Wykłady z algebry

Transkrypt

Wykłady z algebry

Algebra, wykład 1, wersja z 4 marca 2004 roku
1.1
1
Działania, algebry
Działaniem n argumentowym w zbiorze A nazywamy funkcję przekształcającą An w A. Najczęściej będziemy rozważać działania jedno- i dwuargumentowe.
Algebrą (ogólną lub abstrakcyjną) nazywamy układ
A = hA, , . . . , a, . . .i,
gdzie , . . . są działaniami w zbiorze A, zaś a, . . . – wyróżnionymi elementami A. Zbiór A
nazywamy uniwersum algebry A.
Przykłady algebr:
Wykłady z algebry
• hA∗ , ·, εi (zbiór słów nad alfabetem A, ze składaniem i słowem pustym),
• hR, +, ·, 0, 1i, gdzie R jest zbiorem liczb rzeczywistych,
• h2A , ∪, ∩, ∅, Ai,
Antoni Kościelski
• h{f | f : A → A}, ◦, idi, gdzie ◦ oznacza złożenie, a id – identyczność na zbiorze A.
W dalszym ciągu najczęściej będziemy algebrę i jej uniwersum oznaczać tym samym symbolem. Podobnie, działania (dwuargumentowe) zwykle będziemy oznaczać symbolami + i ·
i symbole te będą miały wiele znaczeń. W tej sytuacji znaczenie wielu symboli będzie zależeć od kontekstu, w którym zostały użyte. Symbol · będzie też często pomijany, zgodnie ze
zwyczajami znanymi ze szkoły średniej.
Przypuśćmy, że mamy algebrę A z dwuargumentowym działaniem ·. Działanie · jest łączne,
jeżeli dla wszystkich x, y, z ∈ A zachodzi wzór
x · (y · z) = (x · y) · z.
Prawo łącznosci (czyli powyższa równość) stwierdza, że wartość wyrażenia x · y · z nie zależy
od rozmieszczenia nawiasów. Dla łącznego działania, zamiast x · (y · z) oraz (x · y) · z, piszemy
krótko x · y · z. Co więcej, wartość dowolnego wyrażenia postaci x1 · x2 · . . . · xn nie zależy od
rozmieszczenia nawiasów i zwykle takie wyrażenie jest zapisywane bez nawiasów.
Działanie · jest przemienne, jeżeli dla wszystkich x, y ∈ A prawdziwa jest równość
x · y = y · x.
Jeżeli w algebrze A mamy dwa działania dwuarumentowe + i ·, to mówimy, że działanie ·
jest rozdzielne względem działania +, jeżeli dla wszystkich x, y, z ∈ A spełnione są równości
(x + y) · z = x · z + y · z oraz z · (x + y) = z · x + z · y.
2
Antoni Kościelski, 2002/03
1.2
Elementy neutralne i odwrotne
Niech · będzie działaniem dwuagumentowym w algebrze A, zaś e – elementem zbioru A.
Mówimy, że
• e jest lewostronnym elementem neutralnym, jeżeli e · x = x dla wszystkich x ∈ A,
3
• półgrupy – algebry hA, ·i z działaniem łącznym,
• półgrupy z jednością – algebry hA, ·, 1i z działaniem łącznym z elementem neutralnym
(jednością),
• e jest prawostronnym elementem neutralnym, jeżeli x · e = x dla wszystkich x ∈ A,
• grupy – algebry hA, ·,−1 , 1i z działaniem łącznym, jednością i elementem odwrotnym do
dowolnego x ∈ A,
• e jest elementem neutralnym, jeżeli e · x = x · e = x dla wszystkich x ∈ A.
• grupy przemienne – grupy z działaniem przemiennym.
Lemat 1.1 Jeżeli istnieją elementy neutralne lewostronny eL i prawostronny eR , to są równe
i są elementami neutralnymi. W szczególności, dla dowolnego działania istnieje najwyżej jeden
element neutralny.
Dowód. Zauważmy, że eL = eL · eR = eR . 2
Przypuśćmy, że e jest elementem neutralnym dla działania · i x ∈ A. Element y ∈ A
nazywamy
Będziemy też rozważać następujące algebry z dwoma działaniami dwuargumentowymi:
• pierścienie – algebry hA, +, −, 0, ·i z dodawaniem + (działaniem typu dodawania), i
łącznym mnożeniem · (działaniem typu mnożenia), w których mnożenie jest rozdzielne
względem dodawania,
• pierścienie z jednością, pierścienie przemienne, pierścienie przemienne z jednością, z oczywistymi definicjami,
• lewostronnym elementem odwrotnym do x, jeżeli y · x = e,
• prawostronnym elementem odwrotnym do x, jeżeli x · y = e,
• elementem odwrotnym do x, jeżeli jest jednocześnie elementem lewostronnie i prawostronnie odwrotnym, a więc jeżeli y · x = x · y = e.
Lemat 1.2 Załóżmy, że · jest działaniem łącznym, które ma element neutralny e. Jeżeli istnie−1
ją elementy odwrotne do x: lewostronny x−1
L i prawostronny xR , to są równe i są elementami
odwrotnymi do x. W szczególności, istnieje najwyżej jeden element odwrotny do x.
−1
−1
−1
−1
−1
−1
−1
Dowód. Zauważmy, że x−1
R = e · xR = (xL · x) · xR = xL · (x · xR ) = xL · e = xL . 2
1.3
Rodzaje algebr
Najczęściej będziemy rozważać dwa rodzaje działań:
• działanie typu dodawania: będziemy je oznaczać symbolem +, jest to działanie łaczne, przemienne, ma element neutralny, czyli zero, oznaczany symbolem 0, ma element
odwrotny do każdego elementu algebry; w tym kontekscie element odwrotny do x nazywamy przeciwnym do x i oznaczamy symbolem −x. Zamiast x + (−y) piszemy x − y.
• działanie typu mnożenia: będziemy oznaczać je symbolem ·, jest to działanie łaczne, bywa
przemienne, zwykle ma element neutralny, czyli jeden (jedność), oznaczany symbolem
1, czasem istnieją elementy odwrotne do dowolnego elementu algebry; w tym kontekście
element odwrotny do x oznaczamy symbolem x−1 .
Będziemy rozważać następujące algebry z jednym działaniem dwuargumentowym:
• ciała, czyli pierścienie przemienne z jednością hA, +, −, 0, ·,−1 , 1i takie, że 0 6= 1, w
których każdy element x różny od 0 ma element odwrotny x−1 .
Przykładymi takich algebr są pierścienie h2A , −̇, ∩, ∅, Ai, hZ, +, ·, 0, 1i oraz ciało hQ, +, ·, −,−1 , 0, 1i
(Z to zbiór liczb całkowitych, a Q to zbiór liczb wymiernych). Ważnymi przykładami pierścieni
są także algebry h{i ∈ N : i < n}, + mod n, · mod ni, gdzie + mod n i · mod n oznaczają
odpowiednio dodawanie i mnożenie modulo n, czyli resztę z dzielenia sumy i iloczynu przez
n.
Lemat 1.3 Jeżeli A = hA, +, ·, −, 0, 1i jest pierścieniem z jednością, to dla dowolnego x ∈ A
zachodzą równości 0 · x = x · 0 = 0.
Dowód. Zauważmy, że 0 · x = 0 · x + 0 = 0 · x + (x + (−x)) = (0 · x + x) + (−x) =
(0 · x + 1 · x) + (−x) = (0 + 1) · x + (−x) = 1 · x + (−x) = x + (−x) = 0. Równość x · 0 = 0
dowodzimy analogicznie. 2
Element x (w pierścieniu) jest dzielnikiem zera, jeżeli x 6= 0 i x · y = 0 dla pewnego y 6= 0.
Lemat 1.4 W ciele nie ma dzielników zera.
Dowód. Przypuśćmy, że x 6= 0 i x · y = 0. Wtedy
y = 1 · y = (x−1 · x) · y = x−1 · (x · y) = x−1 · 0 = 0. 2
4
2.1
Grupy, najprostsze własności
2.2.1
Rozkład permutacji na cykle
Przyjmijmy, że f : A → A jest permutacja zbioru A. Będziemy badać relację Rf ⊆ A2 taką,
że
xRf y ⇔ ∃i ∈ Z f i (x) = y
Przykłady grup:
• hZ, +, −, 0i,
• hQ+ , ·,−1 , 1i, gdzie Q+ oznacza zbiór dodatnich liczb wymiernych,
• h{f | f : A → A ∧ f jest bijekcją}, ◦,−1 , idi, gdzie A jest dowolnym zbiorem, ◦ oznacza
złożenie funkcji, a −1 oznacza operację, która funkcji f przyporządkowuje funkcję f −1
odwrotną do f .
