem (1646-1714) i Kantem (17241804) aż po neopozytywizm sens tych pojęć uległ jednak przemianie i zawężeniu do sądów czy zdań, i po zakwestionowaniu Quina (1950) cała kwestia ich analityczności i syntetyczności do dzisiaj pozostaje nierozstrzygnięta. To już jednak inna historia. / Postscriptum / Po napisaniu powyższego artykułu uzyskałem wydaną niedawno książkę: P.H. Byrnc, Analysis and Science m Aristotle, State University of New York 1997. Stanowi ona nowatorską wykładnię analityki Arystotelesa, która całkowicie potwierdza moje dotychczasowe próby jej interpretacji z nawiązaniem do analizy stosowanej w greckiej geometrii. Jednakże w kwestii samej rekonstrukcji figur sylogistycznych nie odnajduję w tej pracy takiego ujęcia, które wydaje mi się zgodne z tekstem Analityk i zasadne merytorycznie” Tamże, s. 39. + Rachunek otwarty przychodu i rozchodu prowadzili z Pawłem Filipianie. „Wy, Filipianie, wiecie przecież, że na początku [głoszenia] Ewangelii, gdy opuściłem Macedonię, żaden z Kościołów poza wami jednymi nie prowadził ze mną otwartego rachunku przychodu i rozchodu, bo do Tesaloniki nawet raz i drugi przysłaliście na moje potrzeby. Mówię zaś to bynajmniej nie dlatego, że pragnę daru, lecz pragnę owocu, który wzrasta na wasze dobro. Stwierdzam, że wszystko mam, i to w obfitości: jestem w całej pełni zaopatrzony, otrzymawszy przez Epafrodyta od was wdzięczną woń, ofiarę przyjemną, miłą Bogu. A Bóg mój według swego bogactwa zaspokoi wspaniale w Chrystusie Jezusie każdą waszą potrzebę. Bogu zaś i Ojcu naszemu chwała na wieki wieków! Amen. Pozdrówcie każdego świętego w Chrystusie Jezusie! Pozdrawiają was bracia, którzy są ze mną. Pozdrawiają was wszyscy święci, zwłaszcza ci z domu Cezara. Łaska Pana naszego Jezusa Chrystusa [niech będzie] z duchem waszym! Amen” (Flp 4, 15-23). + Rachunek prawdopodobieństwa „Natrafiamy w literaturze na różne definicje „przypadkowości”. Przypadkowe, tj. [...] takie, których przebiegu czy wyniku nie można przewidzieć, [...] na przebieg zjawiska losowego ma na ogół wpływ wiele przyczyn, z których jedynie część udaje się kontrolować /W. Szlenk, Rachunek prawdopodobieństwa, PZWS, Warszawa 1971, s. 6/. Pojęciem przypadku zajmował się dogłębnie polski fizyk M. Smoluchowski. Rozgraniczał on wyraźnie potoczne rozumienie przypadku i różnice pomiędzy przypadkiem w grach hazardowych a przypadkiem w fizyce. [...] wyrazu przypadek w fizyce nie rozumiemy w znaczeniu potocznym, które jest równoważne z nieobliczalnym i zupełnie dowolnym kaprysem, lecz raczej jako pewnego rodzaju prawidłowość, która daje się sprawdzić doświadczalnie ze stosunkowo coraz większą dokładnością w miarę wielokrotnego powtarzania się zjawiska /M. Smoluchowski, Wybór pism filozoficznych, PWN, Warszawa 1956, s. 293/. Zjawisko przypadkowe definiuje on jako takie, w którym rozkład przyczyny nie wpływa na rozkład skutków i wydaje się, jak gdyby to były zjawiska niezależne /Tamże, s. 294/. „Wydaje się”, bo przecież zarówno chaotyczne ruchy uderzanych cząsteczek cieczy, jak i obijanie się monet w podrzucanym woreczku, nie są zjawiskami bezprzyczynowymi i 11 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF wynikają odpowiednio z parametrów poszczególnych cząsteczek i działania człowieka, potrząsającego woreczkiem. Nawet w tym drugim wypadku zjawisko jeszcze bardziej odpowiada pojęciu przypadku, gdyż przyczyną jest tutaj człowiek, który posiada „wielki obręb przypadkowej zmienności” /Tamże, s. 295/. Jego potrząsanie woreczkiem (tasowanie kart, rzucanie kostką, wyrzucanie piłeczek itd.) jest źródłem bardziej różnorodnych możliwości niż ruch cząsteczek gazu w naczyniu” /H. Korpikiewicz, Statystyka – przypadek – synchroniczność, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 219-233, s. 222/. „Człowiek może bowiem potrząsać woreczkiem w dowolnej pozycji początkowej, rękoma lub maszyną, zrzucać go np. z samolotu, puszczać z biegiem strumienia itd. Rozkład skutków wydaje się być niezależny od złożonej przyczyny. Dlatego właśnie rozkład skutków w grach hazardowych, przy dużych ciągach zdarzeń, zgadza się z przewidywaniami rachunku prawdopodobieństwa, wprowadzonego przecież dla zjawisk przypadkowych. Smoluchowski jednak przypuszczał, że dla mechaniki statystycznej metoda ta nie będzie ścisła i trudno mu odmówić słuszności. Powiedziałabym, że zjawiska termodynamiki są mniej przypadkowe niż zjawiska gier” Tamże, s. 223. + Rachunek prawdopodobieństwa nie jest podstawą praw termodynamiki. „Prawo Gaussa jest opisem braku uporządkowania, który ma być właściwy układom termodynamicznym w równowadze. Powstaje problem, dyskutowany przez fizyków od czasów Laplace’a po dziś dzień, czy termodynamikę można zredukować do mechaniki statystycznej? Odpowiedź twierdząca oznaczałaby, że można wyprowadzić nieodwracalne prawa termodynamiki z praw rachunku prawdopodobieństwa i mechaniki, a to się jak dotąd nie udało. Czym więc w takiej sytuacji tłumaczyć, że mechanika statystyczna w zadowalający sposób opisuje obserwowane zjawiska? Opiera się przecież na prawach matematyki, nie nawiązując w żaden sposób do parametrów układu cząsteczek. Opis jednak, nawet jeśli z grubsza przewiduje stany przyszłe, nie musi dawać prawdziwej informacji o układzie. Czy należałoby założyć, że uzyskiwana informacja jest p r z y p a d k o w o zgodna z rzeczywistością? Czy może prawa rachunku prawdopodobieństwa są w jakiś głębszy, a nieznany nam jeszcze sposób związane z prawami Przyrody? Może zjawiska mechaniczne zacierają różnorodność układu, doprowadzając w każdym przypadku do podobnego rozkładu (jak wstrząsanie woreczkiem zaciera kolejność włożonych do niego monet lub tasowanie talii kart)? Jeśli tak by było w istocie, to „zacieranie informacji” przy pomocy pewnych założeń, przy przejściu od opisu mechanicznego do termodynamicznego (jak w próbach wyprowadzenia równania Boltzmanna z równania Liouville’a) byłoby tylko naśladowaniem zacierania informacji przez Naturę?” /H. Korpikiewicz, Statystyka przypadek - synchroliczność, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 219-233, 12 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF s. 220/. „Jakkolwiek zostałby rozstrzygnięty ten problem, czujemy intuicyjnie, że odpowiedź na pytanie o i s t o t ę r z e c z y nie może być odpowiedzią statystyczną. Statystyka wskazywać może zaledwie stany przeciętne i najbardziej praw do p o d o b n e . O ile prawdziwa byłaby druga możliwość, należałoby ją udowodnić i z ogólniejszych praw Przyrody wyprowadzić naszą wiedzę o istocie Natury” Tamże, s. 221. + Rachunek prawdopodobieństwa odrzucone w intuicji. „Intuicja (łac. intuitus przyglądanie się), najogólniej akt bezpośredniego poznania przeciwstawiany dyskursowi, czasem też rozwiązanie problemu lub podjęcie decyzji pod wpływem nie do końca uświadomionych i określonych czynników. Uznanie podstawowej lub też wyłącznej roli intuicji w poznaniu owocuje różnymi formami intuicjonizmu. Termin intuicja został użyty po raz pierwszy przez Wilhelma z Moerbeke w jego łacińskim przekładzie pisma Proklosa Peri pronoias dla oddania greckiej nazwy epibole, stosowanej w epikureizmie na określenie nagłego ujęcia (athroa epibole), które od czasów Filona z Aleksandrii odróżniano (początkowo w platonizmie) od poznania dyskursywnego. W psychologii intuicja to nagłe i całościowe (nieanalityczne) ujęcie poznawcze rzeczywistości, rozwiązanie problemu lub podjęcie decyzji pod wpływem trudnych do uświadomienia i nazwania czynników. Podstawowe znaczenie terminu intuicja odnosi się do tzw. intuicji twórczej, pozwalającej wyjść poza dotychczasową wiedzę lub nawykowe zachowania podmiotu w odróżnieniu od tzw. intuicji statystycznej, polegającej na wydawaniu sądów w warunkach niepewności na podstawie zautomatyzowanego stosowania pewnych heurystyk, najczęściej niezgodnych z zasadami rachunku prawdopodobieństwa i cechującej się brakiem emocjonalnego zaangażowania w zadanie” K. Kłysiak, Intuicja. I. W psychologii, w: Encyklopedia Katolicka, T. VII, red. S. Wielgus, TN KUL, Lublin 1997, 402-403, kol. 402. + Rachunek prawdopodobieństwa odrzucony w myśleniu irracjonalnym. Irracjonalizm w psychologii, „rozumiany jest w dwóch znaczeniach: jako zróżnicowany nurt teoretyczny, podkreślający rolę pozarozumowych motywów ludzkiego postępowania, oraz jako interpretacja zachowania lub myślenia wewnętrznie niespójnego lub odchylającego się od normy uznanej za racjonalną (np. odchylenia od schematu logiki, zasad rachunku prawdopodobieństwa lub innych modeli skonstruowanych na podstawie określonej aksjomatyki racjonalności oraz reguł wnioskowania dedukcyjnego). Irracjonalizm teoretyczny zakłada, że: 1) ludzkie zachowanie sterowane jest przede wszystkim mechanizmami nieświadomymi (np. biologicznymi popędami według psychoanalizy S. Freuda lub kulturowospołecznymi archetypami według analitycznej psychologii C. G. Junga; 2) świadomość własnych emocji i preferencji przeżywanych w aktualnej sytuacji jest ważniejsza od jej intelektualnej analizy (np. niektóre szkoły psychoterapeutyczne z kręgu humanistycznej psychologii); 3) człowiek jest źródłem wszelkich norm i zasad, które znajdują uzasadnienie w jego wolności i samorealizacji (np. niektórzy przedstawiciele egzystencjalnej psychologii i fenomenologicznej psychologii); 4) człowiek jest przedmiotem zewnętrznych manipulacji ze strony środowiska społecznego, w którym żyje (np. niektóre szkoły behawioryzmu)” /A. Biela, Irracjonalizm. III. W 13 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF psychologii, w: Encyklopedia Katolicka, T. VII, red. S. Wielgus, TN KUL, Lublin 1997, 493-494, kol. 493. + Rachunek prawdopodobieństwa posługuje się doświadczeniami myślowymi. „Ścisłego określenia wymaga też pojęcie p r z y p a d k u . Czym innym jest przypadek w mowie potocznej, czym innym w rachunku prawdopodobieństwa, jeszcze czymś innym w fizyce i filozofii. Beztroskie używanie tego pojęcia, z milczącym przyjęciem różnych jego definicji, wprowadza zamęt i nieporozumienia. W rachunku prawdopodobieństwa posługujemy się najczęściej doświadczeniami myślowymi: jest to rzucanie kostki, która może spaść na jedną z sześciu ścian, wyrzucanie monety, która może upaść orłem lub reszką do góry, wybieranie karty z określonej ich liczby. Zakładamy, że każde takie jednostkowe zdarzenie ma taką samą szansę zajść, a więc, że są one r ó w n o p r a w d o podobne. Stąd łatwo obliczyć, że wyrzucenie w jednym rzucie np. „szóstki” wynosi 1/6, a otrzymanie np. orła – 1/2. Jest to oczywiście stosunek zdarzeń sprzyjających do wszystkich możliwych. Mówimy, że jest p r z y p a d k i e m to, czy wypadnie nam orzeł, czy reszką. Ponieważ każdy z przypadków uznajemy za równie prawdopodobny, spodziewamy się, że te przypadki pojawiać się będą mniej więcej z taką samą częstością. Że tak się nie dzieje, nawet w grach hazardowych, obserwujemy na co dzień; koronnym przykładem jest tutaj niezwykle mało prawdopodobne zdarzenie, które miało miejsce w 1936 roku w kasynie w Monte Carlo: kolor czerwony wyszedł 36 razy pod rząd! A więc informacja, że prawo wielkich liczb spełnia się przy ogromnej ilości zdarzeń (ciągów obserwacji), nie jest w codziennym życiu przydatna” /H. Korpikiewicz, Statystyka - przypadek - synchroliczność, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 219-233, s. 221/. Wiadomo każdemu hazardziście, że każde, najmniejsze nawet nacięcie na kostce czy monecie sprawi, że wszystkie wydarzenia nie będą równie prawdopodobne. O tym, czego nie można pomijać w grze, bo byłaby nieuczciwa, często nie pamięta się w zastosowaniach teorii prawdopodobieństwa. Można z pewnym przybliżeniem założyć, że wyrzucane w totolotku piłeczki są identyczne i także, że identyczne są cząsteczki układów termodynamicznych. Wszystko jednak wskazuje na to, że przybliżenie będzie coraz gorsze, w miarę jak będziemy przechodzić do układów o coraz większej złożoności” Tamże, s. 222. + Rachunek prawdopodobieństwa stosowany do zbioru cząsteczek. „Termodynamika zakładała, że rozkład prędkości cząsteczek układu znajdującego się w równowadze jest chaotyczny. (W zadanej chwili czasu położenia cząsteczek są przypadkowe.) Te, które zdarzają się najczęściej, nazywamy najbardziej prawdopodobnymi. Takimi właśnie okazywały się średnie prędkości cząsteczek gazu; tych najwolniejszych i o największej prędkości jest bardzo niewiele. W tej sytuacji jedyną sensowną metodę widziano w potraktowaniu zbioru cząsteczek jako układu s t a t y s t y c z n e g o , do którego można zastosować metody rachunku prawdopodobieństwa. Przekonanie o jedynie ścisłym mechanicznym 14 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF opisie zjawisk panowało do końca XIX wieku, kiedy to coraz większe zastosowanie znalazła teoria prawdopodobieństwa; wykorzystano ją także w termodynamice. Rachunek prawdopodobieństwa jest teorią matematyczną zajmującą się prawami, które rządzą zjawiskami p r z y p a d k o w y mi, czyli inaczej losowymi. Pierwsze teoretyczne prace powstały w XVIII wieku i dotyczyły gier hazardowych, którymi zainteresowali się matematycy B. Pascal i P. Fermat. Przełomem jednak były prace A. N. Kołmogorowa, który sformułował aksjomaty teorii; odtąd jest ona uważana za dział matematyki. Rachunek prawdopodobieństwa przedstawia dowód twierdzenia, że statystyczne własności układu