Teoria mnogosci Funkcje i ich własnosci

Teoria mnogości
Funkcje i ich własności
8 października 2014
wykład 1
Mnogość - zbiór
Pojecia
˛
pierwotne: zbiór (mnogość), element zbioru.
Podstawowe zbiory:
N - liczby naturalne
Z - liczby całkowite
Q - liczby wymierne
R - liczby rzeczywiste.
wykład 1
Mnogość - zbiór
Pojecia
˛
pierwotne: zbiór (mnogość), element zbioru.
Podstawowe zbiory:
N - liczby naturalne
Z - liczby całkowite
Q - liczby wymierne
R - liczby rzeczywiste.
wykład 1
Przykład
Rozwiaż
˛ nierówność x 2 + 2x < 0.
x(x + 2) < 0
x < 0 i x + 2 > 0 lub x > 0 i x + 2 < 0
x < 0 i x > −2 lub x > 0 i x < −2
x ∈ (−2, 0) lub x ∈ (0, −2) ?
x ∈ (−2, 0).
wykład 1
Przykład
Rozwiaż
˛ nierówność x 2 + 2x < 0.
x(x + 2) < 0
x < 0 i x + 2 > 0 lub x > 0 i x + 2 < 0
x < 0 i x > −2 lub x > 0 i x < −2
x ∈ (−2, 0) lub x ∈ (0, −2) ?
x ∈ (−2, 0).
wykład 1
Przykład
Rozwiaż
˛ nierówność x 2 + 2x < 0.
x(x + 2) < 0
x < 0 i x + 2 > 0 lub x > 0 i x + 2 < 0
x < 0 i x > −2 lub x > 0 i x < −2
x ∈ (−2, 0) lub x ∈ (0, −2) ?
x ∈ (−2, 0).
wykład 1
Przykład
Rozwiaż
˛ nierówność x 2 + 2x < 0.
x(x + 2) < 0
x < 0 i x + 2 > 0 lub x > 0 i x + 2 < 0
x < 0 i x > −2 lub x > 0 i x < −2
x ∈ (−2, 0) lub x ∈ (0, −2) ?
x ∈ (−2, 0).
wykład 1
Przykład
Rozwiaż
˛ nierówność x 2 + 2x < 0.
x(x + 2) < 0
x < 0 i x + 2 > 0 lub x > 0 i x + 2 < 0
x < 0 i x > −2 lub x > 0 i x < −2
x ∈ (−2, 0) lub x ∈ (0, −2) ?
x ∈ (−2, 0).
wykład 1
Przykład
Rozwiaż
˛ nierówność x 2 + 2x < 0.
x(x + 2) < 0
x < 0 i x + 2 > 0 lub x > 0 i x + 2 < 0
x < 0 i x > −2 lub x > 0 i x < −2
x ∈ (−2, 0) lub x ∈ (0, −2) ?
x ∈ (−2, 0).
wykład 1
Przykład
Rozwiaż
˛ nierówność x 2 + 2x < 0.
x(x + 2) < 0
x < 0 i x + 2 > 0 lub x > 0 i x + 2 < 0
x < 0 i x > −2 lub x > 0 i x < −2
x ∈ (−2, 0) lub x ∈ (0, −2) ?
x ∈ (−2, 0).
wykład 1
Przedziały
Niech a; b ∈ R ∪ {±∞}
1
przedziałem obustronnie otwartym nazywamy zbiór (a; b) := {x : a < x < b};
2
jeżeli b 6= ∞ to przedziałem lewostronnie otwartym, prawostronnie
domknietym
˛
nazywamy zbiór (a; b] := {x : a < x ≤ b};
3
podobnie definiujemy przedziały prawostronnie i obustronnie domkniete.
˛
Znamy operacje ∪, ∩, \.
wykład 1
Przedziały
Niech a; b ∈ R ∪ {±∞}
1
przedziałem obustronnie otwartym nazywamy zbiór (a; b) := {x : a < x < b};
2
jeżeli b 6= ∞ to przedziałem lewostronnie otwartym, prawostronnie
domknietym
˛
nazywamy zbiór (a; b] := {x : a < x ≤ b};
3
podobnie definiujemy przedziały prawostronnie i obustronnie domkniete.