Szczególnie ważny jest ostatni przykład. Jeżeli A = {1, . . . , n}, to rozważaną w tym przykładzie grupę będziemy oznaczać symbolem Sn . W tym kontekście, bijekcje przekształcające
zbiór A na A nazywamy permutacjami zbioru A. Tak więc Sn jest grupą permutacji zbioru
{1, . . . , n}.
Niech G = hG, ·,−1 , 1i będzie grupą. Przypuśćmy, że g, h ∈ G.
Jest to relacja równoważności i rozbija A na klasy abstrakcji. Klasa abstrakcji relacji Rf
wyznaczona przez x ∈ A jest równa {f i (x) | i ∈ Z}. Funkcja f permutuje każdą klasę
abstrakcji relacji Rf (przekształca klasę abstrakcji K na K).
Relacja Rf ma dwa rodzaje klas abstrakcji. Albo funkcja przyporządkowująca liczbie całkowitej i wartość f i (x) jest różnowartościowa i wtedy klasa abstrakcji wyznaczona przez x
jest nieskończona, albo też wspomniana funkcja nie jest różnowartościowa i mamy f m+n (x) =
f m (x) dla pewnych n, m ∈ Z takich, że n > 0. W tym drugim przypadku z różnowartościowości
f wynika, że f n (x) = x i klasa abstrakcji [x] jest równa {f i (x) : i ∈ N ∧ i < n}.
Przypuśćmy, że K jest klasą abstrakcji relacji Rf . Zdefiniujmy funkcję g : A → A taką, że
g(x) =
• Zamiast g · h będziemy często pisać gh.
• Dla n ∈ N przez indukcję definiujemy potęgę g n w następujący sposób: g 0 = 1 oraz
g n+1 = g n · g. Ponadto g −n definiujemy jako (g n )−1 lub równoważnie jako (g −1 )n .
• Potęgowanie w grupie ma niektóre własności znane ze szkoły średniej, a więc (g n )m =
g n·m i g n+m = g n · g m dla dowolnych liczb całkowitych n i m.
• Działanie w grupie nie zawsze jest przemienne: na przykład, tak jest w grupie S3 , jest
ona nieprzemienna.
• Na ogół (g · h)n 6= g n · hn . Jeżeli jednak G jest przemienna, to (g · h)n = g n · hn dla
wszystkich n całkowitych.
• (g · h)−1 = h−1 · g −1 oraz (g1 · . . . · gn )−1 = gn−1 · . . . · g1−1 .
• Jeżeli g · h1 = g · h2 , to h1 = h2 . Jeżeli h1 · g = h2 · g, to h1 = h2 . Implikacje te nazywamy
prawami skracania.
2.2
5
1
2
... n
f (1) f (2) . . . f (n)
!
.
Oczywiście, w tabelce nie jest istotna kolejność, w jakiej są wymieniane argumenty, choć zwykle
wymieniamy je w naturalnej kolejności.
f (x) jeżeli x ∈ K,
x
w przeciwnym razie.
Funkcja g jest permutacją zbioru A. Zauważmy, że jeżeli g(x) 6= x i g(y) 6= y, to oba argumenty
x, y ∈ K i istnieje liczba n ∈ Z taka, że f n (x) = y. Ponieważ na zbiorze K funkcje f i
g przyjmują te same wartości, wiec także g n (x) = y. Tę własność w języku klas abstrakcji
można wyrazić następująco: relacja Rg ma najwyżej jedną klasę abstrakcji o dwóch lub więcej
elementach. Permutację g o takich własnościach nazywamy cyklem (permutacją cykliczną).
Nietrudno zauważyć, że aby w pełni opisać cykl g, wystarczy wziąć element x taki, że x 6= g(x)
i podać ciąg wartości (x, g(x), g 2(x), . . . , g n−1(x)) dla n takiego, że g n (x) = x.
Jeżeli elementy a1 , a2 , . . . , ak ∈ A są parami różne, to napis (a1 , a2 , . . . , ak ) oznacza pewien cykl. Cykl (a1 , a2 , . . . , ak ) jest permutacją f : A → A zdefiniowaną wzorami f (ai ) =
ai+1 dla i = 1, . . . , k, f (ak ) = a1 oraz f (a) = a dla wszystkich a należących do zbioru
A \ {a1 , a2 , . . . , ak }. O cyklu (a1 , a2 , . . . , ak ) będziemy mówić, że jest cyklem długości k. Cykle
długości 2 nazywamy transpozycjami. Cykle (a1 , a2 , . . . , ak ) i (b1 , b2 , . . . , bl ) są rozłączne, jeżeli
zbiory {a1 , a2 , . . . , ak } i {b1 , b2 , . . . , bl } są rozłączne.
Jest oczywiste, że jeżeli zbiór A jest skończony, to relacja Rf ma tylko klasy abstrakcji
drugiego rodzaju (nie ma klas nieskończonych) i jest ich skończenie wiele. Przypuśćmy, że są
to klasy K1 , . . . , Kt . Dla i = 1, . . . , t definiujmy funkcję fi : A → A taką, że
Grupy permutacji
Jak zwykle, złożenie f g funkcji f i g definiujemy wzorem (f g)(a) = f (g(a)).
Niech n będzie liczbą naturalną. Będziemy rozważać permutacje zbioru {1, . . . , n}. Taką
permutację definiujemy podając jej tabelkę. Umówmy się, że tabelka permutacji f ma postać
(
fi (x) =
(
f (x) jeżeli x ∈ Ki ,
x
w przeciwnym razie.
Nietrudno zauważyć, że f jest złożeniem funkcji f1 , . . . , ft (w dowolnym porządku).
Wniosek 2.1 każda permutacja zbioru skończonego jest złożeniem cykli. 2
2.3
Grupa symetrii kwadratu
Rozważmy następujące funkcje f : {1, 2, 3, 4} → {1, 2, 3, 4}:
6
permutacja
obrót o 0◦
obrót o 90◦
obrót o 180◦
obrót o 270◦
symetria względem osi prostop. do odc. 12
symetria względem osi prostop. do odc. 14
symetria względem osi przech. przez 13
symetria względem osi przech. przez 24
1
1
2
3
4
2
4
1
3
2
2
3
4
1
1
3
4
2
3
3
4
1
2
4
2
3
1
4
4
1
2
3
3
1
2
4
rozkład na cykle
(1,2,3,4)
(1,3)(2,4)
(1,4,3,2)
(1,2)(3,4)
(1,4)(2,3)
(2,4)
(1,3)
3.1
7
Podgrupy
Przypuśćmy, że G = hG, ·,−1 , 1i jest grupą i H jest podzbiorem G. Jeżeli hH, ·,−1 , 1i jest algebrą, to tę algebrę nazywamy podgrupą. Jest oczywiste, że aby układ hH, ·,−1 , 1i był algebrą,
powinny być spełnione następujące warunki:
1. jeżeli x, y ∈ H, to x · y ∈ H,
2. jeżeli x ∈ H, to x−1 ∈ H,
3. 1 ∈ H.
Lemat 3.1 Każda podgrupa jest grupą.
Dowód. Przypuśćmy, że H jest podgrupą grupy G. Działanie w grupie G jest łączne. Oznacza
to, że
∀x, y, z ∈ G x · (y · z) = (x · y) · z.
Ponieważ H jest podzbiorem G, więc tym bardziej
∀x, y, z ∈ H x · (y · z) = (x · y) · z.
Dowiedliśmy więc, że mnożenie w algebrze H jest łączne. W podobny sposób sprawdzamy
prawdziwość w algebrze H innych warunków z definicji grupy. 2
Zauważmy, że jeżeli H jest niepustym zbiorem, to warunki 1) i 2) z definicji podgrupy
implikują warunek 3). Z jednego z ogłoszonych zadań wynika, że definicja podgrupy może
zostać jeszcze bardziej uproszczona, jeżeli będziemy rozważać algebry o skończonej liczbie
elementów.
