Równania różniczkowe cząstkowe w teorii funkcji, dwa

Równania różniczkowe czastkowe
,
w teorii funkcji.
Dwa slynne problemy.
Michal Jasiczak
Horyzonty 2014
Podstawowy obiekt wykladu:
funkcje holomorficzne wielu zmiennych
Temat:
dwa problemy, których znane cześciowe
,
rozwiazania
wykorzystuja, metody równań
,
różniczkowych czastkowych.
,
2
Definicja 1 Niech Ω ⊂ Cn bedzie
obszarem.
,
Funkcje,
f: Ω→C
nazywamy funkcja, holomorficzna,
, jeżeli dla każdego
j = 1, . . . , n i dla dowolnie ustalonych punktów
z1, . . . , zj−1, zj+1, . . . , zn funkcja
z 7→ f (z1, . . . , zj−1, z, zj+1, . . . , zn)
jest holomorficzna jako funkcja jednej zmiennej
zespolonej, dla wszystkich
z ∈ {z ∈ C : (z1, . . . , zj−1, z, zj+1, . . . , zn) ∈ Ω}.
3
Definicja 2 Mówimy, że funkcja
f: D →C
określona na obszarze D ⊂ C jest holomorficzna w punkcie z ∈ D, jeżeli jest różniczkowalna
w sensie zespolonym w punkcie z, to znaczy
istnieje granica
f (z + h) − f (z)
.
h→0
h
lim
h∈C
Funkcja f jest holomorficzna na obszarze D,
jeżeli jest holomorficzna w każdym punkcie obszaru D.
4
Historycznie funkcje holomorficzne Ω ⊂ Cn byly
definiowane jako funkcje holomorficzne wzgledem
,
każdej zmiennej osobno i ograniczone na zbiorach zwartych. Z wzoru calkowego Cauchy’ego
wynika, że sa, one klasy C ∞.
Z wzoru calkowego Cauchy’ego wynika, że sa,
one klasy C ∞.
5
Twierdzenie 1 (Hartogs) Funkcja holomorficzna
f : Ω → C jest ciag
, la.
6
Podobnie jak w przypadku funkcji holomorficznej jednej zmiennej.
Definicja 3 Funkcja f : Ω → C jest holomorficzna, jeżeli dla kadego z 0 ∈ Ω można dobrać
r = r(z 0) tak, aby Dn(z 0, r) ⊂ Ω i aby f dala
sie, przedstawić w postaci sumy bezwzglednie
,
zbieżnego szeregu potegowego
,
f (z) =
X
aα(z − z 0)α
α
dla z ∈ Dn(z 0, r).
7
Podstawowa idea:
• Być może znane wlasności funkcji holomorficznych jednej zmiennej można w prosty
sposób przenieść na przypadek funkcji holomorficznych wielu zmiennych.
8
Podstawowa idea:
• Być może znane wlasności funkcji holomorficznych jednej zmiennej można w prosty
sposób przenieść na przypadek funkcji holomorficznych wielu zmiennych.
• Teoria funkcji wielu zmiennych jest znacznie bardziej ”geometryczna”.
9
Trzeba badać zwiazki
miedzy
trzema światami:
,
,
• zbiory, obszary, na których określone sa,
funkcje,
• funkcje lub przestrzenie funkcji,
• operatory określone na przestrzeniach funkcji, na przyklad operatory różniczkowe.
10
I Problem:
Problem Korony
Dla zadanych ograniczonych funkcji holomorficznych
f1, . . . , fk : Ω → C
rozwiazać
równanie
,
g 1 f1 + · · · + g k fk = 1
zwane równaniem Bézout.
11
Interesuje nas wiec
, przestrzeń
H ∞(Ω)
ograniczonych funkcji holomorficznych na obszarze Ω.