˛
Znamy operacje ∪, ∩, \.
wykład 1
Przedziały
Niech a; b ∈ R ∪ {±∞}
1
przedziałem obustronnie otwartym nazywamy zbiór (a; b) := {x : a < x < b};
2
jeżeli b 6= ∞ to przedziałem lewostronnie otwartym, prawostronnie
domknietym
˛
nazywamy zbiór (a; b] := {x : a < x ≤ b};
3
podobnie definiujemy przedziały prawostronnie i obustronnie domkniete.
˛
Znamy operacje ∪, ∩, \.
wykład 1
Przedziały
Niech a; b ∈ R ∪ {±∞}
1
przedziałem obustronnie otwartym nazywamy zbiór (a; b) := {x : a < x < b};
2
jeżeli b 6= ∞ to przedziałem lewostronnie otwartym, prawostronnie
domknietym
˛
nazywamy zbiór (a; b] := {x : a < x ≤ b};
3
podobnie definiujemy przedziały prawostronnie i obustronnie domkniete.
˛
Znamy operacje ∪, ∩, \.
wykład 1
Para liczb
Definicja
Pare˛ liczb oznaczamy (a; b). Jest to zbiór dwuelementowy uporzadkowany,
˛
tzn.
taki w którym wskazujemy element pierwszy i drugi. Formalnie pare˛ (a; b)
definiujemy jako {a, {a, b}}
Przykład pary liczb - współrz˛edne geograficzne - (szerokość, długość)
wykład 1
Para liczb
Definicja
Pare˛ liczb oznaczamy (a; b). Jest to zbiór dwuelementowy uporzadkowany,
˛
tzn.
taki w którym wskazujemy element pierwszy i drugi. Formalnie pare˛ (a; b)
definiujemy jako {a, {a, b}}
Przykład pary liczb - współrz˛edne geograficzne - (szerokość, długość)
wykład 1
Iloczyn kartezjański
Definicja
Iloczynem Kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór par postaci
A × B = {(a; b) : a ∈ A; b ∈ B}.
Przykłady
Układ współrz˛ednych to R × R.
Siatka geograficzna walcowa to iloczyn kartezjański
(90◦ S, 90◦ N) × (180◦ W , 180◦ E).
Czytanie wykresów 2 wymiarowych
wykład 1
Iloczyn kartezjański
Definicja
Iloczynem Kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór par postaci
A × B = {(a; b) : a ∈ A; b ∈ B}.
Przykłady
Układ współrz˛ednych to R × R.
Siatka geograficzna walcowa to iloczyn kartezjański
(90◦ S, 90◦ N) × (180◦ W , 180◦ E).
Czytanie wykresów 2 wymiarowych
wykład 1
Iloczyn kartezjański
Definicja
Iloczynem Kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór par postaci
A × B = {(a; b) : a ∈ A; b ∈ B}.
Przykłady
Układ współrz˛ednych to R × R.
Siatka geograficzna walcowa to iloczyn kartezjański
(90◦ S, 90◦ N) × (180◦ W , 180◦ E).
Czytanie wykresów 2 wymiarowych
wykład 1
Iloczyn kartezjański
Definicja
Iloczynem Kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór par postaci
A × B = {(a; b) : a ∈ A; b ∈ B}.
Przykłady
Układ współrz˛ednych to R × R.
Siatka geograficzna walcowa to iloczyn kartezjański
(90◦ S, 90◦ N) × (180◦ W , 180◦ E).
Czytanie wykresów 2 wymiarowych
wykład 1
wykład 1
wykład 1
Dla pewnych zbiorów A i B rozważmy rożne podzbiory zbioru A × B.
Przykład
Niech A = [−1; 1] oraz B = [−2; 2]
1
D := {(x; x) : x ∈ [−1; 1]}
2
R := {(x; 12 x) : x ∈ [0; 1]}
3
P := {(x; x 2 ) : x ∈ [−1; 1]}
4
K := {(x; y ) : x 2 + y 2 = 1}.
Definicja
Podzbiór zbioru A × B nazywamy funkcja˛ jeżeli dla każdego x ∈ A istnieje
dokładnie jeden y ∈ B taki, że (x; y ) ∈ A × B.
O funkcji takiej powiemy, że jest określona na zbiorze A i ma wartości w zbiorze B.
wykład 1
Majac
˛ przepis funkcji możemy obliczyć jej dziedzine.
˛ Jest to maksymalny możliwy
zbiór na którym ma sens wzór. Funkcja może być jednak określona na mniejszym
zbiorze. Ograniczenie dziedziny cz˛esto wynika z jej interpretacji fizycznej.