3.2
Podalgebry
Niech
A = hA, , . . . , a, . . .i
będzie dowolną algebrą. Każdą algebrę postaci
B = hB, , . . . , a, . . .i,
gdzie B ⊆ A, nazywamy podalgebrą algebry A. Aby układ B był algebrą, powinny być spełnione następujące warunki:
1. xy ∈ B dla dowolnych x, y ∈ B i dla wszystkich działań spośród , . . . (przyjęliśmy, że
działanie jest dwuargumentowe, dla działań o innej liczbie argumentów przyjmujemy
analogiczny warunek),
2. a, . . . ∈ B
8
W algebrze B zamiast działania : An → A powinno znaleźć się obcięcie działania do
zbioru B. Podalgebry grup, pierścieni lub podciał nazywamy odpowiednio podgrupami, podpierścieniami, podciałami itp.
Niech R oznacza zbiór liczb rzeczywistych, Q – wymiernych, a Z – całkowitych. Zauważmy,
że
• h{x ∈ R : x > 1}, +i jest podalgebrą algebry hR, +i, ale nie jest podalgebrą algebry
hR, +, 0i,
• h{x ∈ R : x 0}, +, 0i jest podalgebrą algebry hR, +, 0i, ale nie jest podalgebrą algebry
hR, +, −, 0i,
3.3
A = hA, , . . . , a, . . .i oraz B = hB, ◦, . . . , b, . . .i.
i-te działania oraz i-te wyróżnione elementy w tych algebrach będziemy nazywać odpowiadającymi. Algebry A i B są podobne, jeżeli mają tyle samo wyróżnionych elementów i tyle samo
działań, oraz odpowiadające sobie działania mają tyle samo argumentów.
Niech A i B będą podobnymi algebrami oraz niech f : A → B. Funkcja f jest homomorfizmem (algebry A w algebrę B), jeżeli
1. f (xy) = f (x)◦f (y) dla dowolnych x, y ∈ A i dla dowolnej pary odpowiadających sobie
działań i ◦ (dla działań o liczbie argumentów 6= 2 przyjmujemy analogiczny warunek),
• hQ, +, ·, −,−1 , 0, 1i jest podalgebrą algebry hR, +, ·, −,−1 , 0, 1i.
1. a, . . . są wyrażeniami,
2. x1 , . . . , xn są wyrażeniami,
3. jeżeli t1 i t2 są wyrażeniami, to t1 t2 , . . . są wyrażeniami,
4. nie ma innych wyrażeń niż otrzymane na podstawie poprzednich punktów.
Homomorfizmy, obrazy homomorficzne
Przypuśćmy, że mamy dwie algebry:
• hZ, +, ·, −, 0i jest podalgebrą algebry hR, +, ·, −, 0i, ale nie jest podalgebrą hR, +, ·, −,−1 , 0, 1i,
Przypuśćmy, że mamy algebrę A = hA, , . . . , a, . . .i. Dla tej algebry definiujemy wyrażenia
ze zmiennymi x1 , . . . , xn przyjmując, że
2. f (a) = b dla każdej pary odpowiadająch sobie stałych.
Homomorfizm typu „na” nazywamy epimorfizmem, homomorfizm różnowartościowy – monomorfizmem. Jeżeli homomorfizm jest jednocześnie epi- i monomorfimem, to nazywamy go
izomorfizmem. Algebrę B nazywamy obrazem homomorficznym algebry A, jeżeli istnieje epimorfizm algebry A na algebrę B.
Aby uprościć zapis w dalszym ciągu będziemy zakładać, że odpowiadające działania i
wyróżnione elementy w algebrach podobnych są oznaczane tymi samymi symbolami.
Lemat 3.5 Jeżeli B jest obrazem homomorficznym A, a t1 (x1 , . . . , xn ) i t2 (x1 , . . . , xn ) są wyrażeniami takimi, że
Lemat 3.2 Przypuśćmy, że mamy algebrę A = hA, , . . . , a, . . .i i jej podalgebrę B = hB, , . . . , a, . . .i.
Jeżeli t1 (x1 , . . . , xn ) i t2 (x1 , . . . , xn ) są wyrażeniami i
∀x1 , . . . , xn ∈ A t1 (x1 , . . . , xn ) = t2 (x1 , . . . , xn ),
to
∀x1 , . . . , xn ∈ B t1 (x1 , . . . , xn ) = t2 (x1 , . . . , xn ). 2
Wniosek 3.3 Każda podgrupa jest grupą, każdy podpierścień jest pierścieniem, a każde podciało jest ciałem.
Dowód. Większość warunków z definicji grup, pierścieni i ciał ma postać rozważaną w poprzednim lemacie i z tego lematu wynika, że warunki te są prawdziwe także w podalgebrze.
Tylko warunek ∀x (x 6= 0 ⇒ x · x−1 = 1) z definicji ciała jest innej postaci. Wobec tego podgrupa jast grupą, a podpierścień jest pierścieniem. Także podciało jest ciałem. Dowód tego
faktu jest bardziej skomplikowany, choć nadal pozostaje bardzo prosty. 2
Wniosek 3.4 Jeżeli hA, +, −, 0, ·,−1 , 1i jest ciałem, to zbiór A\ {0} jest zamknięty ze względu
na mnożenie i odwracanie. Wobec tego, hA \ {0}, ·,−1 , 1i jest grupą.
Grupę hA \ {0}, ·,−1 , 1i nazywamy multiplikatywną grupą ciała hA, +, −, 0, ·,−1 , 1i.
9
∀x1 , . . . , xn ∈ A t1 (x1 , . . . , xn ) = t2 (x1 , . . . , xn ),
to
∀x1 , . . . , xn ∈ B t1 (x1 , . . . , xn ) = t2 (x1 , . . . , xn ).
Dowód. Niech f będzie homomorfizmem przekształcającym A na B. Z definicji homomorfizmu
wynika, że f (t(x1 , . . . , xn )) = t(f (x1 ), . . . , f (xn )) dla dowolnego wyrażenia t ze zmiennymi
x1 , . . . , xn . Z założenia
∀x1 , . . . , xn ∈ A t1 (x1 , . . . , xn ) = t2 (x1 , . . . , xn )
wynika, że także
∀x1 , . . . , xn ∈ A f (t1 (x1 , . . . , xn )) = f (t2 (x1 , . . . , xn )),
a więc
∀x1 , . . . , xn ∈ A t1 (f (x1 ), . . . , f (xn )) = t2 (f (x1 ), . . . , f (xn )).
Stąd i z założenia, że f jest typu „na”, otrzymujemy tezę. 2
Wniosek 3.6 Obraz homomorficzny półgrupy jest półgrupą, grupy jest grupą, pierścienia jest
pierścieniem.
10
Dowód. Teza wynika stąd, że wszystkie warunki w definicji podgrup, grup i pierścieni mają
postać rozważaną w lemacie 3.5. 2
Lemat 3.7 W dowolnej grupie warunki x = y oraz x · y −1 = 1 są równoważne. Wobec tego,
w pierścieniach równoważne są warunki x = y oraz x − y = 0. 2
Lemat 3.8 Każdy homomorfizm ciała albo jest stale równy 0, albo jest różnowartościowy,
czyli jest izomorfizmem. Obraz izomorficzny ciała jest ciałem.
Dowód. Niech f będzie homomorfizmem ciała A. Przypuśćmy, że dla pewnego x ∈ A, x 6= 0
zachodzi równość f (x) = 0. Wtedy dla dowolnego y ∈ A mamy
−1
f (y) = f (y · 1) = f (y · (x
−1
−1
−1
· x)) = f ((y · x ) · x) = f (y · x ) · f (x) = f (y · x ) · 0 = 0.
Załóżmy więc, że dla wszystkich x ∈ A, x 6= 0 mamy f (x) 6= 0. Wtedy homomorfizm f jest
różnowartościowy, gdyż następujące warunki są równoważne: f (x) = f (y), f (x) − f (y) = 0,
f (x − y) = 0, x − y = 0 oraz x = y. 2
3.4
Homomorfizmy grup (najprostsze własności)
Przypuśćmy, że mamy grupę G i podobną algebrę H. Zgodnie z ogólną definicją homomorfizmu, funkcja f : G → H jest homomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy
• f (g · h) = f (g) · f (h) dla wszystkich g, h ∈ G,
• f (g −1) = (f (g))−1 dla wszystkich g ∈ G oraz
• f (1) = 1.
Korzystając ze związków w grupie między działaniami · i −1 , oraz elementem 1, definicję
homomorfizmu grupy można uprościć.