zawierającego ogromną ilość elementów podlegających działaniu wielkiej ilości niezależnych od siebie czynników, można opisać r o z k ł a d e m G a u s s a. Z braku możliwości ścisłego rozwiązania równań ruchu cząsteczek gazu zastosowano ów rozkład do termodynamiki. Prawa dynamiki Newtona wraz z zapożyczoną ze statystyki funkcją Gaussa, stanowią podstawę termodynamiki statystycznej. Opierając się na rozkładzie Gaussa, wprowadził Maxwell kinetyczno-molekularną teorię gazu (dla gazu doskonałego) i uzyskał rozkład prędkości, zwany rozkładem Maxwella-Boltzmanna. Należy jednak zdawać sobie sprawę, że prawo Gaussa opisuje układy, nie wnikając w ich istotę; w taki sam sposób można przedstawić rozrzut wyników losowania gry liczbowej, wypadków śmiertelnych w przebiegu epidemii, rozkładu mas gwiazd Galaktyki itd.” /H. Korpikiewicz, Statystyka - przypadek - synchroliczność, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 219-233, s. 219. + Rachunek prawdopodobieństwa stosowany w fizyce. „Matematyczny formalizm współdziała z treścią, prawami oraz twierdzeniami fizyki. Tak różnorodne formy matematyczne stosowane są dzisiaj w warunkach znacznego zróżnicowania systemów teoretycznych fizyki /L. Broglie de, The Role of Mathematics in the Developrnent of Contemporary Theoretical Physic, [w:] Great Currents of Mathematical Thought, vol. 2, F. Le Lionnais (ed.), New York 1971, 78-91, s. 80 i nast./. Matematyczny aparat koncepcyjny określa adekwatnie idee fizyczne. Matematyczne modele oraz metody stały się przydatne do opisu dużej klasy zjawisk fizycznych. Ogólnie mówiąc, np. metody matematycznej fizyki są teoriami matematycznych modeli fizycznych. Dwudziestowieczne badania z różnych dyscyplin fizyki wymagają więc dobrej znajomości wielu dziedzin matematyki (np. równań różniczkowych i całkowych, rachunku prawdopodobieństwa i statystyki, teorii funkcji zmiennej zespolonej itp.). Efektywne stosowanie owych matematycznych modeli przyczyniło się do rozwoju niektórych działów fizyki (np. elektrodynamiki kwantowej, aksjomatycznej teorii pola, teorii operatorów z ciągłym spektrum). Matematyczne modele opisują więc zasadnicze prawidłowości badanej klasy zjawisk fizycznych /F. Dyson, Mathematics in the Physical Sciences, w: Scientific American, 1964, s. 129-146, passim/. We współczesnych społeczeństwach postindustrialnych owe relacje między matematyką a fizyką interesują filozofów na równi z matematykami i fizykami. Te trzy nauki (matematyka, filozofia i fizyka) coraz bardziej zacieśniają więzy 15 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF wzajemnych zainteresowań, efektywnie uzupełniając się poznawczo. Dzisiaj jedni np. akceptują dominację matematyki w świecie przyrodniczym (stąd wyłaniające się zagadnienie „matematyzacji przyrody”), szukają relacji między strukturami matematyki i fizyki, mówiąc o „matematyczności przyrody” (Gniedienko, 1973, s. 143-158). Inni traktują matematykę i fizykę jako dwie odrębne, autonomiczne nauki. Są też i tacy, którzy od fizyki oraz jej doraźnych potrzeb zwracają się ku matematyce jako „nauce pomocniczej”. W dzisiejszej epoce „rewolucji informacyjnej” i „społeczeństw usług” (service-society) często debatuje się o tzw. II rewolucji naukowo-technicznej, w której rola oraz funkcja matematyki i fizyki jest szczególnie duża oraz wielostronna” /E. Piotrowska, Między matematyką a fizyką. Badania naukowe i refleksje filozoficzne Hermanna Weyla, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 159-184, s. 160. + Rachunek prawdopodobieństwa wprowadził do przyrodoznawstwa pojęcie przypadku, Spülbeck O. „Już Demokryt powiedział, że ludzie wymyślili sobie złudny obraz przypadku, jako przykrywkę dla swej bezradności /J. Illies, Biologie und Menschenbild, Freiburg/Basel/Wien 1975, s. 15/. Do filozofii wprowadził to pojęcie Epikur (342/41-271/70), jako trzeci czynnik kształtowania świata. Przez przypadek rozumiał nagłe odchylenie, względnie zboczenie z linii prostej atomów, przez co dochodziło do zderzeń i tak powstał świat. Takie ujęcie powstania świata nazwano „monizmem przypadku”, przez co rozumiano, że tylko przypadek był czynnikiem prowadzącym do powstania świata. Wiara w przypadek posiada swoją długą historię. Od starożytności wyobrażano sobie procesy świata bezprzyczynowo, jako szczęśliwą grę, na wzór rzucania kostką. Hinduski mit przedstawia stawania się świata jako grę w kości boga Sziwy z boginią Kali. Natomiast Epikur przyrównywał bieg procesów świata do gry dziecka w warcaby. W związku z tym Einstein wypowiedział szeroko znane słowa: Stary Bóg nie gra w kości (Der Alte würfelt nicht) /H. Sachsse, Kasualität-Geseltzlichkeit-Wahrscheinlichkeit, Darmstadt 1979, s. 11/. Według O. Spülbecka pojęcie przypadku weszło do przyrodoznawstwa w związku z rachunkiem prawdopodobieństwa /O. Spülbeck, Der Christ und das Weltbild der modernen Naturwissenschaft6, Berlin 1962, s. 99/. Natomiast Sexl pisze, że pojęcie przypadku wślizgnęło się do fizyki przy końcu XIX w., najpierw w związku z ciepłem, a później fizyką kwantową /R. V. Sexl, Was die Welt zusammenhält?, Stuttgart 1983, s. 172/. Dla Arystotelesa przypadek to causa per accidens. Minimalna teoria przypadku utrzymała się u Hobbesa (1588-1679), Spinozy (1632-1677) i Hume’a (1711-1776) /W. Kern, Zufall und Gesetz, w: Gesetzmässigkeit und Zufall in der Natur, Würzburg 1968, s. 123-130/. Przypadek może być rozumiany jako absolutny i jako względny. Przypadek absolutny zachodziłby wtedy, gdyby nie były dane żadne określone związki przyczynowe” /T. S. Wojciechowski, Przypadek czy celowość w powstaniu życia na ziemi, w: Od wszechświata stworzonego do człowieka odkupionego, red. R. Rak, 11-45, Katowice 1996, s. 13. + Rachunek prawdopodobieństwa wyklucza przypadek. „Skoro [...] przestrzeń i czas można zredukować niemal do zera, przeto wraz z nimi znika przyczynowość, ponieważ przyczynowość jest związana z 16 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF istnieniem przestrzeni i czasu fizycznych zmian i zasadniczo polega na następstwie przyczyny i skutku. [...] Przestrzeń i czas są stałymi [...] tylko wtedy, kiedy są mierzone bez uwzględniania sytuacji psychicznych /C. G. Jung, Rebis, czyli kamień filozofów, tłum. J. Prokopiuk, PWN, Warszawa 1989, s. 534-535). „Rozważania Junga wiodą do konkluzji, które streściłabym następująco: zdarzenia zachodzące w świecie są albo przyczynowe (energetyczne), albo synchroniczne. Te ostatnie są akauzalne. O ile wzbraniamy się przyjąć hipotezę akauzalności, należałoby uznać je za „czysty przypadek”, czyli zdarzenia z punktu widzenia rachunku prawdopodobieństwa nieprawdopodobne. Stereotyp myślenia kieruje nas w stronę poszukiwań związków przyczynowych dla wydarzeń synchronicznych bądź tłumaczenia ich przyczyną transcendentalną, której istnienia, ex definitione, udowodnić nie można. Triadę klasycznej fizyki, przestrzeń, czas, przyczynowość, uzupełnia Jung synchronicznością, […] Jednak pod wpływem astronoma J. Jeansa, uznającego rozpad radioaktywny za zjawisko bezprzyczynowe, i po dyskusji z fizykiem atomowym W. Paulim, który także skłaniał się do uznania akauzalności zjawisk, modyfikuje nieco ten schemat: niezniszczalna energia, przyczynowość, synchroniczność, continuum przestrzennoczasowe” /H. Korpikiewicz, Statystyka - przypadek - synchroliczność, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 219-233, s. 230/. + Rachunek predykatów pierwszego rzędu nie może być fundamentem dla całej matematyki. „W 1930 r. młody matematyk wiedeński Kurt Gödel (19061978) udowodnił twierdzenie głoszące, że każdy system sformalizowany zawierający arytmetykę liczb naturalnych i niesprzeczny musi być niezupełny, tzn. zawsze istnieć będą wyrażone w języku tego systemu zdania, których na gruncie tego systemu nie można ani dowieść, ani obalić (zdania takie nazywamy nierozstrzygalnymi). Gödel podał konkretny przykład takiego zdania. Wynik Gödla, zwany dziś I twierdzeniem Gödla o niezupełności, został opublikowany w pracy Über formal unentscheidbare Satze der «Principia Mathematica» und verwandter Systeme. I. Na końcu tej pracy Gödel zaanonsował też inne twierdzenie (Gödel nie podał dowodu tego twierdzenia, a jego uwagi o dowodzie okazały się niepoprawne. Pierwszy poprawny dowód podali D. Hilbert i P. Bernays w Grundlagen der Mathematik), zwane dziś II twierdzeniem Gödla, a głoszące, że dowód niesprzeczności teorii sformalizowanej zawierającej arytmetykę liczb naturalnych nie może być przeprowadzony w metamatematyce nie operującej środkami wykraczającymi poza te, które mieszczą się w samej rozważanej teorii, czyli, mówiąc może trochę nieprecyzyjnie: za pomocą tego, co skończone, nie można usprawiedliwić tego, co nieskończone. Twierdzenia Gödla wskazały na pewną ograniczoność poznawczą metody dedukcyjnej. Pokazały one, że nie można zawrzeć całej matematyki w niesprzecznym systemie sformalizowanym opartym na rachunku predykatów pierwszego rzędu, co więcej: nie można zawrzeć w żadnym takim systemie nawet wszystkich prawd o liczbach naturalnych. Nierozstrzygalne zdanie Gödla było też przykładem zdania realnego (mówiącego tylko o liczbach naturalnych; /Choć zdanie Gödla ma treść metamatematyczną – mówi bowiem „Ja nie jestem twierdzeniem” – to jednak 17 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF dzięki metodzie arytmetyzacji składni i dzięki kodowaniu skończonych ciągów liczb naturalnych można je „przetłumaczyć” na zdanie mówiące o pewnych związkach między liczbami naturalnymi), dla którego nie ma dowodu arytmetycznego, ale którego prawdziwość może być wykazana za pomocą metod infinitystycznych (odwołujących się do teorii mnogości i teorii modeli/” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 133. + Rachunek predykatów pierwszego rzędu. Nie można zawrzeć całej matematyki w niesprzecznym systemie sformalizowanym opartym na rachunku predykatów pierwszego rzędu. „Twierdzenia Gödla wskazały na pewną ograniczoność poznawczą metody dedukcyjnej. Pokazały one, że nie można zawrzeć całej matematyki w niesprzecznym systemie sformalizowanym opartym na rachunku predykatów pierwszego rzędu, co więcej: nie można zawrzeć w żadnym takim systemie nawet wszystkich prawd o liczbach naturalnych. Nierozstrzygalne zdanie Gödla było też przykładem zdania realnego (mówiącego tylko o liczbach naturalnych /Choć zdanie Gödla ma treść metamatematyczną – mówi bowiem „Ja nie jestem twierdzeniem” – to jednak dzięki metodzie arytmetyzacji składni i dzięki kodowaniu skończonych ciągów liczb naturalnych można je „przetłumaczyć” na zdanie mówiące o pewnych związkach między liczbami naturalnymi), dla którego nie ma dowodu arytmetycznego, ale którego prawdziwość może być wykazana za pomocą metod infinitystycznych (odwołujących się do teorii mnogości i teorii modeli)” /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 132/. „Zdanie nierozstrzygalne podane przez Gödla miało treść nie matematyczną, a metamatematyczną (mówiło bowiem: „Ja nie jestem twierdzeniem”). Można więc było jeszcze żywić nadzieję, że w zakresie zdań o treści matematycznej (czy może lepiej: interesującej z matematycznego punktu widzenia) matematyka jest jednak zupełna. Wyniki Jeffa Parisa, Leo Harringtona i Laury Kirby'ego rozwiały te nadzieje. Otóż w roku 1977 J. Paris i L. Harrington podali przykład prawdziwego zdania o treści kombinatorycznej, zaś w roku 1982 J. Paris i L. Kirby przykład prawdziwego zdania o treści teorioliczbowej – nierozstrzygalnych w sformalizowanym systemie arytmetyki liczb naturalnych. Są to zatem przykłady matematycznie interesujących zdań realnych (o liczbach naturalnych), dla których nie ma finitystycznych, czysto arytmetycznych dowodów, ale których prawdziwość można wykazać za pomocą środków infinitystycznych /Na temat wyników J. Parisa, L. Harringtona i L. Kirby'ego por. na przykład R. Murawski, Matematyczna niezupełność arytmetyki oraz Generalizations and Strengthenings of Godel's Incompleteness Theorem/. /Tamże, s. 133. + Rachunek predykatów Teoria mnogości Zermela-Fraenkla jest to system oparty na rachunku predykatów I rzędu wyrażony w języku zawierającym jako symbole pozalogiczne predykaty dwuczłonowe. „Do lat pięćdziesiątych większą popularnością cieszyło się ujęcie teorii mnogości w ramach teorii typów. Później ujęciem standardowym stało się ujęcie aksjomatyczne, w szczególności system Zermela-Fraenkla ZF. Dlatego też omówimy tu krótko ten system /Istnieje bogata literatura na temat teorii mnogości ZermelaFraenkla ZF. Wymieńmy tu tylko monografie: A. A. Fraenkla, Y. Bar-Hillela i A. Levy'ego Foundations of Set Theory, T. Jecha Set Theory oraz K. Kuratowskiego i A. Mostowskiego Teoria mnogości/. Jest to system oparty na 18 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF rachunku predykatów I rzędu wyrażony w języku zawierającym jako symbole pozalogiczne predykaty dwuczłonowe: = (identyczność) oraz (być elementem) /W pierwotnej wersji Zermela system teorii mnogości sformułowany był w języku zawierającym jeszcze dodatkowy predykat jednoczłonowy Z(.), który znaczył: być zbiorem. W wyniku tego można było w nim mówić o indywiduach (nic będących zbiorami) i o zbiorach (indywiduów). Obecnie stosowany system Zermela-Fraenkla, który tu opisujemy, nie mówi nic o przedmiotach nie będących zbiorami. Istnienie takich przedmiotów