Aby podać funkcje należy podać trzy elementy:
1
Dziedzine˛ (zbiór A)
2
Sposób przyporzadkowywania
˛
(wzór)
3
Zbiór do którego funkcja prowadzi (może być wiekszy
˛
niż zbiór wartości).
Zapis Funkcji:
f : A 3 x −→ f (x) ∈ B.
Przykład: CO2 = 3 ∗ kH ∗ 107−pH
wykład 1
Majac
˛ przepis funkcji możemy obliczyć jej dziedzine.
˛ Jest to maksymalny możliwy
zbiór na którym ma sens wzór. Funkcja może być jednak określona na mniejszym
zbiorze. Ograniczenie dziedziny cz˛esto wynika z jej interpretacji fizycznej.
Aby podać funkcje należy podać trzy elementy:
1
Dziedzine˛ (zbiór A)
2
Sposób przyporzadkowywania
˛
(wzór)
3
Zbiór do którego funkcja prowadzi (może być wiekszy
˛
niż zbiór wartości).
Zapis Funkcji:
f : A 3 x −→ f (x) ∈ B.
Przykład: CO2 = 3 ∗ kH ∗ 107−pH
wykład 1
Majac
˛ przepis funkcji możemy obliczyć jej dziedzine.
˛ Jest to maksymalny możliwy
zbiór na którym ma sens wzór. Funkcja może być jednak określona na mniejszym
zbiorze. Ograniczenie dziedziny cz˛esto wynika z jej interpretacji fizycznej.
Aby podać funkcje należy podać trzy elementy:
1
Dziedzine˛ (zbiór A)
2
Sposób przyporzadkowywania
˛
(wzór)
3
Zbiór do którego funkcja prowadzi (może być wiekszy
˛
niż zbiór wartości).
Zapis Funkcji:
f : A 3 x −→ f (x) ∈ B.
Przykład: CO2 = 3 ∗ kH ∗ 107−pH
wykład 1
Majac
˛ przepis funkcji możemy obliczyć jej dziedzine.
˛ Jest to maksymalny możliwy
zbiór na którym ma sens wzór. Funkcja może być jednak określona na mniejszym
zbiorze. Ograniczenie dziedziny cz˛esto wynika z jej interpretacji fizycznej.
Aby podać funkcje należy podać trzy elementy:
1
Dziedzine˛ (zbiór A)
2
Sposób przyporzadkowywania
˛
(wzór)
3
Zbiór do którego funkcja prowadzi (może być wiekszy
˛
niż zbiór wartości).
Zapis Funkcji:
f : A 3 x −→ f (x) ∈ B.
Przykład: CO2 = 3 ∗ kH ∗ 107−pH
wykład 1
Majac
˛ przepis funkcji możemy obliczyć jej dziedzine.
˛ Jest to maksymalny możliwy
zbiór na którym ma sens wzór. Funkcja może być jednak określona na mniejszym
zbiorze. Ograniczenie dziedziny cz˛esto wynika z jej interpretacji fizycznej.
Aby podać funkcje należy podać trzy elementy:
1
Dziedzine˛ (zbiór A)
2
Sposób przyporzadkowywania
˛
(wzór)
3
Zbiór do którego funkcja prowadzi (może być wiekszy
˛
niż zbiór wartości).
Zapis Funkcji:
f : A 3 x −→ f (x) ∈ B.
Przykład: CO2 = 3 ∗ kH ∗ 107−pH
wykład 1
Majac
˛ przepis funkcji możemy obliczyć jej dziedzine.
˛ Jest to maksymalny możliwy
zbiór na którym ma sens wzór. Funkcja może być jednak określona na mniejszym
zbiorze. Ograniczenie dziedziny cz˛esto wynika z jej interpretacji fizycznej.
Aby podać funkcje należy podać trzy elementy:
1
Dziedzine˛ (zbiór A)
2
Sposób przyporzadkowywania
˛
(wzór)
3
Zbiór do którego funkcja prowadzi (może być wiekszy
˛
niż zbiór wartości).
Zapis Funkcji:
f : A 3 x −→ f (x) ∈ B.
Przykład: CO2 = 3 ∗ kH ∗ 107−pH
wykład 1
Majac
˛ przepis funkcji możemy obliczyć jej dziedzine.