Przypuśćmy, że H jest algebrą z dwuargumentowym działaniem ·, G jest grupą oraz f :
G → H jest funkcją taką, że f (g · h) = f (g) · f (h) dla wszystkich g, h ∈ G. Wtedy (patrz
zadanie z listy 3)
• obraz f~(G) z działaniem · jest algebrą (a więc jest zamknięty ze względu na działanie ·
z algebry H),
4.1
11
Działanie grupy na zbiorze, twierdzenie Cayley
Przypuśćmy, że mamy grupę G i dla elementu a ∈ G zdefiniowaliśmy funkcję fa : G → G
przyjmując, że fa (x) = a · x dla wszystkich x ∈ G. Z praw skracania wynika, że funkcja fa
jest różnowartościowa. Jest to też funkcja typu „na”: wartość y ∈ G przyjmuje dla x = a−1 y.
Wobec tego, funkcja fa jest permutacją (uniwersum) grupy G. Zauważmy jeszcze, że funkcja
przyporządkowująca elementowi a ∈ G permutacji fa ma następującą własność:
fa·b (x) = (a · b) · x = a · (b · x) = fa (fb (x)) = fa ◦ fb (x).
Mówimy, że grupa G działa na zbiorze X, jeżeli potrafimy mnożyć elementy zbioru X przez
elementy G, to znaczy, jeżeli mamy funkcję przyporządkowująca parze (a, x) ∈ G × X element
a.x ∈ X i spełniająca dla dowolnych a, b ∈ G i x ∈ X warunki
(a · b).x = a.(b.x) oraz 1.x = x.
Możemy więc określić działanie grupy G na sobie, definiując mnożenie (to z definicji „działania”) jako zwykły iloczyn, czyli przyjmując, że a.x = a · x.
Twierdzenie 4.1 Dowolna grupa jest izomorficzna z podgrupą grupy permutacji zbioru G.
Dowód. Funkcja przyporządkowująca elementowi a ∈ G permutację fa jest izomorfizmem
przekształcającym grupę G w grupę permutacji zbioru G. 2
Często będziemy zajmować się grupami skończonymi, a więc takimi, które mają skończone
uniwersum. Wtedy liczbę elementów (uniwersum) grupy nazywamy rzędem grupy.
Wniosek 4.2 (Cayley) Dowolna grupa o n elementach jest izomorficzna z podgrupą grupy
Sn . 2
4.2
Twierdzenie Lagrange’a
Weźmy grupę G i jej podgrupę H. Zdefiniujmy relację RH przyjmując, że
xRH y ⇔ x−1 · y ∈ H.
• działanie · określone na obrazie f~(G) jest łączne,
Lemat 4.3 RH jest relacją równoważności. 2
• f (1) jest elementem neutralnym w algebrze f~(G) z działaniem ·,
Jeszcze raz posłużymy się funkcjami fa zdefiniowanymi w rozdziale 4.1. Zauważmy, że klasy
abstrakcji tej relacji spełniają równości [1] = H oraz [a] = aH = {a · h : h ∈ H} = f~a (H).
• f (g ) jest w algebrze f~(G) z działaniem · elementem odwrotnym do f (g).
−1
Wniosek 3.9 Jeżeli G i H są grupami, to f : G → H jest homomorfizmem wtedy i tylko
wtedy, gdy f (g · h) = f (g) · f (h) dla wszystkich g, h ∈ G. 2
Wniosek 3.10 Obraz homomorficzny grupy jest grupą. 2
Lemat 4.4 Funkcja fa przekształca klasę [1] = {x ∈ G : 1RH x} wzajemnie jednoznacznie na
[a]. Tak więc klasy abstrakcji relacji RH są równoliczne i są równoliczne z podgrupą H. 2
Wniosek 4.5 (Lagrange) Jeżeli G jest grupą skończoną, to rząd dowolnej podgrupy grupy
G dzieli rząd G. 2
12
4.3
Zbiór generatorów, podalgebra generowana przez zbiór
Przyjmijmy, że A = hA, ·, . . . , a, . . .i jest dowolną algebrą. Przekrój dowolnej rodziny podalgebr algebry A też jest podalgebrą A. Stąd wynika, że dla dowolnego zbioru X ⊆ A istnieje
najmniejsza podalgebra A zawierająca zbiór X. Będziemy ją nazywać podalgebrą algebry A
generowaną przez zbiór X, a zbiór X – jej zbiorem generatorów. Algebrę nazywamy generowaną przez zbiór X, jeżeli jest równa najmniejszej swojej podalgebrze generowanej przez zbiór
X.
Bardzo łatwo scharakteryzować podalgebrę generowaną przez zbiór X. Jest to podalgebra
hB, ·, . . . , a, . . .i z uniwersum zdefiniowanym wzorem
B = {t(x1 , . . . , xn ) ∈ A : t jest wyrażeniem ∧ x1 , . . . , xn ∈ X}.
Zauważmy, ze addytywna grupa liczb całkowitych jest generowana przez zbiór {1}.
Grupę nazywamy cykliczną, jeżeli jest generowana przez jeden element (zbiór jednoelementowy). Zbiór liczb całkowitych z dodawaniej jest więc grupą cykliczną (choć słowo „cykliczna”
lepiej oddaje sytuację, która ma miejsce w przypadku grup skończonych).
4.4
5.1
Przykład homomorfizmu
Dla grupy Sn permutacji zbioru {1, . . . , n} definiujmy funkcję h : Sn → Q przyjmując, że
h(σ) =
Wniosek 4.6 Każda permutacja zbioru skończonego jest złożeniem cykli dwuelementowych
(transpozycji).
Dowód. Wystarczy zauważyć, że
(a1 , a2 , . . . , ak ) = (a1 , ak )(a1 , ak−1 ) . . . (a1 , a2 ). 2
Wniosek 4.7 Każda permutacja zbioru {1, . . . , n} jest złożeniem transpozycji elementów sąsiednich (transpozycji postaci (i, i + 1)).
Dowód. Zauważmy, że jeżeli i < j, to
(i, j) = (i, i + 1) . . . (j − 2, j − 1)(j − 1, j)(j − 2, j − 1) . . . (i, i + 1). 2
Y
1¬i<j¬n
σ(i) − σ(j)
i−j
dla dowolnego σ. Jeżeli σ ∈ Sn , to
{{i, j} : 1 ¬ i < j ¬ n} = {{σ(i), σ(j)} : 1 ¬ i < j ¬ n}.
(1)
Stąd wynika, że także równe są zbiory {| j − i | : i < j} oraz {| σ(j) − σ(i) | : i < j} (są to
obrazy zbiorów z (1) wyznaczone przez funkcję f ({a, b}) = | b − a |; rzeczywiście f jest funkcją,
jej definicja nie zależy od kolejności w jakiej są wymienione elementy argumentu). Tak więc
| h(σ) | = 1 oraz h(σ) ∈ {1, −1}. W podobny sposób z równości (1) otrzymujemy, że
(
)
ξ(j) − ξ(i)
:1¬i<j¬n =
j−i
(
)
ξσ(j) − ξσ(i)
:1¬i<j¬n
σ(j) − σ(i)
Tym bardziej
Y
Generatory grupy permutacji
Z wniosku 2.1 wynika, że zbiór permutacji cyklicznych z grupy Sn generuje grupę Sn . Stąd
można wyprowadzić następujące wnioski:
13
1¬i<j¬n
Powyższa równość implikuje, że
Y ξσ(j) − ξσ(i)
ξ(j) − ξ(i)
=
.
j−i
1¬i<j¬n σ(j) − σ(i)
Y ξσ(j) − ξσ(i) σ(j) − σ(i)
ξσ(j) − ξσ(i)
=
·
j
−
i
j−i
1¬i<j¬n σ(j) − σ(i)
1¬i<j¬n
Y ξσ(j) − ξσ(i)
Y σ(j) − σ(i)
=
·
j−i
1¬i<j¬n σ(j) − σ(i)
1¬i<j¬n
Y ξ(j) − ξ(i)
Y σ(j) − σ(i)
=
·
= h(ξ) · h(σ).
j−i
j−i
1¬i<j¬n
1¬i<j¬n
h(ξσ) =
Y
Tak więc funkcja h jest homomorfizmem przekształcającym Sn na podgrupę {1, −1} multiplikatywnej grupy liczb wymiernych.