jest zupełnie obojętne z punktu widzenia potrzeb czystej matematyki (choć nic jest obojętne dla zastosowań teorii mnogości w naukach empirycznych)/” /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 174/. „Jeżeli do systemu tego dołączyć jeszcze aksjomat wyboru AC, to otrzymany system oznacza się jako ZFC” /Tamże, s. 176. + Rachunek różniczkowy Badania matematyczno-fizyczne Hermanna Weyla. „Hermann Weyl (1885-1955) należał do najwybitniejszych niemieckoamerykańskich matematyków i fizyków, bowiem od 1933 roku jako emigrant żydowski przebywał i pracował w Stanach Zjednoczonych. Pozostawił sporo oryginalnych prac z wielu dziedzin matematyki (np. z szeregów trygonometrycznych, szeregów funkcji ortogonalnych, teorii funkcji zmiennej zespolonej, rachunku różniczkowego i całkowego, do teorii liczb wniósł tzw. sumę Weyla). Najważniejsze jego prace dotyczą jednak teorii grup ciągłych, a szczególnie jej zastosowań do geometrii i fizyki, zwłaszcza do mechaniki kwantowej /H. Weyl, Izbrannyje trudy. Matiematika. Teoreticzeskaja fizika, W. I. Arnold (red.), Moskwa 1984/. Uzyskując wszechstronne wykształcenie z zakresu matematyki i częściowo fizyki, zajmował się także mechaniką kwantową i teorią względności. Umiejętności łączenia badań matematycznych z fizycznymi nauczył się Weyl w niemieckim ośrodku studiów matematycznofizycznych w Getyndze; prace kontynuował w Zurychu, a od 1933 roku także w Instytucie Badań Perspektywicznych w amerykańskim Princeton. Faktycznie Weyl był znakomitym matematykiem i twórczym fizykiem posiadającym dużą zdolność syntetyzowania oraz uogólniania danych naukowych i łączenia ich z refleksją filozoficzną /H. Weyl, Mind and nature, Philadelphia-London 1934/. Wszelkie uogólnienia i konstrukcje filozoficzne były dla niego nierozdzielne od właściwego zajmowania się matematyką i fizyką. Uczony ten od nauk szczegółowych przechodził do refleksji i uogólnień natury filozoficznej /H. Weyl, Erkenntnis und Besinnung (Ein Lebensruckblick), [w]: Jahrbuch Schweizerischen Philosophischen Gesellschaft, 1954/” /E. Piotrowska, Między matematyką a fizyką. Badania naukowe i refleksje filozoficzne Hermanna Weyla, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 159-184, s. 162. + Rachunek różniczkowy i całkowy Leibniza przykładem stosowania teorii sprzecznych w fizyce i w matematyce, Curry H. B. „Pojawiły się później pewne skrajne wersje formalizmu, w szczególności tzw. formalizm ścisły, reprezentowany głównie przez H. B. Curry’ego (por. jego Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics), w którym istotnie traktuje się matematykę jako naukę o systemach sformalizowanych. Redukuje się więc 19 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF całą matematykę do badania teorii formalnych, nie zakładając niczego poza symbolami konstytuującymi dany system. O ile dla Hilberta raison d’etre istnienia systemów sformalizowanych była obrona, ugruntowanie i usprawiedliwienie matematyki klasycznej, w szczególności matematyki infinitystycznej, o tyle dla Curry’ego systemy sformalizowane są substytutem matematyki klasycznej i mają ją całkowicie zastępować. Stąd wynikają też dalsze różnice. Otóż wykazanie, że jakiś system sformalizowany jest sprzeczny, było równoznaczne dla Hilberta z uznaniem go za bezużyteczny” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 130/. Dla Curry’ego natomiast nie – utrzymywał on, że po to, by system uznać za akceptowalny czy użyteczny, „nie jest ani konieczny, ani wystarczający dowód jego niesprzeczności” (por. Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics, s. 61). Na poparcie tej tezy przytacza on przykłady teorii sprzecznych, które okazywały się użyteczne i jako takie były szeroko stosowane – takie teorie znaleźć można zarówno w fizyce, jak i w samej matematyce. Koronnym przykładem może tu być rachunek różniczkowy i całkowy Leibniza, oparty na pojęciu różniczki jako nieskończenie małej, a więc wielkości dodatniej, ale mniejszej od wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich. Było to pojęcie sprzeczne. Mimo to rachunek różniczkowy i całkowy rozwijał się przez wieki i był z powodzeniem stosowany w różnych dziedzinach. Dopiero stworzona przez A. Robinsona w drugiej połowie XX wieku tzw. analiza niestandardowa (oparta na teorii modeli) dostarczyła odpowiedniej podstawy teoretycznej dla analizy Leibniza” /Tamże, s. 131. + Rachunek różniczkowy i całkowy Leibniza przykładem teorii sprzecznej, która okazała się użyteczna, przykład ten przytoczył Curry H. B. „Dla ścisłości musimy tu powiedzieć, że pojawiły się później pewne skrajne wersje formalizmu, w szczególności tzw. formalizm ścisły, reprezentowany głównie przez H. B. Curry'ego (por. jego Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics), w którym istotnie traktuje się matematykę jako naukę o systemach sformalizowanych. Redukuje się więc całą matematykę do badania teorii formalnych, nie zakładając niczego poza symbolami konstytuującymi dany system. O ile dla Hilberta raison d'etre istnienia systemów sformalizowanych była obrona, ugruntowanie i usprawiedliwienie matematyki klasycznej, w szczególności matematyki infinitystycznej, o tyle dla Curry'ego systemy sformalizowane są substytutem matematyki klasycznej i mają ją całkowicie zastępować. Stąd wynikają też dalsze różnice. Otóż wykazanie, że jakiś system sformalizowany jest sprzeczny, było równoznaczne dla Hilberta z uznaniem go za bezużyteczny” /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 130/. „Dla Curry'ego natomiast nie – utrzymywał on, że po to, by system uznać za akceptowalny czy użyteczny, „nie jest ani konieczny, ani wystarczający dowód jego niesprzeczności” (por. Outlines of a Formalist Philosophy of Mathematics, s. 61). Na poparcie tej tezy przytacza on przykłady teorii sprzecznych, które okazywały się użyteczne i jako takie były szeroko stosowane — takie teorie znaleźć można zarówno w fizyce, jak i w samej matematyce. Koronnym przykładem może tu być rachunek różniczkowy i całkowy Leibniza, oparty na pojęciu różniczki jako nieskończenie małej, a więc wielkości dodatniej, ale mniejszej od wszystkich liczb rzeczywistych do20 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF datnich. Było to pojęcie sprzeczne. Mimo to rachunek różniczkowy i całkowy rozwijał się przez wieki i był z powodzeniem stosowany w różnych dziedzinach. Dopiero stworzona przez A. Robinsona w drugiej połowie XX wieku tzw. analiza niestandardowa (oparta na teorii modeli) dostarczyła odpowiedniej podstawy teoretycznej dla analizy Leibniza” /Tamże, s. 131. + Rachunek różniczkowy i całkowy odkryty równocześnie przez Leibniza i Newtona. „Główna teza Wildera brzmi: matematyka jest systemem kulturowym, matematyka może być traktowana jako subkultura wiedza matematyczna należy do tradycji kulturowej danego społeczeństwa, aktywność matematyczna ma charakter społeczny. Termin „kultura” rozumie się tu w ogólnym, powszechnie przyjmowanym znaczeniu, traktując kulturę jako „zbiór różnych elementów znajdujących się w sieci komunikacyjnej” (por. Mathematics as a Cultural System, s. 8). Takie podejście do matematyki pozwala na badanie jej rozwoju i stosowanie w tych badaniach pewnych ogólnych praw rządzących zmianami w ramach danej kultury. Pozwala też na śledzenie wzajemnych relacji i wpływów różnych elementów kultury ogólnej, także ich wpływu na rozwój matematyki. Umożliwia wreszcie wykrywanie mechanizmów rozwoju i ewolucji matematyki jako nauki. W ewolucji matematyki zaobserwować można wiele fenomenów, które pojawiają się i rozwijają zgodnie z ogólnymi wzorcami znanymi badaczom zmian dokonujących się w ramach kultur. Spotykamy się tu więc na przykład ze zjawiskiem odkryć jednoczesnych, ze zjawiskiem jednoczesnego, choć niezależnego dochodzenia do tych samych nowych teorii. Klasycznymi przykładami są tutaj stworzenie rachunku różniczkowego i całkowego przez Leibniza (1676) i Newtona (1671) czy zbudowanie systemu geometrii nieeuklidesowej przez Janosa Bolyai (1826-1933), Carla Friedricha Gaussa (około 1829) i Nikołaja Łobaczewskiego (1836-1840). Inne przykłady to wynalezienie logarytmów przez Johna Napiera i Henry Briggsa (1614) oraz przez Josta Burgiego (1620), odkrycie zasady najmniejszych kwadratów przez AdrienMarie Legendre'a (1806) i przez Gaussa (1809) czy geometrycznego prawa dualności przez Juliusa Pluckera, Jeana Ponceleta i Josepha Gergonne'a (początek XIX wieku). W czasach nowszych fakty odkryć jednoczesnych występują bardzo często” /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 150. + Rachunek różniczkowy i całkowy utworzony przez Leibniza i Newtona niezależnie. „W ewolucji matematyki zaobserwować można wiele fenomenów, które pojawiają się i rozwijają zgodnie z ogólnymi wzorcami znanymi badaczom zmian dokonujących się w ramach kultur. Spotykamy się tu więc na przykład ze zjawiskiem odkryć jednoczesnych, ze zjawiskiem jednoczesnego, choć niezależnego dochodzenia do tych samych nowych teorii. Klasycznymi przykładami są tutaj stworzenie rachunku różniczkowego i całkowego przez Leibniza (1676) i Newtona (1671) czy zbudowanie systemu geometrii nieeuklidesowej przez Janosa Bolyai (1826-1833), Carla Friedricha Gaussa (około 1829) i Nikołaja Łobaczewskiego (1836-1840). Inne przykłady to wynalezienie logarytmów przez Johna Napiera i Henry Briggsa (1614) oraz przez Josta Burgiego (1620), odkrycie zasady najmniejszych kwadratów przez AdrienMarie Legendre’a (1806) i przez Gaussa (1809) czy geometrycznego prawa dualności przez Juliusa Pluckera, Jeana Ponceleta i Josepha Gergonne’a (początek XIX wieku). W czasach nowszych fakty odkryć jednoczesnych 21 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF występują bardzo często. Wilder proponuje takie oto wyjaśnienie tego fenomenu. Otóż matematycy jako istoty społeczne pracują nad problemami uważanymi w danej kulturze matematycznej za ważne, tzn. istnieją pewne siły kulturowe sugerujące, że te czy tamte problemy powinny zostać rozwiązane. Zakładając jednolite rozmieszczenie zdolności i sił kulturowych skłaniających ludzi do zajęcia się pewnym problemem, łatwo już spodziewać się równoczesnego pojawienia się rozwiązań danego zagadnienia. Fenomen taki nie jest wyjątkiem, ale raczej regułą” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 150/. + Rachunek różniczkowy Lokalność widzenia zmienności zalążkiem rozwoju rachunku różniczkowego i całkowego oraz pojęcia pochodnej. „Zagadka czasu fascynowała od wieków filozofów i uczonych i to silniej niż pojęcie przestrzeni; czas jest w dużo większym stopniu „subiektywny”, uwikłany w indywidualne odczucie jego upływu i teraźniejszości, a jego nieodwracalność kojarzy się z tajemnicą życia i śmierci. Mimo to, a może właśnie dlatego, starożytni, choć wielu fascynowało się przecież zmiennością, nie zajmowali się specjalnie czasem jako takim, a Arystoteles poświęcił mu stosunkowo niewiele miejsca: „Pewne rozważania – pisał – nasuwają podejrzenie, iż czas albo w ogóle nie istnieje, albo jest pojęciem mglistym i niewyraźnym. Bo oto jedna jego część przeminęła i już jej nie ma, podczas gdy inna dopiero będzie i jeszcze jej nie ma” /Arystoteles, Dzieła wszystkie, PWN, Warszawa 1990, t. II, s. 104/. Wszelako gdzie indziej poglądy Filozofa były bardziej zdecydowane: „Czas jest miarą ruchu oraz miarą stanu ruchu, i mierzy ruch przez określenie pewnego ruchu, który będzie jednostką miary dla całości (ruchu) [...]” /ibidem, s. 110/. Później zmiennością zajęto się zwłaszcza w średniowieczu, kiedy to zainteresowanie myślicieli skupiło się na intensywności zmian, odpowiedniku ekstensywnej gęstości; nawiązywano do idei arystotelesowskiej entelechii, która u scholastyków przybrała postać pojęcia impetu (Buridan) albo conatusa (Hobbes). Zapoczątkowany w ten sposób lokalny punkt widzenia na zmienność, choć rozważany w sposób spekulatywny, dał asumpt do rozwoju rachunku różniczkowego i całkowego oraz pojęcia pochodnej” /R. Molski, O filozoficznych źródłach matematycznej teorii kategorii, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 61-82, s. 64. + Rachunek różniczkowy powstał w odpowiedzi na potrzeby fizyki. „Zważywszy na sposób tworzenia formalizmu kwantowego, na olbrzymie trudności teoretyczne, które musieli pokonać fizycy, a także na fakt, że niektóre z nich mogli ominąć, znając lepiej sukcesy matematyki, można zaryzykować stwierdzenie, iż któraś z mniej znanych teorii matematycznych pretenduje do miana podstawy nowego formalizmu kwantowego” /A. Szczuciński, Matematyka,, dziwność i kwanty, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 137-157, s. 150/. „Często jednak – dlatego że nie ma odpowiedniego aparatu matematycznego albo dlatego że zainteresowani o nim nie wiedzą – fizycy sami konstruują reguły 22 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF matematyczne. Czasami na ich zapotrzebowanie odpowiadają matematycy. Ktokolwiek by to czynił, to faktem jest, że do teorii matematycznych, które powstały w odpowiedzi na potrzeby fizyki, można zaliczyć /zob. R. Penrose, Makroświat, mikroświat i ludzki umysł, Warszawa 1997, s. 1997/: – teorię liczb rzeczywistych, – geometrię Euklidesa, rachunek różniczkowy i równania różniczkowe, – geometrię symplektyczną, – formy różniczkowe i równania różniczkowe cząstkowe, – geometrię Riemanna i geometrię