Algebra z Geometrią Analityczną, I rok inf., WPPT Lista 1

Algebra z Geometrią Analityczną, I rok inf., WPPT
Lista 1 - grupy
Definicja. Grupą nazywamy parę (G, ◦), składającą się ze zbioru G oraz takiego działania
(operacji binarnej) ◦ określonego w zbiorze G, które spełnia warunki:
(1) działanie ◦ jest łączne: (a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c),
(2) działanie ◦ ma element neutralny e ∈ G, czyli e ◦ g = g ◦ e dla każdego g ∈ G,
(3) dla każdego elementu g zbioru G istnieje element odwrotny g −1 ∈ G taki, że
g ◦ g −1 = g −1 ◦ g = e.
Zadania
1. Udowodnij, że w każdej grupie G dla dowolnych jej elementów x, g, h mamy:
hg n h−1 = (hgh−1 )n , (ghx)−1 = x−1 h−1 g −1 .
2. Czy zbiór liczb rzeczywistych x spełniających warunek |x| ¬ 1 jest grupą względem
mnożenia?
3. Czy zbiór {2n 3m : m, n ∈ Z} jest grupą względem mnożenia?
4. Ułóż tabelki dodawania modulo 4 i mnożenia modulo 4 w zbiorze Z4 = {0, 1, 2, 3}.
Dla jakich elementów istnieje element odwrotny ze względu na mnożenie modulo 4?
Czy podzbiór {0, 1} jest podgrupą grupy Z4 = {0, 1, 2, 3} z dodawaniem modulo 4?
Wyznacz podgrupy grupy Z8 = {0, 1, . . . , 7} z dodawaniem modulo 8.
5. W zbiorze Z5 rozwiąż równanie 2x + 4 = 0 oraz układ równań 3x + 4y = 1, 4x + y = 2.
6. Niech G będzie zbiorem izometrii własnych trójkąta równobocznego: obroty dookoło
środka trójkąta o 0, 120 i 240 stopni, trzy symetrie względem dwusiecznych (obrót o
zero stopniu jest przekształceniem tożsamościowym). Działaniem w G jest złożenie odwzorowań. Ułóż tabelkę działania i sprawdź, że G jest grupą ze względu na to działanie.
7. Ułóż tabelkę działania w grupie permutacji S3 , przyjmując oznaczenia
!
σ1 =
1 2 3
1 2 3
!
σ4 =
1 2 3
1 3 2
,
,
!
σ2 =
1 2 3
2 3 1
!
σ5 =
1 2 3
3 2 1
,
,
!
σ3 =
1 2 3
3 1 2
!
σ6 =
1 2 3
2 1 3
8. Wyznacz permutację σ spełniającą równanie
1 2 3 4 5
1 5 4 2 3
!
σ=
1 2 3 4 5
2 5 3 1 4
!
9. Wyznacz zbiór wszystkich potęg σ k (k = 0, 1, 2, . . .) permutacji
σ=
1 2 3 4
1 3 4 2
Czy ten zbiór jest podgrupą grupy S4 ?
1
!
.
.
,
.
10. (∗) Sprawdź, czy zbiór liczb rzeczywistych R wraz z działaniem x y = x + y + 5 jest
grupą.
11. (∗) Niech G będzie zbiorem uprządkowanych par (a, b) liczb rzeczywistych z a 6= 0 i
niech w zbiorze G będzie określone następujące działanie (a, b) (c, d) = (ac, bc + d).
Sprawdź, że G jest grupą nieabelową.
12. (∗) Wykaż, że zbiór {f1 , f2 , f3 , f4 , f5 , f6 } funkcji z R\{0, 1} w R\{0, 1}, określonych
wzorami:
f1 (x) = x, f2 (x) = 1 − x, f3 (x) =
1
1
1
x
, f4 (x) = 1 − , f5 =
, f6 (x) =
,
x
x
1−x
x−1
jest grupą z operacją (działaniem) składania funkcji. Ułóż tabelkę działania dla tej grupy
i porównaj ją z tabelką dla grupy permutacji S3 z Zadania 7.
Krystyna Ziętak
2