Łatwo przekonać się, że dla dowolnej transpozycji (k, k + 1) elementów sąsiednich mamy
h((k, k + 1)) = −1. Wystarczy iloczyn z definicji h rozbić na czynniki wyznaczone przez pary
(i, j), i < j takie, że i, j 6∈ {k, k + 1}, takie, że i ∈ {k, k + 1} oraz j 6∈ {k, k + 1}, takie, że
i 6∈ {k, k +1} oraz j ∈ {k, k +1} i w końcu takie, że i, j 6∈ {k, k +1}. Tak więc dla σ = (k, k +1)
mamy
h(σ) =
Y
σ(j) − σ(i) Y (σ(j) − σ(k))(σ(j) − σ(k + 1))
=
·
j−i
(j − k)(j − (k + 1))
k+1<j
i,j6∈{k,k+1}
Y (σ(k) − σ(i))(σ(k + 1) − σ(i)) σ(k + 1) − σ(k)
·
=
·
(k − i)((k + 1) − i)
(k + 1) − k
i<k
Y
j − i Y (j − (k + 1))(j − k)
=
·
j − i k+1<j (j − k)(j − (k + 1))
i,j6∈{k,k+1}
Y ((k + 1) − i)(k − i) k − (k + 1)
·
= −1
·
i<k (k − i)((k + 1) − i) (k + 1) − k
14
Stąd i z wyżej podanego wzoru otrzymujemy analogiczną równość h((i, j)) = −1 dla dowolnej transpozycji. Ten fakt implikuje z kolei, że dla k elementowego cyklu mamy h((i1 , . . . , ik )) =
(−1)k+1 .
Permutację nazywamy parzystą, jeżeli można ją przedstawić w postaci iloczynu parzystej
liczby transpozycji. Permutacja jest nieparzystą, jeżeli daje się przedstawić w postaci iloczynu
nieparzystej liczby transpozycji. Oczywiście, h(σ) = 1 dla parzystych permutacji σ oraz h(σ) =
−1 dla nieparzystych.
Wniosek 5.1 Jeżeli permutacja daje się przedstawić w postaci iloczynu parzystej (nieparzystej) liczby transpozycji, to każde przedstawienie tej permutacji w postaci iloczynu transpozycji
składa się z parzystej (odpowiednio: nieparzystej) liczby transpozycji. 2
Zbiór permutacji parzystych jest równy An = {σ ∈ Sn : h(σ) = 1}. Ten ostatni zbiór
nazywa się jądrem homomorfizmu h. Zauważmy, że jądro homomorfizmu (grupy) jest podgrupą
zamkniętą ze względu na operację przyporządkowującą elementowi x iloczyn axa−1 (iloczyn
axa−1 ∈ An dla wszystkich x ∈ An i a ∈ Sn ).
5.2
Grupy cykliczne, rząd elementu grupy
Grupę nazywamy cykliczną, jeżeli jest generowana przez zbiór jednoelementowy. Przykładem
grupy cyklicznej jest addytywna grupa liczb całkowitych.
Dowolna grupa cykliczna ma postać {g i : i ∈ Z}. Jeżeli G jest skończoną grupą cykliczną,
to G = {g i : 1 ¬ i ¬ n} dla pewnego n. Najmniejsza, dodatnia liczba n o tej własności jest
rzędem grupy G.
Rzędem elementu g ∈ G nazywamy liczbę elementów podgrupy G generowanej przez g.
W równoważny sposób rząd elementu g można zdefiniować jako najmniejszą liczbę naturalną
n > 0 taka, że g n = 1.
Cykl (a1 , . . . , ak ) ∈ Sn jest elementem rzędu k.
Wniosek 5.2 Jeżeli G jest grupą skończoną, to rząd dowolnego elementu grupy G dzieli rząd
G. 2
5.3
15
oraz
x +n y = rn (x + y) i x ·n y = rn (x · y).
Nietrudno zauważyć, że funkcja rn przekształca zbiór liczb całkowitych Z na zbiór Zn . Wobec
tego, +n i ·n są działaniami w zbiorze Zn . Działania te nazywamy odpowiednio dodawaniem
i mnożeniem modulo n.
Lemat 5.3 Niech n będzie dodatnią liczbą naturalną. Dla wszystkich x, y ∈ Z zachodzą równości
rn (x + y) = rn (x) +n rn (y) oraz rn (x · y) = rn (x) ·n rn (y).
Funkcja rn jest więc epimorfizmem pierścienia liczb całkowitych Z i algebry hZn , +n , ·n i i – w
konsekwencji – algebra ta jest pierścieniem przemiennym z jednością. 2
Nietrudno zauważyć, że jeżeli n nie jest liczbą pierwszą, to pierścień Zn nie jest ciałem.
5.4
Algorytm Euklidesa
Twierdzenie 5.4 Jeżeli n i m są dodatnimi liczbami naturalnymi, i d jest największym wspólnym dzielnikiem n i m, to d = a · n + b · m dla pewnych liczb całkowitych a i b.
Dowód. Rozważmy algorytm Euklidesa:
1. x := n; y := m;
2. dopóki x 6= y wykonuj
jeżeli x < y, to y := y − x, a w przeciwnym razie x := x − y;
3. zwróć x.
Zauważmy, że podczas wykonywania algorytmu Euklidesa po uruchomieniu go z dodatnimi
liczbami n i m prawdziwe następujące własności:
• wartości zmiennych x i y są dodatnie,
Pierścienie Zn
Niech n 6= 0 i m będą liczbami całkowitymi. Resztą z dzielenia m przez n nazywamy liczbę
naturalną r < n taką, że m = a · n + r dla pewnej liczby całkowitej a. Taka liczba r istnieje
i jest jednoznacznie wyznaczona. Zwykle będziemy ją oznaczać symbolem m mod n. Teraz,
dla uproszczenia wzorów przyjmiemy też oznaczenie
rn (m) = m mod n.
Wprowadźmy jeszcze dalsze oznaczenia:
Zn = {i ∈ N | i < n}
• stale zmiejsza się wartość max(x, y), a więc instrukcja „dopóki” może być wykonywana
najwyżej max(n, m) − 1 razy,
• wartości zmiennych x i y należą do zbioru {a · n + b · m : a, b ∈ Z},
• liczba k dzieli wartości zmiennych x i y wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli n i m. 2
Wniosek 5.5 Liczby n i m są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy, gdy 1 = a · n + b · m
dla pewnych a, b ∈ Z. 2
16
6.1
Przypomnienia
6.3
Przypuśćmy, że G jest grupą i g ∈ G.
Zbiór {g i ∈ G | i ∈ Z} jest podgrupą grupy G. W tym przypadku wszystkie warunki
z definicji podgrupy są oczywiste. Podgrupa ta jest zawarta w każdej podgrupie, do której
należy g. Jest więc podgrupą generowaną przez g (lub przez zbiór {g}).
Jeżeli grupa G jest skończona, to dla pewnej liczby naturalnej n zachodzi równość g n =
1. Tak jest ponieważ funkcja f : N → G zdefiniowana wzorem f (i) = g i nie może być
różnowartościowa. Jeżeli dla i < j zachodzi równość f (i) = f (j), to
g j−i = g j · (g i )−1 = f (j) · (f (i))−1 = 1.
Oczywiście, podane zbiory są podzbiorami grupy generowanej przez g i są sobie równe. Łatwo
też można sprawdzić, że są to podgrupy.
Jeżeli n jest najmniejszą dodatnią liczbą naturalną taką, że g n = 1, to funkcja przyporządkowująca liczbie i < n element g i jest różnowartościowa. W tym przypadku zbiór
{g i | 0 ¬ i < n} ma n elementów i – w konsekwencji – g jest elementem rzędu n.
Jeżeli g jest elementem rzędu n, to grupa generowana przez g jest skończona i dla pewnej dodatniej liczby m potęga g m jest równa 1. Z jednoznaczności definicji rzędu wynika,
że najmniejsza z takich liczb jest równa n. Tak więc rząd elementu g można definiować na
dwa równoważne sposoby: albo jako liczbę elementów grupy generowanej przez g, albo jako
najmniejszą dodatnią potęgę g równą 1.
6.2
Generatory grupy cyklicznej
Twierdzenie 6.1 Niech g będzie generatorem grupy G rzędu n. Element g m generuje G wtedy
i tylko wtedy, gdy m i n są względnie pierwsze.
Dowód. Jeżeli n i m są względnie pierwsze, to dla pewnych liczb całkowitych a i b mamy
g = g a·n+b·m = (g n )a · (g m )b = (g m )b .
Wobec tego g i wszystkie potęgi g można otrzymać potęgując g m . Tak więc {g i | i ∈ Z} ⊆
{(g m )i | i ∈ Z}. Przeciwne zawieranie jest oczywiste. Równość podanych zbiorów oznacza, że
g i g m generują tę samą grupę.
Zauważmy, że jeżeli g generuje grupę rzędu n, to g jest elementem rzędu n. W szczególności,
n jest najmniejszą dodatnią liczbą taką, że g n = 1.