˛ Jest to maksymalny możliwy
zbiór na którym ma sens wzór. Funkcja może być jednak określona na mniejszym
zbiorze. Ograniczenie dziedziny cz˛esto wynika z jej interpretacji fizycznej.
Aby podać funkcje należy podać trzy elementy:
1
Dziedzine˛ (zbiór A)
2
Sposób przyporzadkowywania
˛
(wzór)
3
Zbiór do którego funkcja prowadzi (może być wiekszy
˛
niż zbiór wartości).
Zapis Funkcji:
f : A 3 x −→ f (x) ∈ B.
Przykład: CO2 = 3 ∗ kH ∗ 107−pH
wykład 1
Obraz i przeciwobraz zbioru
Definicja
Niech bedzie
˛
dana funkcja f : A 3 x −→ f (x) ∈ B oraz zbiory C ⊂ A, D ⊂ B.
1
Obrazem zbioru C poprzez funkcje˛ f nazywamy zbiór
{y ∈ B : istnieje x ∈ C : y = f (x)}. Obraz zbioru C poprzez funkcje˛ f
oznaczamy f (C).
2
Przeciwobrazem zbioru D poprzez funkcje˛ f nazywamy zbiór
{x ∈ A : f (x) ∈ D}. Przeciwobraz zbioru D poprzez funkcje˛ f oznaczamy
f −1 (D).
wykład 1
Przypomnijmy wzór na zawartość dwutlenku wegla
˛
w wodzie
CO2 = 3 ∗ kH ∗ 107−pH .
1
Przy założonej kwasowości pH = 7 oblicz jaka˛ uzyskamy zawartość
dwutlenku wegla
˛
przy twardości z przedziału (8◦ d, 11◦ d).
2
Przy założonej kwasowości pH = 7 oblicz jaka˛ uzyskamy twardość wiedzac,
˛
że zawartość CO2 jest z przedziału [15mg/l, 24mg/l].
3
4
Zakładajac
˛ twardość kH = 11◦ d oblicz jaka˛ uzyskamy zawartość dwutlenku
wegla
˛
dla odczynu wiekszego
˛
od 8pH.
Zakładajac
˛ twardość kH = 11◦ d oblicz jak należy obniżyć odczyn wody, aby
uzyskać zawartość dwutlenku wegla
˛
poniżej 20mg/l.
wykład 1
Przypomnijmy wzór na zawartość dwutlenku wegla
˛
w wodzie
CO2 = 3 ∗ kH ∗ 107−pH .
1
Przy założonej kwasowości pH = 7 oblicz jaka˛ uzyskamy zawartość
dwutlenku wegla
˛
przy twardości z przedziału (8◦ d, 11◦ d).
2
Przy założonej kwasowości pH = 7 oblicz jaka˛ uzyskamy twardość wiedzac,
˛
że zawartość CO2 jest z przedziału [15mg/l, 24mg/l].
3
4
Zakładajac
˛ twardość kH = 11◦ d oblicz jaka˛ uzyskamy zawartość dwutlenku
wegla
˛
dla odczynu wiekszego
˛
od 8pH.
Zakładajac
˛ twardość kH = 11◦ d oblicz jak należy obniżyć odczyn wody, aby
uzyskać zawartość dwutlenku wegla
˛
poniżej 20mg/l.
wykład 1
Przypomnijmy wzór na zawartość dwutlenku wegla
˛
w wodzie
CO2 = 3 ∗ kH ∗ 107−pH .
1
Przy założonej kwasowości pH = 7 oblicz jaka˛ uzyskamy zawartość
dwutlenku wegla
˛
przy twardości z przedziału (8◦ d, 11◦ d).
2
Przy założonej kwasowości pH = 7 oblicz jaka˛ uzyskamy twardość wiedzac,
˛
że zawartość CO2 jest z przedziału [15mg/l, 24mg/l].
3
4
Zakładajac
˛ twardość kH = 11◦ d oblicz jaka˛ uzyskamy zawartość dwutlenku
wegla
˛
dla odczynu wiekszego
˛
od 8pH.
Zakładajac
˛ twardość kH = 11◦ d oblicz jak należy obniżyć odczyn wody, aby
uzyskać zawartość dwutlenku wegla
˛
poniżej 20mg/l.
wykład 1
Przypomnijmy wzór na zawartość dwutlenku wegla
˛
w wodzie
CO2 = 3 ∗ kH ∗ 107−pH .