12
Zauważmy, że jeżeli dla f1, . . . , fk ∈ H ∞(Ω) istnieja, funkcje g1, . . . , gk ∈ H ∞(Ω), to
k
X
1=
fj gj j=1
X
1/2 X
1/2
k
k
≤
|fj |2
|gj |2
j=1
j=1
X
1/2
k
≤C
|fj |2
.
j=1
Musi wiec
, wtedy być
X
k
j=1
|fj (z)|2
1/2
≥
1
> 0.
C
13
Faktycznie wiec
, problem korony polega na znalezieniu dla zadanych funkcji f1, . . . , fk ∈ H ∞(Ω)
spelniajacych
warunek
,
k
X
|fj (z)| ≥ δ > 0,
j=1
dla pewnej liczby δ, funkcji
g1, . . . , gk ∈ H ∞(Ω)
takich, że
k
X
fj (z)gj (z) = 1.
j=1
14
Przestrzeń
H ∞(Ω)
jest algebra, Banacha.
To znaczy z norma,
kf k := sup |f (z)|
z∈Ω
H ∞(Ω) jest przestrzenia, Banacha, z mnożeniem
punktowym jest algebra, oraz mnożenie jest ciag
, le
kf gk ≤ kf k · kgk.
15
Niech
m : H ∞(Ω) → C
bedzie
funkcjonalem liniowo-multiplikatywnym
,
na H ∞(Ω)
m(a1f1 + a2f2) = a1m(f1) + a2m(f2),
m(f1 · f2) = m(f1)m(f2),
a1, a2 ∈ C, f1, f2 ∈ H ∞(Ω).
16
Zbiór M wszystkich funkcjonalów
m : H ∞(Ω) → C,
które sa, liniowo-multiplikatywne nazywa sie, przestrzenia, idealów maksymalnych.
17
Zbiór M wszystkich funkcjonalów
m : H ∞(Ω) → C,
które sa, liniowo-multiplikatywne nazywa sie, przestrzenia, idealów maksymalnych.
• m jest automatycznie ciag
, ly,
18
Istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość
miedzy
funkcjonalami liniowo-multyplikatywnymi,
,
a idealami maksymalnymi
m ↔ ker m.
19
Na zbiorze M istnieje naturalna topologia. Jest
nia, tak zwana ∗-slaba topologia.
W tej topologii sieć mα ∈ M zbiega do m ∈ M
wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej funkcji
f ∈ H ∞(Ω)
mα(f ) → m(f ).
20
Dla dowolnego z ∈ Ω funkcjonal
mz : H ∞(Ω) 3 f 7→ f (z) ∈ C
jest liniowy, multyplikatywny i ciag
, ly.
To oznacza, że
Ω ,→ M.
21
Równoważne sformulowanie problemu korony:
Czy zbiór Ω jest gesty
w M?
,
22
Równoważne sformulowanie problemu korony:
Czy zbiór Ω jest gesty
w M?
,
• TAK dla dysku D – L. Carleson (1962),
dowód oparty na analizie funkcjonalnej L.
Hörmander, znacznie prostszy dowód pochodzi z 1980 roku od Wolffa.
• Nie jest znana odpowiedź dla podstawowych obszarów w Cn takich jak kula Bn,
czy polidysk
Pn =
n
o
n
z ∈ C : |zj | < 1, j = 1, . . . , n .
23
Niech f1, f2 ∈ H ∞(Ω) spelniaja, warunek
|f1(z)| + |f2(z)| ≥ δ > 0.
Możemy przyjać:
,
f¯1(z)
γ1 :=
|f1(z)|2 + |f2(z)|2
f¯2(z)
γ2 :=
.
2
2
|f1(z)| + |f2(z)|
Wówczas oczywiście:
γ1f1 + γ2f2 = 1.
Funkcje γ1, γ2 nie sa, jednak oczywiście holomorficzne. Sa, jednak gladkie.
24
Pomysl polega poprawieniu γ1, γ2.
Przyjmijmy:
g1 := γ1 + uf2
g2 := γ2 − uf1.