Jeżeli g m generuje grupę G, to w szczególności g = (g m )b dla pewnego b. Wobec tego,
g b·m−1 = 1. Przyjmijmy, że b · m − 1 = a · n + r dla pewnej liczby naturalnej r < n. Tak więc
1 = g b·m−1 = g a·n+r = (g n )a · g r = g r .
Ponieważ rząd g jest równy n, więc założenie r > 0 daje sprzeczność. Jeżeli natomiast r = 0,
to b · m − a · n = 1. W ten sposób dowiedliśmy, że n i m są względnie pierwsze. 2
Elementy odwracalne w pierścieniach Zn
Twierdzenie 6.2 Przypuśćmy, że m ∈ Zn oraz m 6= 0. Liczba m jest odwracalnym elementem
pierścienia Zn wtedy i tylko wtedy, gdy n i m są względnie pierwsze.
Dowód. Jeżeli m jest elementem odwracalnym w Zn , to m ·n b = 1 dla pewnego b. Z definicji
mnożenia modulo n otrzymujemy, że dla pewnego a zachodzi równość m · b + n · a = 1. Tak
więc m i n są względnie pierwsze.
Aby dowieść implikację odwrotną, weźmy a i b takie, że m · b + n · a = 1, i podzielmy b
przez n. Wtedy
1 = m · b + n · a = m · (i · n + r) + n · a = m · r + n · (m · i + a).
Jeżeli g n = 1, to grupa generowana przez g jest postaci
{g i | 0 ¬ i < n} = {g i | 1 ¬ i ¬ n}.
17
Oczywiście, r ∈ Zn , a z powyższych równości wynika, że m ·n r = 1. 2
Wniosek 6.3 Jeżeli p jest pierwsza, to Zp jest ciałem. Tak więc dla liczby pierwszej p zbiór
{1, . . . p − 1} z mnożeniem ·p modulo p jest grupą.
Jeżeli n jest dodatnią liczbą naturalną, to symbolem ϕ(n) oznaczamy liczbę elementów
zbioru {k ∈ N : k > 0 ∧ k jest względnie pierwsze z n}. Funkcję ϕ nazywamy funkcją Eulera.
6.4
Dalsze własności grup cyklicznych
Niech G będzie grupą cykliczną, g0 – generatorem G, H – podgrupą G, a m – najmniejszą
dodatnią liczbą naturalną taką, że g0m ∈ H. Oczywiście, {g0i·m : i ∈ Z} ⊆ H. Gdyby w
H był jeszcze jakiś inny element, powiedzmy g0k dla pewnego k niepodzielnego przez m, to
po podzieleniu k przez m otrzymujemy k = im + r dla r takiego, że 0 < r < m i wtedy
g0r = g0k−im = g0k (g0i·m )−1 ∈ H. Fakt ten przeczy jednak definicji liczby m. Wobec tego, H =
{g0i·m : i ∈ Z} i jest grupą cykliczną generowaną przez g0m .
Wniosek 6.4 Podgrupy grupy cyklicznej są cykliczne. 2
Niech teraz G będzie grupą cykliczną rzędu n generowaną przez g0 . Jeżeli w G jest element
n/k
rzędu k, to k dzieli n. Odwrotnie, jeżeli k jest dzielnikiem n, to g0 jest elemetem rzędu k.
Wniosek 6.5 Jeżeli G jest grupą cykliczną rzędu n i k jest dzielnikiem n, to w G istnieje
element rzędu k. 2
Spróbujemy teraz policzyć w skończonej grupie cyklicznej G elementy rzędu k. Załóżmy,
że jest przynajmniej jeden taki element i rozważmy H = {g ∈ G : g k = 1}. Do zbioru H
należą wszystkie elementy rzędu k (ale nie tylko). Najpierw zauważymy, że H jest podgrupą
grupy G. W tym celu weźmy g i h takie, że g k = 1 i hk = 1, i obliczmy (gh)k . Ponieważ grupa
cykliczna jest przemienna, więc (gh)k = g k hk = 1. Tak więc zbiór H jest zamknięty ze względu
na mnożenie, a ponieważ G jest skończona, więc jest podgrupą.
Podgrupa H jest cykliczna, jak wszystkie podgrupy G. Gdyby miała więcej niż k elementów, miałaby też element rzędu większego niż k. Z definicji H wynika, że wszystkie elementy
18
H są rzędu ¬ k. Stąd H ma najwyżej k elementów. Z drugiej strony w H jest element rzędu
k. Tak więc H ma rząd k i element g ∈ G jest rzędu k wtedy i tylko wtedy, gdy generuje H.
Wiemy już, że grupa cykliczna rzędu k ma ϕ(k) generatorów. Grupa G ma więc tyle samo
elementów rzędu k.
Wniosek 6.6 Jeżeli w grupie cyklicznej jest element rzędu k, to jest ich ϕ(k).
Twierdzenie 6.7 Grupa skończona G taka, że dla dowolnego k ∈ N zbiór {g ∈ G : g k = 1}
ma najwyżej k elementów jest cykliczna.
∗
Dowód. Przypuśćmy, że G ma n elementów i G jest n elementową grupą cykliczną. Niech
lG (k) oznacza liczbę elementów rzędu k należących do G. Analogicznie definiujemy liczbę
lG∗ (k). Będziemy rozważać funkcje lG (k) i lG∗ (k) dla k będących dzielnikami n.
Wiemy już, że 0 < lG∗ (k) = ϕ(k). dla wszystkich takich k.
Niech g0 ∈ G będzie elementem rzędu k. Rozważmy zbiór H = {g ∈ G : g k = 1}. Z
założenia zbiór ten ma najwyżej k elementów. Z drugiej strony zawiera k elementową podgrupę
generowaną przez g0 . Wobec tego, H jest k elementową grupą cykliczną, a elementami rzędu
k w grupie G są dokładnie generatory grupy H. Tak więc w tym przypadku lG (k) = ϕ(k).
Jeżeli w grupie G nie ma elementów rzędu k, to oczywiście lG (k) = 0. Ostatecznie otrzymujemy, że lG (k) ¬ lG∗ (k) dla dowolnego k.
Ponieważ każdy element grup G i G∗ ma rząd dzielący n, więc zachodzą następujące wzory:
X
lG (k) = n =
X
lG∗ (k).
19
Dowód. Jeżeli wielomian w jest stopnia 1, to łatwo znaleźć wszystkie jego pierwiastki rozwiązując równanie w(x) = 0. Jeżeli w jest stopnia n > 1 i a jest jego pierwiastkiem (spełnia
równanie w(a) = 0), to w(x) = (x − a) · v(x) dla pewnego wielomianu v stopnia n − 1. Jeżeli b 6= a jest pierwiastkiem w, to 0 = (b − a) · v(b). W ciałach z tej równości wynika, że
v(b) = 0. Wszystkie pierwiastki w różne od a są więc pierwiastkami v i, na podstawie założenia indukcyjnego, jest ich najwyżej n − 1. Tak więc wielomian w ma najwyżej n pierwiastków.
2
Twierdzenie 6.9 Grupa multiplikatywna dowolnego ciała skończonego jest cykliczna.
Dowód. Jest to wniosek z twierdzeń 6.7 i 6.8. 2
6.6
Działanie grupy na zbiorze
Mówimy, że grupa G działa na zbiorze X, jeżeli dana jest funkcja przyporządkowującą parze
(g, x) ∈ G × X element g.x należący do zbioru X, która dla dowolnych x ∈ X i g, h ∈ G
spełnia równości 1.x = x oraz (gh).x = g.(h.x).
• Grupa G działa na sobie (na zbiorze G), jeżeli przyjmiemy, że g.x = g · x.
• Grupa Sn działa na {1, . . . , n}, jeżeli działanie zdefiniujemy wzorem σ.i = σ(i).
• Grupa G także działa na sobie (na zbiorze G), jeżeli g.x = g · x · g −1 .
Przypuśćmy, że ϕ : G → SX jest homomorfizmem o wartościach w grupie permutacji
zbioru X. Wtedy wzór g.x = ϕ(g)(x) definiuje działanie grupy G na X. Mamy bowiem
k|n
k|n
Stąd otrzymujemy, że lG (k) = lG∗ (k) dla wszystkich dzielników n. W szczególności lG (n) =
lG∗ (n) > 0. To oznacza, że G jest grupą cykliczną. 2
1.x = ϕ(1)(x) = id(x) = x
oraz
6.5
Grupy multiplikatywne ciał skończonych
(g · h).x = ϕ(g · h)(x) = (ϕ(g)ϕ(h))(x) = ϕ(g)(ϕ(h)(x)) = g.(h.x).