1
Przy założonej kwasowości pH = 7 oblicz jaka˛ uzyskamy zawartość
dwutlenku wegla
˛
przy twardości z przedziału (8◦ d, 11◦ d).
2
Przy założonej kwasowości pH = 7 oblicz jaka˛ uzyskamy twardość wiedzac,
˛
że zawartość CO2 jest z przedziału [15mg/l, 24mg/l].
3
4
Zakładajac
˛ twardość kH = 11◦ d oblicz jaka˛ uzyskamy zawartość dwutlenku
wegla
˛
dla odczynu wiekszego
˛
od 8pH.
Zakładajac
˛ twardość kH = 11◦ d oblicz jak należy obniżyć odczyn wody, aby
uzyskać zawartość dwutlenku wegla
˛
poniżej 20mg/l.
wykład 1
Przypomnijmy wzór na zawartość dwutlenku wegla
˛
w wodzie
CO2 = 3 ∗ kH ∗ 107−pH .
1
Przy założonej kwasowości pH = 7 oblicz jaka˛ uzyskamy zawartość
dwutlenku wegla
˛
przy twardości z przedziału (8◦ d, 11◦ d).
2
Przy założonej kwasowości pH = 7 oblicz jaka˛ uzyskamy twardość wiedzac,
˛
że zawartość CO2 jest z przedziału [15mg/l, 24mg/l].
3
4
Zakładajac
˛ twardość kH = 11◦ d oblicz jaka˛ uzyskamy zawartość dwutlenku
wegla
˛
dla odczynu wiekszego
˛
od 8pH.
Zakładajac
˛ twardość kH = 11◦ d oblicz jak należy obniżyć odczyn wody, aby
uzyskać zawartość dwutlenku wegla
˛
poniżej 20mg/l.
wykład 1
Znane funkcje
* Funkcja liniowa y = ax + b gdzie współczynnik kierunkowy a = tgα natomiast
b jest miejscem przeciecia
˛
osi OY .
* Funkcja potegowa
˛
f : R 3 x −→ x n ∈ R;
wzory
x −n = x1n ,
x n+m = x n x m ;
n
x n−m = xxm ;
(x n )m = x nm
* Funkcja pierwiastkowa
f : R+ ∪ {0} 3 x −→
√
n
x ∈ R+ ∪ {0};
dla n √
nieparzystych można brać za dziedzine˛ cały zbiór liczb rzeczywistych.
m
wzór n x m = x n .
wykład 1
Znane funkcje
* Funkcja liniowa y = ax + b gdzie współczynnik kierunkowy a = tgα natomiast
b jest miejscem przeciecia
˛
osi OY .
* Funkcja potegowa
˛
f : R 3 x −→ x n ∈ R;
wzory
x −n = x1n ,
x n+m = x n x m ;
n
x n−m = xxm ;
(x n )m = x nm
* Funkcja pierwiastkowa
f : R+ ∪ {0} 3 x −→
√
n
x ∈ R+ ∪ {0};
dla n √
nieparzystych można brać za dziedzine˛ cały zbiór liczb rzeczywistych.
m
wzór n x m = x n .
wykład 1
Znane funkcje
* Funkcja liniowa y = ax + b gdzie współczynnik kierunkowy a = tgα natomiast
b jest miejscem przeciecia
˛
osi OY .
* Funkcja potegowa
˛
f : R 3 x −→ x n ∈ R;
wzory
x −n = x1n ,
x n+m = x n x m ;
n
x n−m = xxm ;
(x n )m = x nm
* Funkcja pierwiastkowa
f : R+ ∪ {0} 3 x −→
√
n
x ∈ R+ ∪ {0};
dla n √
nieparzystych można brać za dziedzine˛ cały zbiór liczb rzeczywistych.
m
wzór n x m = x n .
wykład 1
Znane funkcje cd.
* Funkcja wielomianowa
f : R 3 x −→ an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ R;
w szczególności funkcja kwadratowa.
* Funkcje trygonometryczne
wykład 1
Znane funkcje cd.
* Funkcja wielomianowa
f : R 3 x −→ an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0 ∈ R;
w szczególności funkcja kwadratowa.
* Funkcje trygonometryczne
wykład 1
Funkcje logarytmiczna i wykładnicza
* Funkcja wykładnicza
f : R 3 x −→ ax ∈ R+ ;
jest określona dla a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞). Wzory potegowe.