Minkowskiego, – teorię liczb zespolonych, – teorię przestrzeni Hilberta, – całki funkcjonalne itd. Powyższe zestawienie nie jest precyzyjne. Są w nim teorie, które niewątpliwie służą fizyce i przy udziale fizyków są rozwijane, ale – jak np. geometria Riemanna – wcale nie były początkowo tworzone z myślą o fizyce. Czasami natomiast prace matematyczne fizyków powstawały jako odpowiedź na rzeczywiste problemy fizyki, lecz wyprzedzały możliwość ich fizykalnej interpretacji. Tak było w przypadku teorii kwantów” /A. Szczeciński, s. 151. + Rachunek różniczkowy powstał w odpowiedzi na potrzeby fizyki. Teorie matematyczne regulujące zachowanie fizycznego świata, są niezwykle płodne po prostu jako idee matematyczne. „Ten związek jest dla mnie tajemnicą” /R. Penrose, Makroświat, mikroświat i ludzki umysł, Prószyński i S-ka, Warszawa 1997, s. 100-101/. Hipoteza „empirycznej” genezy matematyki. „Najprostszym i najbardziej naturalnym wyjaśnieniem owocności matematyki w opisie zjawisk fizycznych (ich uproszczonych modeli) zdaje się być hipoteza, że sama matematyka wyrasta z doświadczenia, że świat matematyczny wyłania się ze świata obiektów fizycznych oraz że pojęcia matematyczne stanowią tylko idealizację obiektów fizycznych. „Potwierdzeniem tej hipotezy może być okoliczność, przywoływana przez Penrose’a, iż „Bardzo często okazuje się, że najbardziej owocne koncepcje matematyczne wywodzą się z pojęć, które zrodziły się w teoriach fizycznych” /Tamże, s. 61/. Dalej Penrose podaje dziewięć „przykładów teorii matematycznych, które powstały w odpowiedzi na potrzeby fizyki”, poczynając od teorii liczb naturalnych, geometrii Euklidesa oraz rachunku różniczkowego i równań różniczkowych (ibidem, s. 61-62). Teorie te – a zwłaszcza rachunek różniczkowy i całkowy – okazały się nie tylko niezwykle płodne w fizyce, lecz gdy tylko „zostały zastosowane do rozwiązania problemów czysto matematycznych, okazały się wyjątkowo płodne jako koncepcje matematyczne p e r s e /Tamże, s. 62/. Sam Penrose broni jednak hipotezy niejako odwrotnej: hipotezy, że to nie matematyka wyłania się z fizyki, lecz że świat fizyczny wyłania się ze świata matematyki” /J. Such, Matematyka a świat fizyczny, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 111-118, s. 113. + Rachunek różniczkowy wynaleziony przez Leibniza przykładem tego, że wszystkie odkrycia w matematyce zawdzięczał swemu udoskonalonemu stosowaniu symboli. Język Leibniza spełniał określone warunki. „Zgodnie z tymi warunkami, poszczególne proste pojęcia, odpowiadające prostym cechom, miały być wyrażane przez pojedyncze znaki graficzne, zaś pojęcia złożone – przez układy znaków. U podstaw tkwiło tu założenie, że cały 23 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF słownik języka nauki da się utworzyć kombinatorycznie przez łączenie na różne sposoby nielicznych pojęć prostych. Tę metodę konstruowania pojęć nazywał Leibniz ars combinatoria. Była ona częścią ogólniejszej metody rachunkowej, która miała pozwalać na rozwiązywanie w uniwersalnym języku wszelkich problemów. Nazywała się ona: mathesis universalis, calculus universalis, logica mathematica, logistica. Leibniz wiązał ogromne nadzieje z tym uniwersalnym językiem graficznym. Najlepiej świadczy o tym następujący cytat z jednej z jego prac: „A gdy to już nastąpi [tzn. gdy uda się urzeczywistnić ideę języka uniwersalnego — uwaga moja, R. M.], dwaj filozofowie, ilekroć powstanie spór, nie będą inaczej rozprawiać, aniżeli dwaj rachmistrze. Wystarczy, jeśli wezmą pióra do ręki, zasiądą do tablic i jeśli jeden drugiemu powie (używając, jeśli chcecie, przyjacielskiego zawołania): Calculemus (Porachujmy)!” (cytat pochodzi z pracy bez tytułu, napisanej po roku 1648; por. G.W. Leibniz, Philosophische Schriften, t. 7, ss. 198-201; patrz antologia, ss. 95-98)” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 49/. „Leibniz twierdził też, że „wszystkie odkrycia w matematyce zawdzięcza swemu udoskonalonemu stosowaniu symboli, a jego wynalazek rachunku różniczkowego był dlań właśnie tego przykładem” por. L. Couturat, La logique de Leibniz, F. Alcan, Paris 1901, ss. 84-85; Tamże, s. 50. + Rachunek sił zimny połączony ze zdolnością narodu polskiego do romantycznych porywów, ideał. „postawa romantyczna pojawiała się we wszystkich większych wydarzeniach w całej naszej historii, a nie tylko w epoce Romantyzmu. Romantyczna była już sama idea Najjaśniejszej Rzeczypospolitej dającej schronienie wielu narodom, romantyczna była nasza rola „przedmurza”, romantyczna była także idea demokracji szlacheckiej, w świecie, w którym wszystkie inne narody dążyły właśnie do absolutyzmu. […] od wieków mieliśmy w sobie więcej romantyzmu niż inne narody w kręgi naszej cywilizacji. I dlatego nie możemy się buntować przeciwko własnej naturze, że tylko przez romantyczne porywy istniejemy i realizujemy naszą misję historyczną. […] młodzieńczy kult postaw romantycznych jest mi nadal bardzo bliski i drogi. Jednakże widzę dziś także groźne konsekwencje kierowania życia narodowego wyłącznie romantycznymi zasadami. Zapewne w życiu każdej jednostki ludzkiej istnieją takie sytuacje, w których jedynie moralną i ostateczną politycznie jest postawa nie liczenia się ani z obiektywnymi siłami, ani z konsekwencjami ewentualnej klęski. Ale czyż postawa taka może być uznana za polityczną i moralną także w wypadku przywódców narodu, czyli czy mają oni prawo nieliczenia się z konsekwencjami uniesień prowadzących do klęski czy zagrożenia całego narodu? Naturalnie, ideałem naszym na dziś powinno być zachowanie potencjalnej zdolności do romantycznych porywów, ale połączonej z zimnym rachunkiem sił. Gdyż nieodpowiedzialność polityczna, w naszej aktualnej sytuacji narodowej, może na nas ściągnąć katastrofy, których ogromna większość dzisiejszych działaczy politycznych w Kraju i za granicą albo nie widzi, albo widzieć nie chce: klęski groźniejszej od tych wszystkich, które przeżyliśmy w ubiegłym stuleciu /czyli w XIX wieku/ i podczas II wojny światowej. Ponieważ najsilniejszą inspiracją romantyczną jest dziś, tak samo jak w Drugiej Rzeczypospolitej, epoka naszych powstań narodowych, przeto musimy nauczyć się łączyć nasz hołd dla wielkości ofiary pokoleń XIX wieku 24 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF ze spokojna krytyką błędów politycznych przywódców, błędów o tragicznych skutkach dla całego narodu” /A. Gella, Naród w ofensywie, Rozważania historyczne, Veritas Foundation Press, London 1987, s. 16. + Rachunek sumienia Badanie postępowania własnego obowiązkiem każdego chrześcijanina. „Bracia, a gdyby komu przydarzył się jaki upadek, wy, którzy pozostajecie pod działaniem Ducha, w duchu łagodności sprowadźcie takiego na właściwą drogę. Bacz jednak, abyś i ty nie uległ pokusie. Jeden drugiego brzemiona noście i tak wypełniajcie prawo Chrystusowe. Bo kto uważa, że jest czymś, gdy jest niczym, ten zwodzi samego siebie. Niech każdy bada własne postępowanie, a wtedy powód do chluby znajdzie tylko w sobie samym, a nie w zestawieniu siebie z drugim. Każdy bowiem poniesie własny ciężar. Ten, kto pobiera naukę wiary, niech użycza ze wszystkich swoich dóbr temu, kto go naucza. Nie łudźcie się: Bóg nie dozwoli z siebie szydzić. A co człowiek sieje, to i żąć będzie: kto sieje w ciele swoim, jako plon ciała zbierze zagładę; kto sieje w duchu, jako plon ducha zbierze życie wieczne. W czynieniu dobrze nie ustawajmy, bo gdy pora nadejdzie, będziemy zbierać plony, o ile w pracy nie ustaniemy. A zatem, dopóki mamy czas, czyńmy dobrze wszystkim, a zwłaszcza naszym braciom w wierze. Przypatrzcie się, jak wielkie litery własnoręcznie stawiam ze względu na was. O ludzkie to względy ubiegają się ci wszyscy, którzy was zmuszają do obrzezania; chcą mianowicie uniknąć prześladowania z powodu krzyża Chrystusowego. Bo ci zwolennicy obrzezania zgoła się nie troszczą o zachowanie Prawa, a o wasze obrzezanie zabiegają tylko dlatego, by się móc pochwalić waszym ciałem. Co do mnie, nie daj Boże, bym się miał chlubić z czego innego, jak tylko z krzyża Pana naszego Jezusa Chrystusa, dzięki któremu świat stał się ukrzyżowany dla mnie, a ja dla świata. Bo ani obrzezanie nic nie znaczy, ani nieobrzezanie, tylko nowe stworzenie. Na wszystkich tych, którzy się tej zasady trzymać będą, i na Izraela Bożego [niech zstąpi] pokój i miłosierdzie. Odtąd niech już nikt nie sprawia mi przykrości: przecież ja na ciele swoim noszę blizny, znamię przynależności do Jezusa. Łaska Pana naszego Jezusa Chrystusa niech będzie z duchem waszym, bracia! Amen” (Gal 6, 1-18). + Rachunek sumienia codzienny przygotowuje śmierć dobrą. Grzechy przyczyną śmierci złej. Dobra śmierć przygotowywana jest przez dobre życie i przystępowanie do sakramentów świętych (Ks. Robert Spiske, Kazanie nr 55. Na drugą niedzielę adwentu, 11 grudnia 1870, s. 3). Sługa Boży zaleca nie tylko częstą spowiedź, ale też codzienne uczestniczenie we mszy świętej. Oprócz tego zaleca rozmyślanie, codzienny rachunek sumienia, adorację, „duchowe poszanowanie przenajświętszej Maryi Panny i nieprzemijające wstawiennictwo za biednymi duszami”. Spełnianie tego wszystkiego jest znakiem, że człowiek „stał się wybrańcem” (Tamże, s. 4). „Śmierć jest bolesna, jako ostatnia zapłata za śmierć”. Boleść duchową możemy zamienić na radość, „jeżeli ustawicznym własnym sądem wyprzedzimy sąd Boży. Osądźcie się sami, a nie będziecie sądzeni”. Robert Spiske mówił o śmierci jako o rozłączeniu duszy i ciała, jednakże często wspominał także o integralności osoby ludzkie: cały człowiek jest słaby i cały człowiek oczekuje zbawienia. W śmierci „nasze ciało i nasza dusza, zewnętrznie obraz największej nędzy, wewnętrznie zamkną w sobie tajemnice żłobka betlejemskiego”. Integralność osoby ludzkiej implikuje też jedność z innymi ludźmi. Śmierć z jednej strony jest rozstaniem, z drugiej zaś jest spotkaniem. 25 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF W śmierci, która jest uobecnieniem tajemnicy Bożego Narodzenia, „obecne są najświętsze osoby: Jezus, Maria i Józef. Będą tu wszyscy aniołowie, którzy obchodzić będą najwznioślejsze Boże Narodzenie, najbardziej chwalebne, najłaskawsze narodziny Jezusa Chrystusa a naszym życiu wiecznym. Nasz gasnący wzrok nie będzie widział już tych, których zostawia, lecz zobaczy owe święte osoby, które zaprowadza nas do niebieskiej Ojczyzny. Przygotujecie zatem drogę Panu” (Tamże, s. 5). + Rachunek sumienia Kościoła w Europie konieczny. „Aby można było przeżywać pełniej komunię w Kościele, trzeba dowartościować różnorodność charyzmatów i powołań, które zdążają coraz bardziej ku jedności i mogą ją ubogacić (por. l Kor 12). W tej perspektywie trzeba, aby z jednej strony nowe ruchy i nowe wspólnoty kościelne, «odrzucając wszelką pokusę żądania dla siebie prawa pierwszeństwa i wszelkie wzajemne niezrozumienie», czyniły postępy na drodze bardziej autentycznej komunii między sobą i ze wszystkimi innymi środowiskami kościelnymi oraz by «żyły z miłością w pełnym posłuszeństwie biskupom»; z drugiej strony, konieczne jest również, aby biskupi, «okazując im ojcowską troskę i miłość właściwą pasterzom» (Por. Propositio 21), umieli rozpoznawać, doceniać i koordynować ich charyzmaty oraz ich obecność w budowaniu jedynego Kościoła. Istotnie, dzięki wzrastającej współpracy między różnymi środowiskami kościelnymi pod pełnym miłości przewodnictwem pasterzy cały Kościół będzie mógł ukazać wszystkim oblicze piękniejsze i bardziej wiarygodne, jako wyraźniejsze odbicie oblicza Pańskiego; w ten sposób będzie mógł przyczynić się do przywrócenia nadziei i radości zarówno tym, którzy jej szukają, jak i tym, którzy – choć nie szukają – potrzebują jej. Ażeby móc odpowiedzieć na ewangeliczne wezwanie do nawrócenia, «musimy wszyscy razem z pokorą i odwagą dokonać rachunku sumienia, aby poznać nasze lęki i błędy oraz szczerze wyznać nasze zaniedbania i ociężałość, nasze niewierności i winy» (Synod Biskupów – Drugie Zgromadzenie Specjalne poświęcone Europie, Orędzie końcowe, 4: «L'Osservatore Romano», wyd. codzienne, 23 października 1999 r., s. 5; wyd. polskie, n. 12/1999, s. 51). Dalekie od sprzyjania postawie rezygnacji i zniechęcenia, ewangeliczne uznanie własnych win budzi we wspólnocie doświadczenie, jakiego doznaje każdy ochrzczony: radości z głębokiego wyzwolenia i łaski nowego początku, która pozwała z większą mocą kontynuować drogę ewangelizacji” /(Ecclesia in Europa 29). Posynodalna adhortacja apostolska ojca Świętego Jana Pawła II. Do Biskupów, do Kapłanów i Diakonów, do Zakonników i Zakonnic oraz do wszystkich Wiernych w Jezusie Chrystusie, który żyje w Kościele jako źródło nadziei dla Europy. W Watykanie, u Św. Piotra, dnia 28 czerwca 2003 roku, w wigilię uroczystości świętych Apostołów Piotra i Pawła, w dwudziestym piątym roku mego Pontyfikatu. + Rachunek sumienia ostateczny na sądzie Bożym zwieńczony będzie przebaczeniem wtedy, gdy człowiek wydaje sądy sprawiedliwe o innych, poprzedzone zbadaniem siebie samego. „Synu, do dobrych uczynków nie dodawaj przygany ani przykrego słowa do każdego daru. Czyż upału nie łagodzi rosa? Tak lepsze jest słowo niż podarunek. Oto, czy nie jest lepsze słowo niż dobry datek? A jedno z drugim łączy się u człowieka życzliwego. Nierozumny zaś robi wymówki niezgodnie z miłością, a dar zazdrosnego wyciska łzy z oczu. Uczy się, zanim ci przyjdzie przemawiać, i miej staranie o 26 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF siebie, zanim zasłabniesz. Zanim sąd wydasz, zbadaj siebie samego, a w godzinę obrachunku znajdziesz przebaczenie. Nim wpadniesz w chorobę, upokórz się, a gdy zgrzeszysz, daj dowód nawrócenia! Niech ci nic nie stanie na przeszkodzie, by wykonać ślub w należnym czasie, ani nie czekaj aż do śmierci, by z długów się uiścić. Zanim złożysz ślub, przygotuj siebie, a nie bądź jak człowiek, który Pana wystawia na próbę. Pamiętaj o gniewie Jego w dniach ostatnich, o chwili pomsty, gdy odwróci oblicze. Pamiętaj o chwili głodu, gdy jesteś w obfitości, o biedzie i niedostatku – w dniach pomyślności. Od rana do wieczora okoliczności się zmieniają i wszystko prędko biegnie przed Panem. Człowiek mądry we wszystkim zachowa ostrożność, a w dniach, kiedy grzechy panują, powstrzyma się od błędu. Każdy rozumny uzna mądrość, a temu, kto ją znalazł, wyrazi uznanie. Rozumni w mowach sami jako mędrcy wystąpią i niby deszcz wyleją przysłowia doskonałe. Nie idź za twymi namiętnościami: powstrzymaj się od pożądań! Jeżeli pozwolisz duszy swej na upodobanie w namiętnościach, uczynisz z siebie pośmiewisko dla twych nieprzyjaciół. Nie miej upodobania w życiu wystawnym, abyś się nie uwikłał w jego wydatki. Nie czyń się biednym, urządzając uczty za pożyczone pieniądze, gdy nie masz nic w kieszeni” (Syr 18, 15-33). + Rachunek sumienia Oświecenie niemieckie, o reperkusjach widocznych jeszcze w naszych czasach. Zjawisko „epistemologicznego zarażenia teologii przez filozofię Oświecenia” (M.