W dowolnych pierścieniach przemiennych, a więc i w ciałach, prawdziwy jest wzór
xn − an = (x − a) ·
n−1
X
an−i xi .
fg (g −1.y) = g.(g −1.y) = (g · g −1 ).y = 1.y = y.
i=0
Z tego wzoru otrzymujemy, że dla dowolnego wielomianu w stopnia n istnieje wielomian stopnia
n − 1 taki, że
w(x) − w(a) = (x − a) · v(x).
Dla wielomianu w(x) =
w(x) − w(a) =
Pn
n
X
i=0
i=0
ai xi mamy bowiem
ai xi −
n
X
i=0
ai ai =
n
X
i=0
ai (xi − ai ) = (x − a) ·
Pokażemy, że każde działanie grupy G na X jest takiej właśnie postaci. Mając działanie
grupy G na X, dla g ∈ G zdefiniujmy funkcję fg : X → X przyjmując, że fg (x) = g.x. Funkcje
fg są permutacjami zbioru X. Wartość y funkcja fg przymuje dla argumentu g −1.y, gdyż
n
X
i=0
(ai ·
i−1
X
ai−j xj ).
j=0
Twierdzenie 6.8 W dowolnym ciele, dowolny wielomian stopnia n ma najwyżej n pierwiastków.
Jeżeli fg (x) = fg (y), to także g −1 .fg (x) = g −1 .fg (y). Aby teraz dowieść różnowartościowość fg
wystarczy zauważyć, że g −1 .fg (x) = g −1 .(g.x) = (g −1 g).x = 1.x = x i analogiczny wzór dla y.
Weźmy więc funkcję ϕ : G → SX zdefiniowaną wzorem ϕ(g) = fg . Jest to homomorfizm
podanych grup, gdyż
ϕ(g · h)(x) = fg·h (x) = (g · h).x = g.(h.x) = fg (fh (x)) = (ϕ(g)ϕ(h))(x).
Dla tego homomorfizmu mamy
ϕ(g)(x) = fg (x) = g.x.
20
7.1
Stabilizatory i orbity
7.3
Stabilizatorem elementu x ∈ X nazywamy zbiór
stab(x) = {g ∈ G : g.x = x}.
Stabilizator dowolnego elementu jest podgrupą grupy G.
Jeżeli x ∈ X, to zbiór
orb(x) = G.x = {g.x : g ∈ G}
nazywamy orbitą elementu x.
Jeżeli grupa G działa na sobie tak, że g.x = gx, to dla dowolnego elementu x ∈ G jego
stabilizatorem jest stab(x) = {1}, a jego orbitą jest orb(x) = Gx = {gx : g ∈ G} = G.
Przypuśćmy, że mamy grupę G i homomorfizm h przekształcający G na H. Wzorem g.x =
h(g) · x definiujemy działanie grupy G na H. W tym przypadku stab(x) = {g ∈ G : g.x =
x} = {g ∈ G : h(g) = 1} (dla 1 ∈ H) jest więc jądrem homomorfizmu h, a orb(1) = {g.1 : g ∈
G} = {h(g) : g ∈ G} = H.
Lemat 7.1 Jeżeli grupa G działa na zbiorze X, to zbiór orbit jest podziałem zbioru X.
Dowód. Rozważmy relację R ⊆ X 2 taką, że
xRy ⇔ ∃g ∈ G g.x = y.
Łatwo wykazać, że R jest relacją równoważności. Klasa abstrakcji relacji R wyznaczona przez
x jest równa {g.x : g ∈ G}, czyli jest orbitą elementu x. 2
7.2
Uogólnienie twierdzenia Lagrange’a
Na wykładzie 3 dla grupy G i jej podgrupy rozważaliśmy relację równoważności RH zdefiniowaną wzorem xRH y ⇔ x−1 y ∈ H. Pokazaliśmy, że relacja RH ma równoliczne klasy abstrakcji
postaci xH = {xh | h ∈ H} (zwane warstwami) i H jest jedną z klas abstrakcji.
Twierdzenie 7.2 Jeżeli grupa G działa na zbiorze X, to dla dowolnego x ∈ X zachodzi
równość | G | = | stab(x) | · | orb(x) |.
Dowód. Weźmy dowolny x ∈ X i rozważmy funkcję f : G → X taką, że f (g) = g.x. Zbiorem
wartości funkcji f jest orb(x). Zauważmy też, że następujące warunki są równoważne
−1
−1
f (g) = f (h) ⇔ g.x = h.x ⇔ g .(g.x) = g .(h.x) ⇔
⇔ (g −1 h).x = x ⇔ g −1 h ∈ stab(x) ⇔ gRstab(x) h
Stąd wynika, że relacja R taka, że gRh ⇔ f (g) = f (h) jest równa Rstab(x) , a więc Rstab(x)
ma tyle klas abstrakcji, ile elementów ma orbita orb(x). Teza zachodzi, ponieważ każda klasa
abstrakcji relacji Rstab(x) ma | stab(x) | elementów. 2
21
Elementy sprzężone
Niech G będzie grupą. Będziemy teraz rozważać funkcje sg : G → G wyznaczone przez g ∈ G
i zdefiniowane wzorem sg (x) = gxg −1. Bez trudu dowodzi się, że funkcje sg przekształcają G
wzajemnie jednoznacznie na G. Ponadto są to homomorfizmy przekształcające G na G, gdyż
sg (xy) = gxyg −1 = gxg −1gyg −1 = sg (x)sg (y). Homomorfizmy przekształcające G wzajemnie
jednoznacznie na G nazywamy automorfizmami.
Co więcej wzór g.x = sg (x) definiuje działanie grupy G na sobie. Mamy bowiem 1.x =
1x1−1 = x oraz (gh).x = (gh)x(gh)−1 = g(hxh−1 )g −1 = g.(h.x).
Dla wyżej zdefiniowanego działania stabilizator x nazywamy centralizatorem, a elementy
orbity x, czyli elementy postaci gxg −1 , nazywamy elementami sprzężonymi z x.
W grupach przemiennych (np. cyklicznych) jedynym elementem sprzężonym z g jest g.
7.4
Homomorfizmy grup
Przypuśćmy, że h jest homomorfizmem przekształcającym grupę G w grupę G0 . Niech H =
h−1 ({1}) = {g ∈ G : h(g) = 1}. Oczywiście, H jest podgrupą G. Zauważmy, że funkcje sg
przekształcają H na H. Tak więc, sg (H) = gHg −1 = H dla wszystkich g ∈ G. Tę własność
można też wyrazić inaczej stwierdzając, że podgrupa H wraz z dowolnym elementem zawiera wszystkie z nim sprzężone. Podgrupy o tej własności nazywamy dzielnikami normalnymi.
Wszystkie podgrupy grupy przemiennej są dzielnikami normalymi.
Grupa ma tyle (z dokładnością do izomorfizmu) obrazów homomorficznych, ile dzielników
normalnych. Aby się o tym przekonać zauważmy, że jeżeli H jest dzielnikiem normalnym, to
xHyH = xyHy −1yH = xyHH = xyH. Wobec tego, zbiór
G/H = {xH : x ∈ G} = {[x] : x ∈ G}
klas abstrakcji relacji RH (czyli (prawostronnych) warstw grupy G wyznaczonych przez H)
rozważany z działaniem zdefiniowanym wzorem AB = {ab : a ∈ A ∧ b ∈ B} jest obrazem
homomorficznym grupy G. Epimomorfizm χ : G → G/H jest zdefiniowany wzorem χ(x) =
xH. Mnożenie w G/H możemy też zdefiniować wzorem [x][y] = [xy], a więc klasy akstrakcji
(relacji Rh ) mnożymy w ten sposób, że bierzemy reprezentantów x i y tych klas, obliczamy
iloczyn xy i tworzymy klasę abstrakcji wyznaczoną przez ten iloczyn. Algebrę G/H jest grupą
(jako obraz homomorficzny grupy) i nazywamy ją grupą ilorazową.
Jądrem homomorfizmu χ jest podgrupa H: warunek χ(x) = 1G/H = 1H = H jest równoważny warunkom xH = H orax x ∈ H.