˛
* Funkcja logarytmiczna
f : R+ 3 x −→ loga x ∈ R;
jest określona dla a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞). Wzory
1
2
3
4
loga b + loga c = loga bc,
loga b − loga c = loga bc ,
r loga b = loga br ,
log b
loga b = logc a .
c
wykład 1
Funkcje logarytmiczna i wykładnicza
* Funkcja wykładnicza
f : R 3 x −→ ax ∈ R+ ;
jest określona dla a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞). Wzory potegowe.
˛
* Funkcja logarytmiczna
f : R+ 3 x −→ loga x ∈ R;
jest określona dla a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞). Wzory
1
2
3
4
loga b + loga c = loga bc,
loga b − loga c = loga bc ,
r loga b = loga br ,
log b
loga b = logc a .
c
wykład 1
Funkcje logarytmiczna i wykładnicza
* Funkcja wykładnicza
f : R 3 x −→ ax ∈ R+ ;
jest określona dla a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞). Wzory potegowe.
˛
* Funkcja logarytmiczna
f : R+ 3 x −→ loga x ∈ R;
jest określona dla a ∈ (0, 1) ∪ (1, ∞). Wzory
1
2
3
4
loga b + loga c = loga bc,
loga b − loga c = loga bc ,
r loga b = loga br ,
log b
loga b = logc a .
c
wykład 1
Funkcje cyklometryczne
*
h π πi
arcsin : [−1, 1] 3 x −→ y ∈ − ,
2 2
gdzie y jest tak dobranym katem,
˛
aby sin y = x.
Np. arcsin 12 =?, ale skoro wiemy, że sin π6 = 12 to arcsin 21 = π6 .
*
arccos : [−1, 1] 3 x −→ y ∈ [0, π]
gdzie y jest tak dobranym katem,
˛
aby cos y = x.
*
π π
arctg : R 3 x −→ y ∈ − ,
2 2
gdzie y jest tak dobranym katem,
˛
aby tgy = x.
*
arcctg : R 3 x −→ y ∈ (0, π)
gdzie y jest tak dobranym katem,
˛
aby ctgy = x.
wykład 1
Funkcje cyklometryczne
*
h π πi
arcsin : [−1, 1] 3 x −→ y ∈ − ,
2 2
gdzie y jest tak dobranym katem,
˛
aby sin y = x.
Np. arcsin 12 =?, ale skoro wiemy, że sin π6 = 12 to arcsin 21 = π6 .
*
arccos : [−1, 1] 3 x −→ y ∈ [0, π]
gdzie y jest tak dobranym katem,
˛
aby cos y = x.
*
π π
arctg : R 3 x −→ y ∈ − ,
2 2
gdzie y jest tak dobranym katem,
˛
aby tgy = x.
*
arcctg : R 3 x −→ y ∈ (0, π)
gdzie y jest tak dobranym katem,
˛
aby ctgy = x.
wykład 1
Funkcje cyklometryczne
*
h π πi
arcsin : [−1, 1] 3 x −→ y ∈ − ,
2 2
gdzie y jest tak dobranym katem,
˛
aby sin y = x.
Np. arcsin 12 =?, ale skoro wiemy, że sin π6 = 12 to arcsin 21 = π6 .
*
arccos : [−1, 1] 3 x −→ y ∈ [0, π]
gdzie y jest tak dobranym katem,
˛
aby cos y = x.
*
π π
arctg : R 3 x −→ y ∈ − ,
2 2
gdzie y jest tak dobranym katem,
˛
aby tgy = x.
*
arcctg : R 3 x −→ y ∈ (0, π)
gdzie y jest tak dobranym katem,
˛
aby ctgy = x.
wykład 1
Funkcje cyklometryczne
*
h π πi
arcsin : [−1, 1] 3 x −→ y ∈ − ,
2 2
gdzie y jest tak dobranym katem,
˛
aby sin y = x.
Np. arcsin 12 =?, ale skoro wiemy, że sin π6 = 12 to arcsin 21 = π6 .
*
arccos : [−1, 1] 3 x −→ y ∈ [0, π]
gdzie y jest tak dobranym katem,
˛
aby cos y = x.
*
π π
arctg : R 3 x −→ y ∈ − ,
2 2
gdzie y jest tak dobranym katem,
˛
aby tgy = x.