-D. Chenu) spowodowało, że teologia XVIII wieku stała się „ontologią konceptualną”. Język takiej teologii był bardzo ubogi, Wywody ograniczały się do sfery spekulatywno-abstrakcyjnej. Zamiast zgłębiać tajemnice stworzenia i osoby ludzkiej, ograniczano się do czystej przyczynowości. Teksty biblijne bywały przedmiotem manipulacji, mającej na celu udowodnić wcześniej przygotowaną, „racjonalną” tezę. Sakramenty przestały być „misteriami”, a stały się „znakami praktycznymi”. „Teologia stała się nauką konkluzji, zorganizowaną prawie wyłącznie według prawideł logiki, rezygnując ze swego – wypracowanego w okresie patrystyki i wczesnego Średniowiecza – o wiele bardziej wszechstronnego paradygmatu” /J. Szymik, Teologia na początek wieku, Księgarnia św. Jacka i Apostolicum, Katowice-Ząbki 2001, s. 79/. Hiszpania wieku XVIII jest terenem rozszerzania się pod wpływami francuskimi gallikanizmu a pod wpływami angielskimi deistycznego racjonalizmu. „Antidotum poszukiwano w dwóch kierunkach: w rozwoju literatury ściśle apologetycznej (R. Nuix, T. d’Almeyda, P. A. Olivade) oraz w restauracji i unowocześnieniu scholastyki (J. Castro, R. Puigover). Z różnym, najczęściej miernym skutkiem”. Apologetyka panowała we wszystkich krajach romańskich. W protestanckich krajach Północy asymilowano, przetwarzano, „chrzczono” to, co się dało, z myśli przeciwnika. Dla zneutralizowania ostrza ataku włączano metodologiczną warstwę poglądów adwersarzy w kanon własnych rozwiązań. Tak uczyniła większość teologów angielskich i holenderskich /Tamże, s. 80/. „Jednak najbardziej wielowątkowe, długotrwałe i płodne spotkanie między Oświeceniem i teologią miało miejsce w Niemczech. Aufkärung było czymś innym niż angielskie Englightenment czy francuskie Lumières. Wyrastało z innych korzeni, nie było – z różnych względów – tak radykalnie antychrześcijańskie i antykościelne. Ostrze niemieckiego racjonalizmu było wymierzone jakby w inne cele. I dlatego Aufkärung przybrało nad Renem charakter czegoś, co można by nazwać teologiczno-pastoralnym „rachunkiem 27 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF sumienia” – twórczym ostatecznie, o reperkusjach widocznych jeszcze w naszych czasach” /Tamże, s. 81. + Rachunek sumienia personalizuje człowieka wydobywając jego wnętrze na światło dzienne. Persona rolą teatralną, maską, obliczem ukazującym wnętrze człowieka na światło dzienne, w świetle słońca (per-sonare). Pismo Święte nie zna terminu osoba. Opisuje człowieka za pomocą potrójnej relacji: zależności od Boga, panowania nad światem i równości między ludźmi. Człowiek jest bytem relacyjnym. Myśl grecka nie tylko nie zawierała terminu osoba, ale nawet nie znała pojęcia osoby. Pojęcie osoby powstało jednak jako podsumowanie tego, co zawiera się w Piśmie Świętym. Dotyczy to osoby ludzkiej i Osoby Boskiej. Ojcowie Greccy i św. Augustyn mówili o biblijnej treści personalistycznej posługując się językiem filozofii greckiej, który był w tamtym systemie używany inaczej i wyrażał coś innego. Personalizm jest zakodowany w chrześcijaństwo. Ujawnił się w myśli teologicznej wtedy, gdy owa myśl zaczęła się rozwijać /J. L. Ruiz de la Peña, Imagen de Dios. Antropología teológica fundamental, Sal Terrae, Colección “Presencia teológica” 49, wyd. 2, Santander 1988, s. 155/. Archetypem tego, co ludzkie jest kosmos. Człowiek jest mikrokosmosem, streszczeniem całej natury. Filozofia grecka mówiła w ten sposób o idei człowieka, ale nie o człowieku konkretnym. Persona była rolą teatralną, maską, obliczem ukazującym wnętrze człowieka na światło dzienne, w świetle słońca (per-sonare). Maska uzupełniała głos aktorów, pomagała zrozumieć treść wypowiadanych słów. Osoby Boże ujawniały swoje (zewnętrzne) oblicze w Objawieniu, w działaniu we wnętrzu ludzkiej historii. Za widzialnym obliczem kryje się niewidzialna, Boża treść. Nauczanie Kościoła, teologiczne i hierarchiczne, przechodziło coraz mocniej od mówienia „teatralnego” do mówienia metafizycznego, od oblicza do substancji, od prosopon do housia. Najważniejsze jest to, że Osoby Boże są relacjami (esse ad). Bóg, to nie tylko logos, idea czysta i nieprzechodnia, lecz dia-logos, nieskończona zdolność otwarcia i komunikacji. Nieskończona realizacja tej możliwości /Tamże, s. 156. + Rachunek sumienia po śmierci. Sąd szczegółowy według ksiąg apokryficznych będzie po śmierci trwał siedem dni (4 Esd 7, 101; Hen 14, 4; 41, 1). Oglądanie chwały Bożej będzie okazją do rachunku sumienia. Tego rodzaju koncepcje funkcjonowały w środowisku judajskim w czasach Jezusa i w czasach redagowania Nowego Testamentu. Idee te skrystalizowały się w nauczaniu Kościoła jako myśl o stanie pośrednim, o czyśćcu. [Sąd szczegółowy natomiast został ograniczony do czasu przed śmiercią]. Obietnica raju złożona łotrowi wiszącemu na krzyżu obok przez Jezusa (Łk 23, 43) dotyczyła treści znanej ówcześnie jako „łono Abrahama” (Łk 16, 22), które jest miejscem oczekiwania na zmartwychwstanie. Jezus mówił o trzech dniach swego oczekiwania w sercu ziemi (Mt 12, 38-41) /M. García Cordero, La esperanza del más allá en el Nuevo Testamento, “Ciencia Tomista” 114 (1987) nr 373, 209-264, s. 224/. Wychodząc z otchłani Jezus pociągnął za sobą świętych, którzy ukazali się w Jerozolimie (Mt 27, 52-53). Tymczasem łotr proszący Jezusa, aby o nim wspomniał, myślał o raju jako Królestwie mesjanicznym na Ziemi. Jezus mówił o raju, który jest w innym świecie (Łk 23, 43). Ponadto, miejsce łotra w nim będzie zaszczytne, pierwsze. Piotr w Dz 2, 24n ogłasza, że Ojciec nie opuścił Chrystusa w Hadesie i doprowadził go do zmartwychwstania. Również św. Paweł mówi o schodzeniu duszy Jezusa 28 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF do otchłani (Rz 10, 6-7). Jezus jest pierwszym spośród umarłych, czyli tym, który był w szeolu i z niego wyszedł (Kol 1, 20). Poszedł głosić zmarłym duchom zbawienie w duchu (pneuma) swoim (1 P 3, 18-20). W najgłębszych miejscach znajduje się szatan (Jud 5; Ap 20, 7) /Tamże, s. 225/. Moc zbawcza paschy Chrystusa ogarnia wszystkich ludzi, nawet największych grzeszników (Rdz 6, 1-6; 1 P 4, 5-6). Śmierć fizyczna przeciwstawiona jest życiu duchowemu duszy (alma). Człowiek cielesny uległ zniszczeniu, a człowiek duchowy odnawia się z dnia na dzień (2 Kor 4, 10). Dzięki Chrystusowi życie będzie dane również ciału /Tamże, s. 226/. Śmierć fizyczna (nekrosis) nie dotyka człowieka wewnętrznego, który żyje sprawiedliwie /Tamże, s. 227. + Rachunek sumienia polega na poznaniu samego siebie. „Jeżeli wierzyć Balthasarowi, znana maksyma grecka – Poznaj samego siebie („wejdź w siebie, przyjmij, co Bóg powiedział, że jesteś tylko człowiekiem”; por. H. Urs von Balthasara, W pełni wiary, Znak, Kraków 1991, s. 79) – wskazuje na możliwość poznania siebie w konfrontacji z bogami. Sokrates, przypuszczalny autor tego testu (Por. Platon, Fajdros, przeł. W. Witwicki, PWN, Warszawa 1958, nr 230), wprowadził znaczącą nowość w dotychczasowym sposobie myślenia o człowieku” /Z. J. Kijas OFMConv, Homo Creatus Est. Ekumeniczne stadium antropologii Pawła A. Florenskiego (zm. 1937) i Hansa von Balthasara (zm. 1988), Kraków 1996, s. 18/. „Starożytny filozof podchodził do osoby ludzkiej jako do problemu zamkniętego, który istnieje w sobie samym, a więc niezależnie od relacji z bogami. Poznaj samego siebie było swoistym rachunkiem sumienia, poważnym zastanowieniem się nad tajemnicą własnej natury stanowiąc samą istotę poznania. Z drugiej strony, co zauważył sam autor, było to przedsięwzięcie na tyle skomplikowane, iż tylko sam Jowisz był w stanie je rozwiązać (A. J. Heschel, Chi è l’uomo? Rusconi 1976, s. 30. Według poety Menandra powiedzenie: „Poznaj samego siebie” nie oddaje dobrze zadania człowieka. Należałoby raczej powiedzieć: „Poznaj innych”; Por. Menander, The Principal Fragments, Wyd. Frances G. Allison, New York 1930, s. 36). Przyrodnicy utrzymują, że człowiek nie tylko wywodzi się ze świata zwierzęcego, nie tylko był zwierzęciem, ale także nim pozostaje. […] Powyższa teza nie ujmuje jednak istoty człowieka; […] zatrzymanie się w tym momencie byłoby zdradą duchowego bogactwa człowieka. W tym kierunku szły np. rozważania Arystotelesa (IV w.). […] Scholastyka chrześcijańska nie podważyła opinii Stagiryty określając człowieka jako „Animal rationale”. Wiemy jednak, że takie określenia obciążają liczne braki” /Tamże, s. 19/. „Protagoras (V w. przed Vhr.) utrzymywał, że człowiek jest miarą wszystkich rzeczy. […] Współczesny człowiek, niewątpliwie bardziej niż jego przodkowie, interesuje się odczytaniem tajemnicy własnej natury, jej miarą i charakterem. Im bardziej oddalamy się od siebie (w znaczeniu duchowym), im większa staje się alienacja człowieka i jego redukcja do przedmiotów nieożywionych, tym wyraźniej wzrasta jego zakłopotanie i zarazem pragnienie odnalezienia antropologicznej niewiadomej” /aporia, zakłopotanie i niemożność dojścia do odpowiedzi/ /Tamże, s. 20/. „Tak więc chodzi głównie o człowieka w wymiarze historiozbawczym, o możliwie pełne odczytanie tych duchowych darów, w które Stwórca zaopatrzył go w stworzeniu pozwalając mu uczestniczyć w tajemnicy Swojej osoby /”Swojej osoby”?, raczej powinno 29 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF być: „Swoich osób”/, a zarazem wyznaczył mu konkretną misję do spełnienia” /Tamże, s. 21. + Rachunek sumienia przez gest przeprosin. „Jedna z charakterystycznych cech naszej epoki jest skłonność współczesnych do przepraszania za błędy popełnione przez ludzi przeszłości. Postawę taką możemy zaobserwować wśród polityków, intelektualistów, artystów i, co najmniej równie często, wśród przedstawicieli Kościołów chrześcijańskich. Nie ma niemal miesiąca, by prasa nie informowała o kolejnym akcie skruchy czy prośbie o przebaczenie. Kościół episkopalny w Stanach Zjednoczonych przeprosił za swoje dotychczasowe stanowisko w stosunku do homoseksualistów i lesbijek; premier Australii wyraził skruchę z powodu cierpień, jakie Aborygenom zadali biali kolonizatorzy, a w jego kroki poszedł prezydent Stanów Zjednoczonych zwracając się o przebaczenie do potomków Indian” /P. Lisicki, Cudze piersi, „Fronda“ Nr 11/12 (1998), 12-35, s. 12/. „Wydaje się, że pod koniec XX w. mamy do czynienia z ogromną potrzebą wyjaśniania zła historii. Motywy takiego postępowania mogą być rozmaite. Jedni wierzą, że tylko w taki sposób można pokonać demony przeszłości, gwałt, przemoc i wojny. Przeprosiny byłyby gestem otwierającym przyszłość, sposobem na walkę z urazami i przesądami. Byłyby swoistym sposobem oczyszczenia pamięci, być może nawet rachunkiem sumienia. Dla innych publiczne wyznanie win w mieniu swych przodków jest aktem odwagi moralnej, rodzajem zadośćuczynienia dla ofiar, wyzwoleniem z zemsty, jawnym zerwaniem ze złą tradycją. Stanowi prawdziwie nowy początek. Niestety, mimo że dostrzegam te wszystkie motywy, mimo iż doceniam ich wagę, ba, niekiedy wręcz gotów byłbym się solidaryzować z przepraszającymi, czuję coraz większy niepokój. Muszę podkreślić, że powodem tego niepokoju nie jest, jak wierzę, małoduszna obawa, iż cenione przeze mnie wartości, czyli Kościół i naród, utracą swój pozytywny wizerunek. Nie jest to jedynie kwestia dobrego imienia” /Tamże, s. 13/. „tak samo jak nie wierzę, aby ktokolwiek mógł przeprosić za moje winy, nie czuję się również upoważniony do przepraszania za winy i grzechy innych!” /Tamże, s.15. + Rachunek sumienia przygotowuje do przyjęcia sakramentu pokuty, przeprowadzony w świetle słowa Bożego. „Formuła rozgrzeszenia używana w Kościele łacińskim wyraża istotne elementy tego sakramentu: Ojciec miłosierdzia jest źródłem wszelkiego przebaczenia. Dokonuje On pojednania grzeszników przez Paschę swojego Syna i dar Ducha Świętego, za