Wówczas oczywiście dla dowolnej funkcji u
f1g1 + f2g2 = f1γ1 + f2γ2 + f1uf2 − f1uf2
= f1γ1 + f2γ2 = 1.
Musimy wiec
, wybrać u tak, aby g1 , g2 byly holomorficzne.
25
Tutaj wkraczaja, równania różniczkowe czastkowe!
,
Funkcje holomorficzne można zdefiniować jako
rozwiazania
równań Cauchy’ego-Riemanna.
,
Zdefiniujmy dla f : D → C
√
∂f
1 ∂
∂
=
+ −1
f.
∂z̄
2 ∂x
∂y
Funkcja f : D → C jest holomorficzna wtedy i
tylko wtedy, gdy
∂f
= 0.
∂z̄
26
Podobnie funkcja f : Cn ⊃ Ω → C jest holomorficzna wtedy i tylko wtedy, gdy:
∂f
= 0,
∂z̄1
...
∂f
= 0.
∂z̄n
27
Przypomnijmy, że szukamy u takiego, aby
g1 := γ1 + uf2
byla holomorficzna. Musi wiec
, być
∂g1
= 0.
∂z̄
28
Prowadzi to do nastepuj
acego
problemu:
,
,
n uklad równań)
Rozwiazać
równanie
(lub
w
C
,
postaci:
∂u
= V.
∂z̄
29
Oczywiście
g1 := γ1 + uf2
ma być funkcja, ograniczona.
Szukamy wiec
,
,
ograniczonego rozwiazania
równań
,
∂u
= V.
∂z̄
30
Podstawowy wiec
, problem jakie jest V .
Okazuje sie,
, że prawa strona definiuje tak zwana,
miare, Carlesona. Dodatnia miara borelowska
na dysku D jest miara, Carlesona, jeżeli:
µ(S(θ0, ε)) ≤ Cε,
gdzie:
S(θ0, ε) =
√
o
−1θ
re
: |θ − θ0| < ε, |1 − r| ≤ ε .
n
31
Podobny problem na obszarach w Cn, n > 1
prowadzi do problemów, które nie sa, izotropowe.
To znaczy odpowiedniki obszarów S(θ0, ε) maja,
różne wlasności, w szczególności wymiary, w
zależności od kierunku.
32
Skad
, sie, bierze nieizotropowa natura problemów
w Cn, n > 1?
Jeżeli dla z0 ∈ Ω, v ∈ Cn oraz r > 0
n
o
D(z0, v, r) := z0 + λv : λ ∈ C, |λ| < r ⊂ Ω
to wzór calkowy Cauchy’ego
1
√
f (ζ)
f (z0) =
dζ
2π −1 ∂D(z0,v,r) (ζ − z0)2
0
Z
da oszacowanie
0
|f (z0)| .
kf kH ∞
.
r
33
Podsumowujac:
,
n, n >
Metoda rozwiazania
problemu
korony
w
C
,
1 prowadzi do ukladu równań postaci
∂f
= Vj ,
∂z̄j
j = 1, . . . , n, które trzeba rozwiazać
znajdujac
,
,
rozwiazanie
ograniczone. Prawa strona
,
(V1, . . . , Vn)
spelnia pewne geometryczne oszacowania nieizotropowej natury.
34
Znane metody daja, rozwiazania
w wiekszych
,
,
przestrzeniach takich jak przestrzenie Hardy’ego
H p, 1 ≤ p < ∞, przestrzeń BMOA funkcji holomorficznych o ograniczonej oscylacji na brzegu
lub przestrzenie funkcji o wzroście logarytmicznym:
|f (z)| ≤ C log(1 − |z|)|k
dla pewnego k ∈ N0.
35
Problem II:
Zasada odpowiedniości brzegów
Carathéodory’ego:
Twierdzenie 2 Niech obszary D1, D2 bed
, a, ograniczone krzywymi Jordana ∂D1, ∂D2. Wówczas
przeksztalcenie biholomorficzne f : D1 → D2
można przedlużyć na brzeg obszaru D1 do homeomorfizmu obszarów domknietych
D̄1 i D̄2.