*
arcctg : R 3 x −→ y ∈ (0, π)
gdzie y jest tak dobranym katem,
˛
aby ctgy = x.
wykład 1
Funkcje cyklometryczne
*
h π πi
arcsin : [−1, 1] 3 x −→ y ∈ − ,
2 2
gdzie y jest tak dobranym katem,
˛
aby sin y = x.
Np. arcsin 12 =?, ale skoro wiemy, że sin π6 = 12 to arcsin 21 = π6 .
*
arccos : [−1, 1] 3 x −→ y ∈ [0, π]
gdzie y jest tak dobranym katem,
˛
aby cos y = x.
*
π π
arctg : R 3 x −→ y ∈ − ,
2 2
gdzie y jest tak dobranym katem,
˛
aby tgy = x.
*
arcctg : R 3 x −→ y ∈ (0, π)
gdzie y jest tak dobranym katem,
˛
aby ctgy = x.
wykład 1
Przykłady
Niech f : R 3 x −→ x 2 ∈ R2
1
f (0, 2) = (0, 4),
2
f [−1, 0) = (0, 1] ,
3
f (−1, 2) = [0, 4) .
4
f −1 (0, 4) = (−2, 0) ∪ (0, 2),
5
f −1 (0, 1] = [−1, 0) ∪ (0, 1] ,
6
f −1 [0, 4) = (−2, 2)
wykład 1
Wzajemna jednoznaczność
Definicja
Funkcje˛ f : A −→ f (x) ∈ B nazywamy różnowartościowa˛ (lub injekcja)
˛ jeżeli dla
każdych dwóch różnych elementów x1 , x2 ∈ D wartości f (x1 ), f (x2 ) również nie sa˛
sobie równe.
Definicja
Funkcje˛ f : A −→ f (x) ∈ B nazywamy ”na” (lub surjekcja˛ ) jeżeli dla każdego y ∈ B
istnieje co najmniej jeden x ∈ A taki, że y = f (x).
Definicja
Funkcje˛ nazywamy wzajemnie jednoznaczna˛ ( lub bijekcja)
˛ jeżeli jest
różnowartościowa i jest funkcja˛ ”na”.
wykład 1
Wzajemna jednoznaczność
Definicja
Funkcje˛ f : A −→ f (x) ∈ B nazywamy różnowartościowa˛ (lub injekcja)
˛ jeżeli dla
każdych dwóch różnych elementów x1 , x2 ∈ D wartości f (x1 ), f (x2 ) również nie sa˛
sobie równe.
Definicja
Funkcje˛ f : A −→ f (x) ∈ B nazywamy ”na” (lub surjekcja˛ ) jeżeli dla każdego y ∈ B
istnieje co najmniej jeden x ∈ A taki, że y = f (x).
Definicja
Funkcje˛ nazywamy wzajemnie jednoznaczna˛ ( lub bijekcja)
˛ jeżeli jest
różnowartościowa i jest funkcja˛ ”na”.
wykład 1
Wzajemna jednoznaczność
Definicja
Funkcje˛ f : A −→ f (x) ∈ B nazywamy różnowartościowa˛ (lub injekcja)
˛ jeżeli dla
każdych dwóch różnych elementów x1 , x2 ∈ D wartości f (x1 ), f (x2 ) również nie sa˛
sobie równe.
Definicja
Funkcje˛ f : A −→ f (x) ∈ B nazywamy ”na” (lub surjekcja˛ ) jeżeli dla każdego y ∈ B
istnieje co najmniej jeden x ∈ A taki, że y = f (x).
Definicja
Funkcje˛ nazywamy wzajemnie jednoznaczna˛ ( lub bijekcja)
˛ jeżeli jest
różnowartościowa i jest funkcja˛ ”na”.
wykład 1
Przykłady
1
f : R+ 3 x −→ x 2 ∈ R+ jest funkcja˛ wzajemnie jednoznaczna,
˛
2
f : R 3 x −→ x 2 ∈ R+ jest ”na” ale nie jest różnowartościowa,
3
f : R+ 3 x −→ x 2 ∈ R jest różnowartościowa, ale nie jest ”na”,
4
f : R 3 x −→ x 2 ∈ R nie jest ani różnowartościowa ani ”na”.
wykład 1
Odwracalność
Definicja
Niech A bedzie
˛
zbiorem. Identycznościa˛ (lub funkcja˛ identycznościowa)
˛ na
zbiorze A nazywamy funkcje˛
IA : A 3 x −→ x ∈ A.