pośrednictwem modlitwy i posługi Kościoła: Bóg, Ojciec miłosierdzia, który pojednał świat ze sobą przez śmierć i zmartwychwstanie swojego Syna i zesłał Ducha Świętego na odpuszczenie grzechów, niech ci udzieli przebaczenia i pokoju przez posługę Kościoła. I ja odpuszczam tobie grzechy w imię Ojca i Syna, i Ducha Świętego” (KKK 1449). „Pokuta zobowiązuje grzesznika do dobrowolnego przyjęcia wszystkich jej elementów: żalu w sercu, wyznania ustami, głębokiej pokory, czyli owocnego zadośćuczynienia w postępowaniu” (KKK 1450). „Wśród aktów penitenta żal za grzechy zajmuje pierwsze miejsce. Jest to „ból duszy i znienawidzenie popełnionego grzechu z postanowieniem niegrzeszenia w przyszłości” (KKK 1451). „Gdy żal wypływa z miłości do Boga miłowanego nade wszystko, jest nazywany „żalem doskonałym” lub „żalem z miłości” (contritio). Taki żal odpuszcza grzechy powszednie. Przynosi on także przebaczenie grzechów śmiertelnych, jeśli 30 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF zawiera mocne postanowienie przystąpienia do spowiedzi sakramentalnej, gdy tylko będzie to możliwe” (KKK 1452). „Także żal nazywany „niedoskonałym” (attritio) jest darem Bożym, poruszeniem Ducha Świętego. Rodzi się on z rozważania brzydoty grzechu lub lęku przed wiecznym potępieniem i innymi karami, które grożą grzesznikowi (żal ze strachu). Takie poruszenie sumienia może zapoczątkować wewnętrzną ewolucję, która pod działaniem łaski może zakończyć się rozgrzeszeniem sakramentalnym. Żal niedoskonały nie przynosi jednak przebaczenia grzechów ciężkich, ale przygotowuje do niego w sakramencie pokuty” (KKK 1453). „Do przyjęcia sakramentu pokuty należy przygotować się przez rachunek sumienia, przeprowadzony w świetle słowa Bożego. Najbardziej nadają się do tego teksty, których należy szukać w Dekalogu i w katechezie moralnej Ewangelii i Listów Apostolskich: w Kazaniu na Górze i pouczeniach apostolskich” (KKK 1454). „Wyznanie grzechów (spowiedź), nawet tylko z ludzkiego punktu widzenia, wyzwala nas i ułatwia nasze pojednanie z innymi. Przez spowiedź człowiek patrzy w prawdzie na popełnione grzechy, bierze za nie odpowiedzialność, a przez to na nowo otwiera się na Boga i na komunię Kościoła, by umożliwić nową przyszłość” (KKK 1455). + Rachunek sumienia Spożywanie chleba lub picie kielicha Pański niegodne, sprowadza winę wielką. „Pan kieruje do nas usilne zaproszenie, abyśmy przyjmowali Go w sakramencie Eucharystii: „Zaprawdę, zaprawdę, powiadam wam: Jeżeli nie będziecie spożywali Ciała Syna Człowieczego i nie będziecie pili Krwi Jego, nie będziecie mieli życia w sobie” (J 6, 53)” (KKK 1384). „Aby odpowiedzieć na to zaproszenie, musimy przygotować się do tej wielkiej i świętej chwili. Św. Paweł wzywa nas do rachunku sumienia: „Kto spożywa chleb lub pije kielich Pański niegodnie, winny będzie Ciała i Krwi Pańskiej. Niech przeto człowiek baczy na siebie samego, spożywając ten chleb i pijąc z tego kielicha. Kto bowiem spożywa i pije, nie zważając na Ciało Pańskie, wyrok sobie spożywa i pije” (1 Kor 11, 27-29). Jeśli ktoś ma świadomość grzechu ciężkiego, przed przyjęciem Komunii powinien przystąpić do sakramentu pojednania” (KKK 1385). „Wobec wielkości tego sakramentu chrześcijanin może jedynie powtórzyć z pokorą i płomienną wiarą słowa setnika: Domine, non sum dignus, ut intres sub tectum meum, sed tantum dic verbo, et sanabitur anima mea – „Panie, nie jestem godzien, abyś przyszedł do mnie, ale powiedz tylko słowo, a będzie uzdrowiona dusza moja”. W liturgii św. Jana Chryzostoma wierni modlą się w tym samym duchu: Synu Boży, pozwól mi dzisiaj uczestniczyć w Twojej uczcie mistycznej. Nie zdradzę tajemnicy wobec Twych nieprzyjaciół ani nie dam Ci pocałunku Judasza, ale wołam do Ciebie słowami łotra na krzyżu: Wspomnij o mnie, Panie, w Twoim Królestwie” (KKK 1386). „Aby przygotować się odpowiednio na przyjęcie sakramentu Eucharystii, wierni zachowają ustanowiony przez Kościół post. Postawa zewnętrzna (gesty, ubranie) powinna być wyrazem szacunku, powagi i radości tej chwili, w której Chrystus staje się naszym gościem” (KKK 1387). „Zgodnie z tym, co oznacza Eucharystia, jest rzeczą właściwą, by wierni, jeśli tylko są odpowiednio usposobieni, przyjmowali Komunię, gdy uczestniczą we Mszy świętej. „Zaleca się usilnie ów doskonalszy sposób uczestniczenia we Mszy świętej, który polega na tym, że po Komunii kapłana wierni przyjmują Ciało Pańskie z tej samej ofiary” (KKK 1388). „Kościół zobowiązuje wiernych do uczestniczenia w niedziele i święta w Boskiej liturgii 31 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF i do przyjmowania Eucharystii przynajmniej raz w roku, jeśli to możliwe w Okresie Wielkanocnym, po przygotowaniu się przez sakrament pojednania. Ale Kościół gorąco zaleca jednak wiernym przyjmowanie Najświętszej Eucharystii w niedziele i dni świąteczne lub jeszcze częściej, nawet codziennie” (KKK 1389). „Dzięki sakramentalnej obecności Chrystusa w każdej z obu postaci Komunia przyjmowana tylko pod postacią chleba pozwala otrzymać cały owoc łaski Eucharystii. Ze względów duszpasterskich ten sposób przyjmowania Komunii świętej ustalił się powszechnie w obrządku łacińskim. „Ze względu na wymowę znaku Komunia święta nabiera pełniejszego wyrazu, gdy jest przyjmowana pod obiema postaciami. W tej bowiem formie ukazuje się w doskonalszym świetle znak Uczty eucharystycznej”. Jest to forma zwyczajna przyjmowania Komunii w obrządkach wschodnich” (KKK 1390). + Rachunek sumienia w malarstwie Hieronima Boscha Człowiek przychodzi na świat z grzechem pierworodnym, od początku należy do świata występku. Przejście do świata cnoty wymaga wysiłku. Większość ludzi nie posiada siły, aby być ludźmi wolnymi, którzy mogą dokonać wolnego wyboru. Ludzi zdecydowanych i silnych duchowo jest niestety bardzo niewielu. W twórczości Boscha pojawia się groźba Sądu Ostatecznego jako sprawiedliwej i ostatecznej oceny dokonywanej przez Boga. W większości obrazy Boscha ukazują życie codzienne, sytuację aktualna. Natomiast obraz Sądu stanowi punkt zwrotny, linię graniczną między opisem rzeczywistości a zapowiedzią przyszłości. Być może autor nie zamierzał przepowiadać rzeczywistości przyszłych a jedynie ostrzec i wezwać do zastanowienia nad sobą i dokonania przemiany Człowieka Masowego w Szlachetnego H69.1 35. + rachunek sumienia z czytania Pisma Świętego. Pryscylian dąży do utworzenia wspólnoty równych, którzy posiadają tego samego duch – Ducha Chrystusa., ducha prorockiego. Jest to Duch Święty, który wprowadza równość fundamentalną we wspólnocie. Wszyscy we wspólnocie posiadają tego samego ducha i wszystkim został dany „sensus scripturae”, czyli inteligencja wynikająca z Pisma Świętego. Wszyscy posiadają charyzmat prorocki, który oznacza służbę we wspólnocie, w wolności. Wszyscy chrześcijanie powinni czytać Pismo Święte, i wszyscy powinni z tego zdawać sprawę. W1.1 132 + Rachunek tensorowy Język rachunku tensorowego wykorzystany dla zbudowana ogólnej teorii względności. Matematyzacja przyrody. Teza o zróżnicowaniu języka matematycznego. „Język matematyki – będący podstawowym językiem tzw. nauk ścisłych, głównie nauk matematycznych, ścisłego przyrodoznawstwa oraz ścisłych nauk technicznych – jest faktycznie nie jednym (wspólnym, jednolitym) językiem, lecz stanowi całą grupę języków. Widać to stąd, że różne działy nauk (np. fizyki), a nawet poszczególne teorie naukowe posługują się na ogół odmienną aparaturą matematyczną. Na przykład język przestrzeni Hilberta, którym posługują się pewne standardowe ujęcia mechaniki kwantowej, różni się znacznie od języka rachunku tensorowego i geometrii różniczkowej, przy użyciu którego została zbudowana ogólna teoria względności. Co więcej, niekiedy jest tak, że ta sama teoria jest budowana przy użyciu różnych aparatów matematycznych (które są równoważne ze sobą lub nie). Na przykład 32 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF mechanika kwantowa posiada dwa równoważne ujęcia matematyczne – ujęcie falowe (Schrodingera) oraz ujęcie matrycowe (Heisenberga) – a ponadto może być ujmowana albo w kategoriach przestrzeni Hilberta (i wtedy mamy trzy równoważne opracowania: matrycowe Heisenberga, falowe Schrodingera oraz ujęcie Diraca), albo w trzech co najmniej innych wersjach (m.in. w słynnym ujęciu Feynmana „sumowania po historiach”), które nie są równoważne matematycznie, ale prowadzą do tych samych wniosków empirycznych” /J. Such, Matematyka a świat fizyczny, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 111-118, s. 116. + Rachunek uniwersalny calculus universalis Metoda rachunkowej, która miała pozwalać na rozwiązywanie w uniwersalnym języku wszelkich problemów. Język Leibniza spełniał określone warunki. „Zgodnie z tymi warunkami, poszczególne proste pojęcia, odpowiadające prostym cechom, miały być wyrażane przez pojedyncze znaki graficzne, zaś pojęcia złożone – przez układy znaków. U podstaw tkwiło tu założenie, że cały słownik języka nauki da się utworzyć kombinatorycznie przez łączenie na różne sposoby nielicznych pojęć prostych. Tę metodę konstruowania pojęć nazywał Leibniz ars combinatoria. Była ona częścią ogólniejszej metody rachunkowej, która miała pozwalać na rozwiązywanie w uniwersalnym języku wszelkich problemów. Nazywała się ona: mathesis universalis, calculus universalis, logica mathematica, logistica. Leibniz wiązał ogromne nadzieje z tym uniwersalnym językiem graficznym. Najlepiej świadczy o tym następujący cytat z jednej z jego prac: „A gdy to już nastąpi [tzn. gdy uda się urzeczywistnić ideę języka uniwersalnego — uwaga moja, R. M.], dwaj filozofowie, ilekroć powstanie spór, nie będą inaczej rozprawiać, aniżeli dwaj rachmistrze. Wystarczy, jeśli wezmą pióra do ręki, zasiądą do tablic i jeśli jeden drugiemu powie (używając, jeśli chcecie, przyjacielskiego zawołania): Calculemus (Porachujmy)!” (cytat pochodzi z pracy bez tytułu, napisanej po roku 1648; por. G.W. Leibniz, Philosophische Schriften, t. 7, ss. 198-201; patrz antologia, ss. 95-98)” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 49/. „Leibniz twierdził też, że „wszystkie odkrycia w matematyce zawdzięcza swemu udoskonalonemu stosowaniu symboli, a jego wynalazek rachunku różniczkowego był dlań właśnie tego przykładem” por. L. Couturat, La logique de Leibniz, F. Alcan, Paris 1901, ss. 84-85; Tamże, s. 50. + Rachunek wariacyjny Hilbert Dawid (1862-1943). „Urodził się w Królewcu. Na tamtejszym uniwersytecie studiował w latach 1880-1884 (z wyjątkiem drugiego semestru, kiedy to studiował w Heidelbergu). Doktorat uzyskał w r. 1885, a w r. 1886 habilitował się i został docentem prywatnym (Privatdozent), w 1892 zaś – profesorem tejże uczelni. W 1895 r. przeniósł się do Getyngi, gdzie został profesorem matematyki. Mieszkał tam do końca życia. Był niezwykle zdolnym i twórczym matematykiem, pracował po kilka lat nad coraz to innym działem matematyki, wszędzie uzyskując istotne wyniki. Zajmował się teorią niezmienników algebraicznych, teorią liczb algebraicznych, podstawami geometrii, rachunkiem wariacyjnym, teorią równań całkowych, teorią liczb oraz podstawami matematyki” /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 210. 33 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF + Rachunek wariacyjny wieku XX Zermelo E. F. F. „Zermelo Ernst Friedrich Ferdinand (1871-1953). Urodził się w Berlinie. Studiował na Uniwersytecie Berlińskim, który skończył w 1894 r. Pracował następnie na uniwersytetach w Getyndze, Zurychu i Freiburgu, gdzie też w r. 1906 został profesorem. Zajmował się teorią mnogości, rachunkiem wariacyjnym, zastosowaniami rachunku prawdopodobieństwa w fizyce statystycznej” /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 220. + Rachunek wektorowy aparatem formalno-matematycznym w psychologii topologicznej; centralną kategorią jest tzw. przestrzeń hodologiczna (hodological space). „Człowiek przestrzenny w teorii pola / Przestrzeń, zdaniem Bergsona, to jednolite i puste środowisko, nieskończenie podzielne, poddające się obojętnie każdemu sposobowi rozkładania. Innymi słowy, jest to schemat naszego możliwego działania na rzeczy (H. Bergson, Ewolucja twórcza, s. 143). W innej swej pracy powiada on, że przestrzeń to tor drogi raz przebytej i jako taka jest ona nieskończenie podzielna (Zob.: H. Bergson, Myśl i ruch, s. 115). „Tak więc przestrzeń naszej geometrii i przestrzenność rzeczy rodzą się nawzajem przez obopólne działanie i oddziaływanie dwóch członów, których jestestwo jest to samo, ale które idą w przeciwnych kierunkach. Ani przestrzeń nie jest tak obca naszej naturze, jak to sobie wyobrażamy, ani też materia nie jest tak całkowicie rozciągła w przestrzeni, jak to sobie przedstawia nasz umysł i nasze zmysły” (H. Bergson, Ewolucja twórcza, s. 182). Twierdzenie to zrozumieć można lepiej w świetle stworzonej w połowie naszego wieku przez Kurta Lewina teorii pola. Pole jest to struktura formalno-matematyczna (w tym wypadku geometryczna), w której realizuje się zachowanie. Lewin sądzi bowiem, iż ludzkie zachowanie może być opisywane w terminach rygorystycznej matematyki (postulat formalizacji humanistyki)” /J. Leman, Człowiek jako „zwierzę” terytorialne, w: Przestrzeń w nauce współczesnej, t. 2, red. S. Symiotuk, G. Nowak, Wydawnictwo Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej, Lublin 