,
36
Niech Ω1, Ω2 ⊂ Cn bed
, a, ograniczonymi obszarami o gladkich brzegach. Czy biholomorfizm
F : Ω1 → Ω2
przedluża sie, do dyfeomorfizmu domknieć
, obszarów Ω̄1, Ω̄2?
37
Rozwiazanie
tego problemu pozwoliloby przy,
porzadkować
obszarowi Ω pewne niezmienniki
,
zdefiniowane dla punktów należacych
do brzegu
,
∂Ω. To z kolei pozwoliloby myśleć o klasyfikacji obszarów ze wzgledu
na relacje, bycia biho,
lomorficznym.
38
Twierdzenie 3 (Riemann) Dowolny obszar jednospójny, którego brzeg sklada sie, z wiecej
niż
,
jednego punktu, jest biholomorficzny z dyskiem.
39
Problem istnienia rozszerzenia biholomorfizmu
jest rozwiazany
dla obszarów silnie pseudowy,
puklych – Fefferman 1974.
40
Inna idea (Bell, Ligocka 1980): wykorzystać
przestrzenie Sobolewa
41
Przestrzeń Sobolewa
Wk (Ω) :=
n
o
2
α
2
u ∈ L (Ω) : D u ∈ L (Ω), |α| ≤ k .
kukL2(Ω) =
Z
Ω
|u|2dx
1/2
.
42
Dla funkcji ciag
, lej u ∈ C(Ω̄) ma sens odwzorowanie
u 7→ u|∂Ω
u|∂Ω
to ślad funkcji u.
43
Podobnie dla odpowiednio dużego k funkcje z
przestrzeni Sobolewa Wk (Ω) też maja, ślady!
44
Pomysl: Wykorzystajmy ślad w sensie teorii
przestrzeni Sobolewa jako rozszerzenie biholomorfizmu!
45
Zamiast badać równanie
∂u = V
latwiej jest badać równanie
∗
∗
(∂ ∂ + ∂∂ )u = f.
46
Aby skonstruować rozszerzenie trzeba zbadać
wlasności
∗
∂ ∂ + ∂∂
∗
na przestrzeniach Sobolewa.
47
∗
∂ to operator formalnie sprzeżony
z ∂
,
Z
Ω
∗
∂ uv̄dx =
Z
Ω
u ∧ ?∂v
dla u, v o zwartym nośniku zawartym w Ω, czyli
∗
(∂ u, v) = (u, ∂v).
48
Operator
∗
= ∂ ∂ + ∂∂
∗
to w zasadzie laplasjan
2n
X
∂2
∆=
.
2
j=1 ∂xj
49
Rozważmy równanie
Lu = f,
gdzie
Lu = −
n
X
(aij (x)uxi )xj +
i,j=1
n
X
biuxi + c(x)u.
i=1
Na przyklad Laplasjan ∆.
50
Wówczas, jeżeli f ∈ Wk (Ω) oraz
Lu = f,
to
u ∈ Wk+2,loc(Ω),
gdy aij , bi, c ∈ C k+1(Ω).
51
Rozwiazanie
u ma wiec
lepsze wlasności od
,
,
prawej strony równania Lu = f .
52
Być może te, sama, wlasność ma nasze równanie
∗
∗
(∂ ∂ + ∂∂ )u = f.
53
Jeżeli Ω jest obszarem skończonego typu, to
zachodza, oszacowania subeliptyczne
∗ 2
2
2
2
kukε ≤ C k∂uk + k∂ uk + kuk
dla ε > 0.
54
Zatem dla obszarów skończonego typu mamy
rozszerzenia biholomorfizmów.
55
Przyklady obszarów skończonego typu:
{z ∈ C2 : |z1|4 + |z2|6 < 1}
{2<z3 + |z12 − z23|2 + |z1|8 + |z1|18 − |z2|12 < 1}
56