c iąg geometryczny to ciąg liczbowy, w którym pomiędzy dowolnym

C IĄG GEOMETRYCZNY TO CIĄG LICZBOWY, W KTÓRYM POMIĘDZY DOWOLNYM
WYRAZEM CIĄGU A WYRAZEM BEZPOŚREDNIO GO POPRZEDZAJĄCYM WYSTĘPUJE STAŁY
ILORAZ q q =
MONOTONICZNOŚĆ CIĄGU GEOMETRYCZNEGO
CIĄG GEOMETRYCZNY
ROŚNIE, GDY:
CIĄG GEOMETRYCZNY
MALEJE, GDY:
WZORY:
Wyraz ogólny:
n-liczba wyrazów ciągu
Suma n początkowych wyrazów ciągu:
Jeżeli trzy liczby
warunek:
Przykłady zadań
w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny, to zachodzi
Zad.1 Wyznacz ciąg geometryczny mając dane:
i
Aby wyznaczyć ciąg geometryczny należy znaleźć jego pierwszy wyraz oraz iloraz albo podać wzór na
ogólny wyraz ciągu.
I sposób:
II sposób:
Dzielę stronami:
Odp.
Chcąc podać wzór na wyraz ogólny:
stąd
Zad.2. Znajdź iloraz ciągu geometrycznego
, w którym:
po dodaniu stronami
po podstawieniu danych:
Odp. Iloraz ciągu
.
stąd
lub
Zad.3 Sprawdź, czy podany ciąg jest geometryczny
Aby ciąg był geometryczny, musi występować stały iloraz q
a) a)
c) b)
b)
d)
=
e) q=
q=
=
Odp. Ciąg
nie jest geometryczny (ponieważ q nie Odp. Ciąg
jest geometryczny (ponieważ q jest
jest stałe - jest zależne od n)
stałe – nie jest zależne od n)
f) Zad.4 Suma n początkowych wyrazów Zad.5 Oblicz:
ciągu geometrycznego określona jest Zauważ, że dodawane są kolejne wyrazy ciągu
;
i
wzorem
.
Wyznacz geometrycznego, w którym:
.
Aby
wyliczyć
liczbę
dodawanych
pierwszy wyraz i iloraz ciągu.
wyrazów (n):
g)
h)
i)
j)
k)
stąd
l) Odp.
Odp. Wartość podanej sumy wynosi 2047.
i wpisz takie, różne
m) Zad.6 Między liczby 3 i wstaw trzy liczby Zad.7 Między liczby
od zera dwie liczby, aby wraz z danymi w
tak, aby otrzymać ciąg geometryczny.
kolejności
tworzyły
ciąg
n) Zauważ, że:
Szukasz więc podanej
geometryczny.
wyrazów
Oznaczmy jako x i y liczby, które należy wpisać, aby
Aby znaleźć iloraz q korzystasz ze związku: wraz z danymi liczbami utworzyły ciąg geometryczny
, x , y,
zał.
stąd
Korzystasz z zależności między trzema kolejnymi
wyrazami ciągu geometrycznego (patrz wzory)
Aby pozbyć się pierwiastka podnosisz
pierwsze równanie do kwadratu
stąd
=0
Odp. Pomiędzy podane liczby należy wstawić w
podanej kolejności: 2,
albo -2,
.
odpada, bo
(
)
Odp. Pomiędzy podane liczby należy wstawić: 2 i
Zad.8 Pewna firma wyprodukowała w pierwszym roku 200 telewizorów. W każdym
następnym roku zwiększała produkcje o 10%. Podaj, z dokładnością do całości, ile
telewizorów wyprodukowała ta firma w ciągu kolejnych 4 lat.
Oznaczmy:
x - liczba telewizorów wyprodukowanych w pierwszym roku,
liczba telewizorów wyprodukowanych w drugim roku: x + 10%x = 110%x = 1,1x
liczba telewizorów wyprodukowanych w trzecim roku: 1,1x + 10%
x = 1,1x + 11x = 12,1x =
liczba telewizorów wyprodukowana w ciągu 4 kolejnych lat, to suma czterech wyrazów naszego ciągu
Odp. W ciągu czterech lat firma wyprodukowała 928 telewizorów.
Zad.9 Kwadraty nie maja punktów wspólnych. Długości boków tych pięciu kwadratów
tworzą ciąg geometryczny o ilorazie 0,1. Długość boku największego z tych kwadratów jest
równa 2. Oblicz sumę pól tych kwadratów.
Najdłuższy bok kwadratu ma długość
Zauważ, że pola kwadratów tworzą ciąg geometryczny o ilorazie
i
Suma pól to suma wyrazów tego ciągu:
Odp. Suma pól kwadratów wynosi
Zad.10 Wyznacz pierwszy wyraz oraz określ
monotoniczność ciągu geometrycznego o
ilorazie
wiedząc, że suma jego pięciu
początkowych wyrazów jest równa
Zad.11 Balon wzniósł się w pierwszej
minucie na wysokość 8 m, a w każdej
następnej minucie wznosił się 2 razy
wolniej niż w poprzedniej. Po jakim czasie
balon osiągnie wysokość 15 m?
,
więc
więc
stąd
Odp.
ponieważ
,
stąd
Odp. Balon wzniesie się na wysokość 15 m po 4
Ciąg geometryczny jest rosnący,
minutach.
.