Wniosek 7.3 Każdy dzielnik normalny jest jądrem pewnego homomorfizmu. 2
Co więcej, grupy G0 i G/H są izomorficzne. Wzór f (xH) = h(x) jest poprawną definicją
funkcji f : G/H → G0 . Tak jest, gdyż następujące warunki są równoważne: xH = yH (albo
[x] = [y]), x−1 y ∈ H, h(x−1 y) = 1, h(x) = h(y) oraz f (xH) = f (yH). Równoważność tych
warunków świadczy także o tym, że f jest funkcją wzajemnie jednoznaczną. Podobnie sprawdzamy, że f jest homomorfizmem: f (xHyH) = f (xyH) = h(xy) = h(x)h(y) = f (xH)f (yH).
Wniosek 7.4 Obrazy homomorficzne grupy G wyznaczone przez homomorfizmy o tym samym
jądrze są izomorficzne. 2
22
8.1
Działanie grupy na zbiorze: liczba orbit
Przypuśćmy, że G działa na zbiorze X. Zbiorem punktów stałych działania elementem g ∈ G
nazywamy zbiór f ix(g) = {x ∈ X : g.x = x}.
Lemat 8.1 (Burnside) Jeżeli grupa G działa na zbiorze X, to liczba orbit jest równa
1 X
1 X
| stab(x) | oraz
| f ix(g) |.
| G | x∈X
| G | g∈G
23
Dowód. Udowodnimy, że f ∈ f ix(g) wtedy i tylko wtedy, gdy f jest stała na wszystkich
orbitach postaci orbH (x). Stąd, oczywiście, wynika teza lematu.
Przypuśćmy, że g0 jest rzędu k. Wtedy H = {g0i : i < k} oraz orbH (x) = {g0i .x : i < k}.
Jest oczywiste, że jeżeli f ∈ f ix(g) ∩ f ix(h), to f ∈ f ix(gh).
Weźmy f ∈ f ix(g0 ). Z podanej własności otrzymujemy, że f ∈ f ix(g0i ), a także f ∈
f ix(g0−i ) dla wszystkich i < k. Tak więc dla dowolnego x ∈ X mamy f (x) = g0−i .f (x) =
f (g0i .x). Oznacza to, że dla dowolnego x ∈ X funkcja f jest stała na orbicie orbH (x).
Implikacja odwrotna jest oczywista. 2
Jeżeli H jest podgrupą grupy G, to obcięcie działania G na X do podgrupy H jest działaniem H na X. Przypuśćmy, że orbG (x) i orbH (x) są orbitami dla tych działań. Jest oczywiste,
że orbH (x) ⊆ orbG (x). Wobec tego, orbity orbH (x) definiują drobniejszy podział X od podziału
na orbity orbG (x).
Przykład 8.3 Przypuśćmy, że mamy kwadratową szachownicę o czterech polach. Każde z pól
jest wyznaczone przez jeden z wierzchołków szachownicy-kwadratu, sąsiadujący z tym polem.
Przypuśćmy, że wierzchołki szachownicy są oznaczane symbolami lg, ld, pg i pd (lewy-górny,
lewy-dolny itd.). Kolorowaniem szachownicy nazywamy funkcję f : {lg, ld, pg, pd} → K, która
każdemu wierzchołkowi przyporządkowuje kolor ze zbioru K, którym jest pomalowane pole z
nim sąsiadujące. Szachownicę możemy, oczywiście, obracać. Obroty szachownicy tworzą grupę
G. Grupa ta działa na zbiorze wierzchołków tak, że σ.w jest wierzchołkiem, na którym znajdzie
się wierzchołek w po wykonaniu obrotu σ (np. jeżeli w = lg, a σ jest obrotem w prawo o 90
stopni zgodnie z ruchem wskazówek zegara, to σ.w = pg.
Zdefiniujemy działanie grupy G na kolorowaniach szachownicy: jeżeli σ jest obrotem, a
f – kolorowaniem, to σ.f jest kolorowaniem, które można otrzymać w następujący sposób:
bierzemy szachownicę z kolorami wyznaczonymi przez kolorowanie f i wykonujemy obrót σ.
Nietrudno zauważyć, że aby ustalić kolor pola sąsiadującego z wierzchołkiem w w kolorowaniu
σ.f należy znaleźć wierzchołek, który po wykonaniu obrotu σ znajdzie się na pozycji wierzchołka w (a więc wierzchołek σ −1 (w)) i zobaczyć, jak jest pokolorowane sąsiednie pole (jest
pomalowane kolorem f (σ −1 (w)). Tak więc σ.f (w) = f (σ −1 (w). Zauważmy, że zdefiniowana
funkcja σ.f jest działaniem, a lemat 8.2 podaje jego własności.
Dwa kolorowania f1 i f2 uważamy za identyczne, jeżeli jedno z nich można otrzymać z
drugiego przez odpowiedni obrót (jeżeli ∃σ ∈ G σ.f1 = f2 ). Zauważmy, że zdefiniowana relacja
występuje w dowodzie lematu 7.1. Z dowodu tego lematu wynika, że utożsamiamy dokładnie te
kolorowania, które należą do tej samej orbity wyznaczonej przez działanie grupy G na zbiorze
kolorowań. Różnych kolorowań jest więc tyle, ile to działanie ma orbit. Będziemy liczyć liczbę
tych orbit korzystając z lematów 8.1 Burnside’a i 8.2.
Grupa G składa się z czterech obrotów: O0 o 0 stopni, O180 o 180 stopni oraz O90 i O−90 o
90 stopni zgodnie i niezgodnie z ruchem wskazówek zegara. Składając obroty O90 i O−90 można
dowolny wierzchołek kwadratu przeprowadzić na każdy inny. Tak więc podgrupa generowana
przez każdy z tych obrotów ma tylko jedną orbitę, a zgodnie z lematem 8.2 zachodzi wzór
| f ix(O±90 ) | = | K |. Podobnie, podgrupa generowana przez obrót O0 ma cztery orbity oraz
zachodzi wzór |f ix(O0 )| = |K |4 . Obrót O180 o 180 stopni ma dwie orbity {lg, pd} i {ld, pg} oraz
zachodzi wzór | f ix(O180 ) | = | K |2 . Zgodnie z lematem Burnside’a liczba różnych kolorowań
czteropolowej szachownicy | K | kolorami jest równa
Lemat 8.2 Jeżeli g ∈ G, H jest skończoną podgrupą G generowaną przez g0 i działanie H
na X rozbija X na m orbit, to dla działania G na Y X mamy | f ix(g) | = | Y |m .
1
· (| K |4 + | K |2 + 2 · | K |).
4
Dowód. Najpierw zauważmy, że obie liczby z tezy lematu są równe i są równe liczbie elementów zbioru A = {(g, x) ∈ G × X : g.x = x}. Jest to konsekwencja równoważności warunków
g.x = x, x ∈ f ix(g) oraz g ∈ stab(x) i wynikających stąd wzorów
A = {(g, x) ∈ G × X : x ∈ f ix(g)} =
[
{g} × f ix(g),
[
stab(x) × {x}.
g∈G
oraz
A = {(g, x) ∈ G × X : g ∈ stab(x)} =
x∈X
Zauważmy także, że zgodnie z twierdzeniem 7.2 dla dowolnej orbity O mamy
X
x∈O
i w konsekwencji
P
x∈X
| stab(x) | =
X |G|
x∈O
|O|
= | G |,
| stab(x) | jest iloczynem liczby orbit i liczby elementów grupy G. 2
Przypuśćmy, że oprócz G i X mamy także zbiór Y . Grupa G działa również na zbiorze Y X
funkcji określonych na zbiorze X i przyjmujących wartości w zbiorze Y . Działanie G na tym
zbiorze definiujemy wzorem
(g.f )(x) = f (g −1.x).
Oczywiście, (1.f )(x) = f (x), czyli 1.f = f dla dowolnej funkcji f . Mamy także
((gh).f )(x) = f ((gh)−1.x) = f ((h−1 g −1 ).x) =
= f (h−1 .(g −1 .x)) = (h.f )(g −1 .x) = (g.(h.f ))(x).

Wykłady z algebry

Transkrypt

Podobne dokumenty

Wspomag. komp. modelow. matemat.

Konstrukcja transformaty Gelfanda. Brzeg Szyłowa algebry funkcyjnej

Kliknij tutaj - Wydawnictwa PTM - Polskie Towarzystwo Matematyczne

Tematy prac magisterskich, I r. MU, 2014

f(x) : x ∈ A

Obrona cywilna i ochrona ludności

Algebra z Geometrią Analityczną, I rok inf., WPPT Lista 1

Rejestr wniosków dotyczących wpisu do