1999, 81-107, s. 101/. „W przypadku psychologii topologicznej za ów aparat formalno-matematyczny służy mu rachunek wektorowy, centralną zaś kategorią jest tzw. przestrzeń hodologiczna (hodological space). Ujmuje ona w całości dążenia motywacyjne osoby i istniejące poza nią przedmioty jej dążeń. Wszelkie nasze zachowania, takie jak działanie, myślenie, wartościowanie, da się wyrazić jako zmianę pewnego stanu pola w danym czasie. Pole nie ma charakteru statycznego, lecz dynamiczny – nieustannie ulega przekształceniom, rozrasta się o nowe determinanty, które mają wpływ na zachowanie jednostki lub grupy, gdzie każdy element (punkt) współdziała z innymi, a zmiana napięcia w jednym z nich natychmiast rodzi tendencję do usunięcia tej różnicy i odtworzenia równowagi dynamicznej. Siły, jakie rządzą tymi procesami, są dwojakiego rodzaju: wynikają z samej struktury pola (kognitywnego) oraz wartościowań (potrzeb i motywacji). „Pierwszy typ sił, prowadzący do zmiany struktury kognitywnej, jest bardzo podobny, jeśli nie identyczny, do tych sił, które rządzą polami perceptualnymi” (K. Lewin, Field Theory in Social Science, New York 1951, s. 83). One bowiem też wypływają z kognitywnej struktury pola” /Tamże, s. 102. + Rachunek wektorowy Mechanika klasyczna stosuje równania różniczkowe oraz rachunek wektorowy. Rozwój metod matematycznych w fizyce. „W toku czterech stuleci rozwoju nowożytnej fizyki stosowano w 34 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF niej rozmaite metody matematyczne. Właściwie każda wielka teoria wymagała nowych narzędzi matematycznych, co chcę przedstawić na ważniejszych przykładach. Będzie to zresztą jedynie pobieżny rzut oka na rozwój metod matematycznych w fizyce. Analizując bliżej stosowanie matematyki w fizyce, można wskazać na kilka wyłaniających się tu problemów. Wspomnę od razu, że będę korzystał z interesującej książki rosyjskiego filozofa nauki Igora Akczurina, który wyróżnia cztery problemy, związane ze stosowaniem matematyki w fizyce /I. Akczurin, Jedinslwo jestestwienno-naucznowo znanija, Moskwa 1974/. Pierwszym problemem jest znalezienie odpowiedniego dla danej teorii narzędzia matematycznego, drugim – związanej z nim przestrzeni abstrakcyjnej, trzecim – ustalenie obiektów fizycznych, traktowanych jako elementarne, czwartym – operacji, które przyporządkowują tym obiektom wyrażenia matematyczne. A treścią teorii są równania, opisujące ruch wymienionych obiektów lub stosunki pomiędzy nimi. Oto najważniejsze przykłady” /W. Krajewski, Platońskie inspiracje a platonizm. O problemach filozoficznych matematyzacji nowożytnej nauki, w: Między matematyką a przyrodoznawstwem, red. nauk. E. Piotrowska, D. Sobczyńska, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu, Wydawnictwo Naukowe Instytutu Filozofii, Poznań 1999, 97-109, s. 101/. Klasyczna mechanika korzysta z takich narzędzi, jak równania różniczkowe oraz rachunek wektorowy. Jej elementarnymi obiektami są punkty materialne (i działające na nie siły). Punkt materialny porusza się w trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej. Położeniu punktu przyporządkowana jest trójka liczb rzeczywistych. Był to, jak wiadomo, genialny wynalazek Kartezjusza, podobnie jak pojęcie pochodnej i równania różniczkowego były genialnymi wynalazkami Newtona i Leibniza. Podstawową treścią klasycznej mechaniki punktu materialnego są prawa Newtona. Później, w wiekach XVIII i XIX, mechanika klasyczna przybierała nowe formy matematyczne (Lagrange, Hamilton), ale nie będziemy się na tym zatrzymywać” Tamże, s. 102. + Rachunek wystawionego przez Prusa B. społeczeństwu. „Omyłka ukazuje się drukiem pod koniec roku 1884 w numerach 49-52 „Kraju” – pisma wychodzącego w Petersburgu. […] cenzura petersburska była liberalniejsza od warszawskiej. „sens uogólniający” Omyłki obejmuje zagadnienia szersze niż problemy ewokowane przez powstanie styczniowe, że „dotyczy zagadnień etycznych, czy szerzej: społeczno-etycznych” (E. Pieścikowski, Geneza „Omyłki”, w: E. Pieścikowski, Nad twórczością Bolesława Prusa, Poznań 1989, s. 52-66). […] Omyłka jednakże to nie tylko utwór o zawoalowanym powstaniowym temacie, nie tylko próba ukazania bardziej uniwersalnych podstaw konfliktu światopoglądowego; to również niezwykle interesujący tekst nowelistyczny, ukształtowany konsekwentnie według przyjętych, w ramach konwencji realistycznej, założeń formalnych i o wyrazistej strukturze narracyjno-kompozycyjnej. To ukształtowanie wspomaga, z jednej strony, kamuflaż tematyczny, z drugiej natomiast – stanowi wartość suwerenną utworu, ograniczająca doraźną tendencyjność i zbytnią jednoznaczność sugestii „języka ezopowego”. Już w powierzchniowej warstwie semantycznej Omyłki toczy się – istotna z punktu widzenia całości tekstu – „gra” pomiędzy konkretnością obrazu świata a jego nieokreślonością” /T. Bujnicki, Bolesław 35 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF Prus Omyłka (poetyka i konteksty), w: Małe formy narracyjne, red. E. Łoch, Wydawnictwo Uniwersytetu Marii Curie-Skłodowskiej, Lublin, konferencja naukowa Nałęczów 1991, 11-23, s. 12/. „Budując zamknięty, zakreślony ramami percepcji narratora mikroświat domu i najbliższej okolicy, pisarz celowo usunął zeń wszelkie nazwy topograficzne oraz historyczne nazwiska i zdarzenia. Wypadki rozgrywają się w jakimś miasteczku, w bliżej nieokreślonym czasie, postaci podejmują jakieś – niejasne – działania, rodzi się jakieś niebezpieczeństwo, jakieś oddziały toczą bitwę, tajemniczy starzec jest, według powszechnej opinii, czyimś szpiegiem. W tej pasji zacierania śladów widoczna jest konsekwencja tak silna, że aż przekracza ona potrzeby „mowy ezopowej”, stając się elementem poetyki utworu. Równocześnie jednak różne, dodatkowo wprowadzane do tekstu aluzje i cytaty (np. pieśni śpiewane przez kasjera w domu rodzinnym narratora, literatura „przerabiana” na lekcjach, […] tworzą oczywistą, zwłaszcza dla ówczesnego czytelnika, sugestię, że tłem zdarzeń jest konkretne i rzeczywiste powstanie styczniowe. Obraz świata nabiera zatem cech wtórnej konkretności i realności, stając się zarazem znakiem szerszym i na swój sposób stypizowanym. Staje się – jedną z wielu możliwych, choć zindywidualizowanych, sytuacji powstaniowych. Sytuacja ta odnosi również utwór do innych kontekstów, związanych z ważnymi przez cały okres zaborów sporami o granice realizmu politycznego, „mierzenia zamiarów na siły” i z romantyczna wiarą w sukces przy najbardziej nie sprzyjających okolicznościach. Omyłka, utwór szczególnie gorzki w swojej wymowie, jest próbą literackiego rachunku wystawionego przez Prusa społeczeństwu; obnażeniem werbalnego, bezrefleksyjnego i emocjonalnego „patriotyzmu”, którego efekty mogą być groźne i niszczące” /Tamże, s. 13. + Rachunek z czynów przed Bogiem muszą zdać wszyscy ludzie. „Lękajmy się przeto, gdy jeszcze trwa obietnica wejścia do Jego odpoczynku, aby ktoś z was nie mniemał, iż jest jej pozbawiony. Albowiem i myśmy otrzymali dobrą nowinę, jak i tamci, lecz tamtym słowo usłyszane nie było pomocne, gdyż nie łączyli się przez wiarę z tymi, którzy je usłyszeli. Wchodzimy istotnie do odpoczynku my, którzy uwierzyliśmy, jak to powiedział: Toteż przysiągłem w gniewie moim: Nie wejdą do mego odpoczynku, aczkolwiek dzieła były dokonane od stworzenia świata. Powiedział bowiem [Bóg] na pewnym miejscu o siódmym dniu w ten sposób: I odpoczął Bóg w siódmym dniu po wszystkich dziełach swoich. I znowu na tym [miejscu]: Nie wejdą do mego odpoczynku. Wynika więc z tego, że wejdą tam niektórzy, gdyż ci, którzy wcześniej otrzymali dobrą nowinę, nie weszli z powodu [swego] nieposłuszeństwa, dlatego Bóg na nowo wyznacza pewien dzień – „dzisiaj” – po upływie dłuższego czasu, mówiąc przez Dawida, jak to przedtem zostało powiedziane: Dziś, jeśli głos Jego usłyszycie, nie zatwardzajcie serc waszych. Gdyby bowiem Jozue wprowadził ich do odpoczynku, nie mówiłby potem o innym dniu. A zatem pozostaje odpoczynek szabatu dla ludu Bożego. Kto bowiem wszedł do Jego odpoczynku, odpocznie po swych czynach, jak Bóg po swoich. Śpieszmy się więc wejść do owego odpoczynku, aby nikt nie szedł za tym samym przykładem nieposłuszeństwa. Żywe bowiem jest słowo Boże, skuteczne i ostrzejsze niż wszelki miecz obosieczny, przenikające aż do rozdzielenia duszy i ducha, stawów i szpiku, zdolne osądzić pragnienia i myśli serca. Nie ma stworzenia, które by było przed Nim niewidzialne, 36 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF przeciwnie, wszystko odkryte i odsłonięte jest przed oczami Tego, któremu musimy zdać rachunek” (Hbr 4, 1-13). + Rachunek zasług i win nie istnieje. „U Blake’a trzy osoby Trójcy Świętej stają się trzema aspektami jednego Boga – Jezusa. Schodząc między ludzi, na ziemię, pozostawał On przez cały czas Ojcem, zaś po ukrzyżowaniu przeobraził się w miłosiernego, odpuszczającego grzechy Jehowę (to imię Boskie nie odnosi się w tekstach Blake’a do Boga Starego Testamentu). Duch Święty okazuje się natomiast emanacją Jezusa, duchowym światłem, źródłem nadprzyrodzonej mocy, która płynie od Boga ku człowiekowi. Teologia Blake’a wykorzystuje zasadniczo dwie kategorie: Bóg-człowiek i Bógpoza człowiekiem” /E. Kozubska, J. Tomkowski, Mistyczny świat Williama Blake’a, Wydawnictwo warsztat Specjalny, Milanówek 1993, s. 47/. Tylko pierwszy jest prawdziwym Bogiem, drugi (Bóg tego świata, Bóg Starego Testamentu, „Niczyj-Ojciec”, Urizen i wszelki Bóg, który karze za grzechy) jest zawsze uzurpatorem bądź tworem ludzkiej iluzji. Wezwanie Blake’a powtarza zatem apele wielkich mistrzów mistyki niemieckiej: Johanna Taulera, Sebastiana Francka, Valentina Weigla, Angelusa Silesiusa […] Absolutne prawo zatem nie istnieje, podobnie jak rachunek zasług i win. Jehowa spisał wprawdzie dziesięć przykazań, lecz powodowany miłosierdziem, ukrył je przed ludzkością. Posłużył się nimi natomiast Bóg fałszywy – „Bóg tego świata”. W wizji autora Księgi Urizena kamienne tablice dekalogu przypominają grobowce albo „drzwi śmierci” wiodące do wnętrza grobu. Surowe prawo kłóci się z istotą życia, które dąży niezmiennie do wolności, do likwidacji wszelkich ograniczeń. […] Impuls zostaje udzielony przez Boga, ale nie powinniśmy sądzić, że przychodzi z zewnątrz: „jesteś Człowiekiem, Bóg jest niczym więcej” /Tamże, s. 48. + Rachunek zbiorów Indywiduum to dowolny przedmiot nie będący zbiorem. „Sposób rozumienia indywiduum jest ściśle powiązany z koncepcją ogólnych właściwości przedmiotów abstrakcyjnych (uniwersalia). Dyskutuje się też problem sposobu urzeczywistnienia indywiduum w sensie jednostkowej realizacji wzoru gatunkowego oraz bytowego uszczegółowienia w obrębie określonego gatunku (tzw. zasada jednostkowienia), a także kwestię natury podstawowych indywiduów oraz sposobu, w jaki tworzą one tzw. indywidua złożone. W filozofii języka poprzestaje się na określeniu indywiduum jako odniesienia podmiotu (logicznego) zdania, ponieważ wbrew nominalizmowi nie udało się wykazać, że można zdania orzekające o abstraktach przełożyć na zdania orzekające o indywiduach rozumianych jako konkretne bytyprzedmioty. Stałe języka oznaczające indywiduum to stałe indywiduowe (w językach formalnych symbole a, b, c, ...). W teorii typów B. Russela (obejmującej rachunek zbiorów i teorię relacji) indywidua są obiektami nie będącymi ani sądami, ani funkcjami propozycjonalnymi, lecz stanowiącymi ich nie dające się wyeliminować składniki albo inaczej (unikając terminologii niedostatecznie odróżniającej przedmioty od odnoszących się do nich wyrażeń) indywidua nie są relacjami, a więc nie stanowią też relacji jednoargumentowych (zbiorów lub właściwości). W rachunku zbiorów indywiduum to dowolny przedmiot nie będący zbiorem” /T. Szubka, Indywiduum, w: Encyklopedia Katolicka, T. VII, red. S. Wielgus, TN KUL, Lublin 1997, 184-185, kol. 185. 