Definicja
Niech bed
˛ a˛ dane funkcje
f : A 3 x −→ f (x) ∈ B,
g : C 3 y −→ g(y ) ∈ D.
Jeżeli obraz f (A) ⊂ C ( np. gdy B ⊂ C ) to możemy określić złożenie funkcji f z g
jako funkcje˛ A 3 x −→ g(f (x)) ∈ D. Złożenie takie oznaczamy symbolem f ◦ g.
wykład 1
Odwracalność
Definicja
Niech A bedzie
˛
zbiorem. Identycznościa˛ (lub funkcja˛ identycznościowa)
˛ na
zbiorze A nazywamy funkcje˛
IA : A 3 x −→ x ∈ A.
Definicja
Niech bed
˛ a˛ dane funkcje
f : A 3 x −→ f (x) ∈ B,
g : C 3 y −→ g(y ) ∈ D.
Jeżeli obraz f (A) ⊂ C ( np. gdy B ⊂ C ) to możemy określić złożenie funkcji f z g
jako funkcje˛ A 3 x −→ g(f (x)) ∈ D. Złożenie takie oznaczamy symbolem f ◦ g.
wykład 1
Odwracalność cd.
Definicja
Niech bedzie
˛
dana funkcja f : A 3 x −→ f (x) ∈ B. Jeżeli istnieje funkcja
g : B 3 y −→ g(y ) ∈ A taka, że f ◦ g = IA oraz g ◦ f = IB to nazywamy ja˛ funkcja˛
odwrotna˛ do f a sama˛ funkcje˛ f nazywamy odwracalna.
˛ Funkcje˛ odwrotna˛
oznaczamy f −1 .
Uwaga
Z definicji powyższej wynika, że jeżeli g jest funkcja˛ odwrotna˛ do f to f jest funkcja˛
odwrotna˛ do g.
Twierdzenie
Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy jest wzajemnie jednoznaczna.
wykład 1
Odwracalność cd.
Definicja
Niech bedzie
˛
dana funkcja f : A 3 x −→ f (x) ∈ B. Jeżeli istnieje funkcja
g : B 3 y −→ g(y ) ∈ A taka, że f ◦ g = IA oraz g ◦ f = IB to nazywamy ja˛ funkcja˛
odwrotna˛ do f a sama˛ funkcje˛ f nazywamy odwracalna.
˛ Funkcje˛ odwrotna˛
oznaczamy f −1 .
Uwaga
Z definicji powyższej wynika, że jeżeli g jest funkcja˛ odwrotna˛ do f to f jest funkcja˛
odwrotna˛ do g.
Twierdzenie
Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy jest wzajemnie jednoznaczna.
wykład 1
Odwracalność cd.
Definicja
Niech bedzie
˛
dana funkcja f : A 3 x −→ f (x) ∈ B. Jeżeli istnieje funkcja
g : B 3 y −→ g(y ) ∈ A taka, że f ◦ g = IA oraz g ◦ f = IB to nazywamy ja˛ funkcja˛
odwrotna˛ do f a sama˛ funkcje˛ f nazywamy odwracalna.
˛ Funkcje˛ odwrotna˛
oznaczamy f −1 .
Uwaga
Z definicji powyższej wynika, że jeżeli g jest funkcja˛ odwrotna˛ do f to f jest funkcja˛
odwrotna˛ do g.
Twierdzenie
Funkcja jest odwracalna wtedy i tylko wtedy gdy jest wzajemnie jednoznaczna.
wykład 1
Monotoniczność funkcji
Definicja
Funkcje˛ f : D 3 x −→ B ⊂ R nazywamy:
1
silnie rosnac
˛ a˛ jeżeli dla każdych x1 , x2 ∈ D jeżeli x1 < x2 to f (x1 ) < f (x2 ),
2
silnie malejac
˛ a˛ jeżeli dla każdych x1 , x2 ∈ D jeżeli x1 < x2 to f (x1 ) > f (x2 ),
3
rosnaca
˛ jeżeli dla każdych x1 , x2 ∈ D jeżeli x1 < x2 to f (x1 ) ≤ f (x2 ),
4
malejaca
˛ jeżeli dla każdych x1 , x2 ∈ D jeżeli x1 < x2 to f (x1 ) ≥ f (x2 ),
5
w pozostałych przypadkach funkcje˛ nazywamy nie monotoniczna.
˛
Twierdzenie
Funkcja silnie monotoniczna jest różnowartościowa.
wykład 1