37 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF + Rachunek zbiorów w postaci w pełni sformalizowanej teorii zwanej dziś algebrą Boole’a. „Początków pewnych przynajmniej działów teorii mnogości szukać należy jednak znacznie wcześniej. I tak na przykład pewne elementy algebry zbiorów znaleźć można w pracach Gottfrieda Wilhelma Leibniza, którego pomysły rozwijali m. in. Johann Heinrich Lambert (1728-1777) oraz Leonard Euler (1707-1783). Euler podał w szczególności geometryczną ilustrację stosunków między zbiorami. William Hamilton (1788-1856) i Augustus De Morgan (1806-1878) próbowali ująć w sposób formalny relacje, zaś George Boole (1815-1864) jest autorem ujęcia rachunku zbiorów w postaci w pełni sformalizowanej teorii zwanej dziś algebrą Boole’a (ma ona zresztą różne interpretacje, niekoniecznie jako algebra zbiorów). Rachunek relacji w połączeniu z algebrą zbiorów rozwijali też Charles Sanders Peirce (1839-1914) i Ernst Schroder (1841-1902). Z ogólnym pojęciem zbioru (rozumianym ontologicznie) mamy do czynienia explicite dopiero w pierwszej połowie XIX wieku. Pojawia się ono mianowicie u Bernarda Bolzana w tomie I jego Wissenchaftslehre (1837), a później w Paradoksach nieskończoności (1851) (por. rozdział 1.11). Pewne zaawansowane już rozważania o zbiorach nieskończonych znaleźć można w pracach Richarda Dedekinda (por. rozdział 1.13) i Paula Du Bois Reymonda (1831-1889) dotyczących analizy. Wszystkie te badania były jednak tylko fragmentaryczne i dopiero Cantor stworzył coś, co można było nazwać teorią mnogości. Posługiwał się on przy tym intuicyjnym tylko pojęciem zbioru, a więc pojęciem niejednoznacznym i nieprecyzyjnym. Co więcej, okazuje się, że intuicje wiązane z pojęciem zbioru były różne u różnych matematyków. Następująca anegdota, o której wspomina Oskar Becker, świadczy o tym dobitnie. „Dedekind wyraził się w odniesieniu do pojęcia zbioru następująco: wyobraża on sobie zbiór jak zamknięty worek, który zawiera zupełnie określone przedmioty; przedmiotów tych jednak nie widzimy i nie wiemy o nich nic, poza tym, że istnieją i są określone. W pewien czas później Cantor sformułował swój pogląd na zbiory: uniósł on swą ogromną figurę, podniesionym ramieniem zatoczył wielki łuk i kierując swój wzrok w nieokreślony punkt powiedział: «Ja wyobrażam sobie zbiór jako przepaść»„ (por. Grundlagen der Mathematik in geschichtlicher Entwicklung, s. 316)“ /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 170. + Rachunek zdań formalizowany w ramach intuicjonizmu, N. Kołmogorow (1925) i Walerij I. Gliwienko (1928). Po roku 1928 Brouwer przejawiał raczej niewielką aktywność matematyczną. „Prawdopodobnie było to skutkiem konfliktu w łonie komitetu redakcyjnego czasopisma „Mathematische Annalen” – por. w tej sprawie artykuł D. van Dalena The War of the Frogs and the Mice, or the Crisis of the „Mathematische Annalen”). Dzieło kontynuowali jego uczniowie, przede wszystkim Maurits Joost Belinfante i Arend Heyting, a potem uczniowie Heytinga. I tak Belinfante zajmował się intuicjonistyczną teorią funkcji zespolonych, Heyting intuicjonistyczną geometrią rzutową i algebrą, uczniowie zaś Heytinga – intuicjonistyczną topologią, teorią miary, teorią przestrzeni Hilberta i geometrią afiniczną. Dla doktryny intuicjonistycznej szczególne znaczenie miały prace Heytinga i jego wysiłki prowadzące do wyjaśniania idei Brouwera i ich popularyzacji. Bez tego intuicjonizm zmarłby pewnie śmiercią naturalną w latach trzydziestych. Zainteresowania następnych pokoleń badaczy zajmujących się 38 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF intuicjonizmem dotyczyły jednak – wbrew intencjom Heytinga – nie tyle realizacji Brouwera programu rekonstrukcji matematyki, ile raczej zagadnień metamatematycznych. […] Podstawową kwestią, która wymagała rozwiązania, była sprawa zbudowania systemu logiki dostosowanego do filozoficznych tez intuicjonizmu. Andriej N. Kołmogorow (1925) i Walerij I. Gliwienko (1928) podali formalizacje fragmentów intuicjonistycznego rachunku zdań, zaś w roku 1930 Arend Heyting skonstruował pierwszy całościowy sformalizowany system tego rachunku. Umożliwiło to w szczególności porównanie logiki klasycznej (arystotelesowskiej) i logiki intuicjonistycznej” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 108. + Rachunek zdań implikacyjno-negacyjny, w którym dedukcja twierdzeń z przyjętych aksjomatów nie zawierała już żadnych luk i odbywała się według precyzyjnie na początku określonych reguł wnioskowania, Frege G. „Powstanie logiki matematycznej związane było z matematyzacją logiki, tzn. z coraz intensywniejszym, i coraz bardziej owocnym, stosowaniem wzorowanej na symbolice matematycznej techniki symbolicznej do zagadnień logiki. Towarzyszyło temu znaczne rozbudowywanie i wzbogacanie tradycyjnej logiki arystotelesowskiej, będącej przede wszystkim logiką nazw. Prace twórców nowoczesnej logiki, do których należeli Augustus De Morgan (1806-1871), George Boyle (1815-1864), Charles Sanders Peirce (1839-1914), Ernst Schroder (1841-1902) doprowadziły do stworzenia algebry logiki (tak nazywano w drugiej połowie dziewiętnastego i na początku dwudziestego wieku logikę formalną uprawianą na wzór algebry liczb). Z drugiej strony, wspomnieć trzeba o pracach logicznych G. Fregego i B. Russella, które należą do nurtu niealgebraicznego. Właśnie Frege uważany jest za prekursora i jednego z głównych współtwórców nowoczesnej logiki formalnej. Jego podstawowe dzieło logiczne Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens (1879) otworzyło nową epokę w logice formalnej (choć przez współczesnych, zwłaszcza przez przedstawicieli nurtu algebraicznego, np. E. Schrodera czy Johna Venna, zostało przyjęte źle). Praca ta zawierała pierwszy w dziejach sformalizowany system aksjomatyczny, a mianowicie implikacyjno-negacyjny rachunek zdań (w którym dedukcja twierdzeń z przyjętych aksjomatów nie zawierała już żadnych luk i odbywała się według precyzyjnie na początku określonych reguł wnioskowania), oraz po raz pierwszy w sposób pełny poddawała analizie kwantyfikatory i formułowała dla nich odpowiednie aksjomaty. Wszystkie te prace, należące zarówno do nurtu algebraicznego jak i do niealgebraicznego, dostarczały niezbędnego aparatu technicznego, na podstawie którego mógł się rozwinąć logicyzm” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 84. + Rachunek zdań intuicjonistyczny jest zawarty w systemie klasycznym. „System intuicjonistyczny rachunku zdań jest zawarty w systemie klasycznym. […] A. N. Kołmogorow (1925), Kurt Gödel (1933) i Gerhard Gentzen (1933, wynik opublikowany dopiero w 1965) dowiedli pewnych twierdzeń o zanurzeniu logiki klasycznej w logikę intuicjonislyczną. Ważne okazały się też – zwłaszcza dla teorii dowodu logiki intuicjonistycznej – zbudowane przez G. Gentzena (1935) rachunki sekwencyjne LK i LJ. Pozwoliły one też na strukturalne wyróżnienie klasycznego i 39 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF intuicjonistycznego rachunku logicznego. Dla intuicjonistycznego rachunku zdań zbudowano też różne semantyki. W roku 1932 K. Gödel udowodnił, że systemu tego nie można oprzeć na macierzach skończenie wartościowych, zaś w roku 1935 Stanisław Jaśkowski podał adekwatną macierz nieskończenie wartościową. W roku 1938 Alfred Tarski zaproponował interesującą topologiczną interpretację intuicjonistycznego rachunku zdań. Na uwagę zasługuje też interpretacja dowodowa Brouwera-Heytinga-Kołmogorowa z początku lat trzydziestych. Według niej, znaczenie wyrażenia jest dane przez wyjaśnienie, co stanowi dowód , przy czym pojęcie dowodu zdania złożonego określa się poprzez wyjaśnienie, co to znaczy podać dowód jego podformuł” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 109/. Wspomnieć też tu należy o pochodzącej z lat czterdziestych interpretacji Stephena C. Kleene’ego, która wskazuje na związki między pojęciem funkcji obliczalnych (rekurencyjnych) i logiką intuicjonistyczną (nazywa się ją interpretacją realizowalności – realizability interpretation) oraz o modelach Betha (1956-59) i modelach Kripkego (1965)” /Tamże, s. 110. + Rachunek zdań Leśniewski Stanisław (1886-1939). „Urodził się w Sierpuchowie (Rosja). Studiował filozofię na uniwersytetach we Lwowie (pod kierunkiem K. Twardowskiego), Lipsku, Zurychu, Heidelbergu i Monachium. Doktoryzował się we Lwowie w 1912 r. W latach 1919-1939 był profesorem filozofii matematyki i logiki na Uniwersytecie Warszawskim. Był jednym z głównych reprezentantów warszawskiej szkoły logicznej. Stworzył kilka oryginalnych systemów logiki (prototetyka, ontologia i mereologia), będących rozszerzeniami lub ujęciami alternatywnymi klasycznych teorii mnogości, rachunku zdań i rachunku nazw” /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 213. + Rachunek zdań New Foundations System matematyczny Russela B. rozwinięty przez Quine’a W. Można w nim rozwinąć rachunek zdań, teorię relacji, arytmetykę i pewne fragmenty klasycznej teorii mnogości. „Po roku 1931, czyli dacie opublikowania wyników Gödla o niezupełności, następuje pewien zastój w filozofii matematyki. Ów okres stagnacji trwa do końca lat pięćdziesiątych. Powstają co prawda w tym okresie nowe koncepcje, ale nie są one już tak znaczące jak logicyzm, intuicjonizm czy formalizm. Powiedzieć tu trzeba przede wszystkim o pracach Willarda Van Ormana Quine’a (ur. 1908), Haskella B. Curry’ego (1900-1982), Kurta Gödla (1906-1978) i Ludwiga Wittgensteina (1889-1951). […] A. Willard Van Orman Quine zajmuje się filozofią nauki, jest autorem wielu prac z zakresu semiotyki oraz twórcą oryginalnego ujęcia logiki i teorii mnogości, opartego na pewnych założeniach logicystycznych. W pracy New Foundations for Mathematical Logic (1937) zaproponował mianowicie nowy system teorii mnogości. U jego podstaw leżą dwie idee zapobiegania antynomiom logicznym: Zermela idea ograniczenia możliwości tworzenia zbiorów „bardzo dużych” (piszemy o niej obszerniej w Dodatku I, poświęconym filozofii teorii mnogości) oraz Russella idea typizacji wyrażeń języka (por. teorię typów omówioną w rozdziale 1). W systemie tym, zwanym New Foundations (NF), można rozwinąć rachunek zdań, teorię relacji, arytmetykę i pewne fragmenty klasycznej teorii mnogości” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 137/. W roku 1940 Quine ogłosił system Mathematical 40 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF Logic (ML), będący rozwinięciem systemu NF. Jeśli chodzi o kwestie filozofii matematyki sensu stricte, to Quine głosi, że kryteria akceptacji czy odrzucania teorii matematycznych są analogiczne jak dla teorii fizycznych. Zdaje on sobie oczywiście sprawę z tego, że w matematyce nie ma eksperymentów. Podkreśla jednak, że matematykę należy rozważać nie w oderwaniu od innych nauk, ale jako element ogółu teorii wyjaśniających rzeczywistość. Jest ona tam niezbędna, zatem istnieją jej obiekty, takie jak zbiory, liczby, funkcje itp. – podobnie jak istnieją na przykład elektrony (jako jedne z obiektów fizyki niezbędnych do jej uprawiania). Ten holistyczny pragmatyzm natrafia oczywiście na rozmaite trudności. Quine twierdzi jednak, że całą naukę trzeba rozważać jako jedną wielką teorię wyjaśniającą świat, a każdą teorię wchodzącą w jej skład należy oceniać na podstawie jej zdolności i przydatności do wyjaśniania wrażeń zmysłowych /Tamże, s. 138. + Rachunek zdań rozwijany być może w systemie podanym przez Quine’a W. „Po roku 1931, czyli dacie opublikowania wyników Gödla o niezupełności, następuje pewien zastój w filozofii matematyki. Ów okres stagnacji trwa do końca lat pięćdziesiątych. Powstają co prawda w tym okresie nowe koncepcje, ale nie są one już tak znaczące jak logicyzm, intuicjonizm czy formalizm. Powiedzieć tu trzeba przede wszystkim o pracach Willarda Van Ormana Quine'a (ur. 1908), Haskella B. Curry'ego (1900-1982), Kurta Gödla (19061978) i Ludwiga Wittgensteina (1889-1951). O koncepcjach H. B. Curry'ego i o tzw. formalizmie ścisłym mówiliśmy już wyżej (w poprzednim rozdziale). Opiszemy więc teraz tylko trzy pozostałe koncepcje. Willard Van Orman Quine zajmuje się filozofią nauki, jest autorem wielu prac z zakresu semiotyki oraz twórcą oryginalnego ujęcia logiki i teorii mnogości, opartego na pewnych założeniach logicystycznych. W pracy New Foundations for Mathematical Logic (1937) zaproponował mianowicie nowy system teorii mnogości. U jego podstaw leżą dwie idee zapobiegania antynomiom logicznym: Zermela idea ograniczenia możliwości tworzenia zbiorów „bardzo dużych” (piszemy o niej obszerniej w Dodatku I, poświęconym filozofii teorii mnogości) oraz Russella idea typizacji wyrażeń języka (por. teorię typów omówioną w rozdziale 1). W systemie tym, zwanym New Foundations (NF), można rozwinąć rachunek zdań, teorię relacji, arytmetykę i pewne fragmenty klasycznej teorii mnogości /Murawski R. Filozofia matematyki. Zarys dziejów, PWN Warszawa 1995, s. 137. + Rachunek zdań System intuicjonistycznego rachunku zdań utworzony przez Heytinga A. nie został nigdy uznany przez Brouwera i szkołę holenderską za ortodoksyjną kodyfikację logiki intuicjonistycznej. „Ta postawa sceptyczna ma swe źródło w tezie o zasadniczej niemożliwości wyczerpania kiedykolwiek ogółu wszystkich procesów myślowych, które mogą być traktowane jako uprawnione. Związana jest też z przekonaniem, że jakiekolwiek przedstawienie ludzkiej aktywności matematycznej w postaci systemu sformalizowanego z jego statycznym charakterem jest w sposób istotny nieadekwatne, gdyż ta pierwsza jest czymś dynamicznym i nigdy nie zamkniętym. Żaden więc system sformalizowany nie może być zupełnym i adekwatnym opisem matematyki intuicjonistycznej. Matematyka intuicjonistyczna jest znacznie uboższa niż matematyka klasyczna. Odpadają w niej spore fragmenty analizy i cała prawie teoria mnogości. Z drugiej strony, jest ona znacznie bardziej skomplikowana – a w konsekwencji 41 o. prof. Dr hab. Piotr Liszka CMF mniej przydatna do zastosowań. Pod adresem intuicjonizmu formułuje się też inne zarzuty. W szczególności zarzuca się to, że używane przez intuicjonistów pojęcie intuicji jest mętne i nieprecyzyjne, że wyprowadzanie z intuicji „dwujedności” praw arytmetyki jest właściwie pseudouzasadnieniem, czy też to, że odrzucenie matematyki klasycznej oparte jest na arbitralnej zmianie znaczeń terminów logicznych i matematycznych. Intuicjonizm nie ma wielu konsekwentnych wyznawców – niemniej jednak wywarł on i nadal wywiera duży wpływ na badania nad podstawami matematyki. Okazuje się też, że logika intuicjonistyczna może być użytecznym narzędziem w różnych działach matematyki, na przykład w teorii toposów czy w teoretycznej computer science” /R. Murawski, Filozofia matematyki, Zarys dziejów, Wydawnictwo naukowe PWN, Warszawa 1995, s. 111. 42