Studia dzienne magisterskie, zajęcia nr 2 Teoria Zadania

Studia dzienne magisterskie, zajęcia nr 2
Teoria
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa; Prawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo całkowite; Wzór Bayesa;
warunkowe;
Niezależność
zdarzeń;
Zadania
Zad1 W partii 10 aparatów mamy 4 aparaty wadliwe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że z dwóch
wylosowanych aparatów jeden jest wadliwy i drugi dobry.
Zad2 Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany punkt kwadratu |x|<3 |y|<3 leży w kole x2+x2=4.
Zad3 Z tali kart brydżowych wyciągnięto 1 kartę. Obliczyć prawdopodobieństwo, że jest to walet lub 9 lub As.
Zad4 W dwóch urnach znajdują się kule białe i czarne. W pierwszej urnie jest pięć kul białych i trzy czarne, a w
drugiej jest sześć kul białych i dwie czarne. Z losowo wybranej urny losujemy jedną kulę. Obliczyć
prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że będzie to kula czarna.
Zad5 Mamy dwie urny, w jednej z nich są dwie kule białe i osiem czarnych, a w drugiej jest osiem białych i trzy
czarne. Z losowo wybranej urny wybieramy jedną kulę.
a) oblicz prawdopodobieństwo, że wyciągniemy kulę białą
b) oblicz prawdopodobieństwo, że losowano z pierwszej urny, jeżeli otrzymano kulę białą
Zad6 Rzucamy dwiema symetrycznymi kostkami do gry. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wyrzuceniu
parzystej liczby oczek na pierwszej kostce, B zdarzenie polegające na wyrzuceniu nieparzystej liczby oczek na
drugiej kostce, C parzystej liczby oczek na obydwu kostkach. Czy zdarzenia A, B, C są niezależne?
Zad7 W windzie jest 7 pasażerów nikt nie wsiada, winda zatrzymuje się na 10 piętrach. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że żadnych dwóch pasażerów nie wysiądzie na jednym piętrze.
Zad8 Obliczyć prawdopodobieństwo, że wybrana liczba naturalna jest podzielna przez 2 lub przez 5.
Zad9 Strzelec A trafia do tarczy osiem razy na dziesięć strzałów, a strzelec B trafia dziewięć razy na dziesięć
strzałów. Sędzia rzuca dwiema symetrycznymi monetami, jeżeli wypadnie co najmniej jeden orzeł, to strzela
strzelec A, a jeżeli będzie miało miejsce zdarzenie przeciwne do wymienionego, to strzela strzelec B. Oblicz
prawdopodobieństwo trafienia do tarczy.
Zad10 W kwadrat wpisano koło, w koło wpisano trójkąt równoboczny. Obliczyć prawdopodobieństwo, że
wybrany losowo punkt kwadratu jest punktem trójkąta.
Zad11 W magazynie znajdują się elementy z fabryki 1 i 2. Elementy są klasyfikowane jako dobre i wadliwe.
Niech A- zdarzenie, że wylosowany element jest dobry, B- zdarzenie, że wylosowany element pochodzi z
fabryki 1. Liczby odpowiadające prawdopodobieństwom odpowiednich stanów zamieszczone są w poniżej
tabelce.
B
B’
A
d
b
A’
c
a
Obliczyć P(A∩B), P(A∩B’), P(A’∩B), P(A’∩B’), P(A), P(B), P(A’), P(B’), P(A/B), P(A/B’), P(A’/B),
P(A’/B’)
Zad12 W grupie 40 studentów, 10 zna 90% odpowiedzi na pytania egzaminacyjne z obowiązujących 3 działów,
14 zna 70%, 8 zna 60% i 8 zna 50%. Na egzaminie student z tej grupy odpowiedział poprawnie na 2 pytania z 2
działów i na 3 pytanie z 3 działu nie odpowiedział. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dany student nauczył się
90%, 70%, 60%, 50% materiału.
Zad13 Pani X i pani Y idąc z domu do biura mają do przebycia pewien wspólny odcinek drogi A-B z tym, że w
przeciwnych kierunkach. A-B dla X, B-A dla Y.
Pani X przybywa do punktu B (Y do A) w przypadkowym momencie czasu między godziną 7.30-7.45 i idzie ze
stała prędkością. Każda z pań przebywa odcinek w ciągu 5min. Obliczyć prawdopodobieństwo spotkania.
Zad14 Kanałem łączności nadaje się tylko 3 rodzaje sygnałów: AAAA, BBBB, CCCC, odpowiednio z
prawdopodobieństwem 0.4, 0.3, 0.3. Sygnały te podlegają niezależnie losowym zakłóceniom, w rezultacie czego
np. litera A może być odebrana jako B lub C. Prawdopodobieństwo poprawnego przesłania lub przekłamania są
w tablicy:
sygnały
nadane
A
B
C
sygnały odebrane
A
B
C
0.8 0.1
0.1
0.1 0.8
0.1
0.1 0.1
0.8
a) znaleźć prawdopodobieństwo odebrania na wyjściu sygnału CCCC
b) na wyjściu odebrano sygnał ACBA, obliczyć prawdopodobieństwo, że został nadany jako AAAA
Zad15 W zbiorze stu monet jedna ma po obu stronach orły, pozostałe są prawidłowe. W wyniku pięciu rzutów
losowo wybraną monetą otrzymaliśmy pięć orłów. Oblicz prawdopodobieństwo, że była to moneta z orłami po
obu stronach.
Zad16 Bierzemy pod uwagę małżeństwo mieszkające w pewnym miasteczku. Prawdopodobieństwo tego, że
małżonek weźmie udział w wyborach lokalnych jest równe 0.21, prawdopodobieństwo głosowania małżonki
0.28. Prawdopodobieństwo tego, że oboje wezmą udział w głosowaniu wynosi 0.15. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że małżonek będzie głosował pod warunkiem, że jego żona weźmie udział w głosowaniu.
Zad17 Obliczyć prawdopodobieństwo, że grający w totolotka jednym kuponem otrzyma nagrodę I stopnia.
Zad18 Rynek jest zaopatrzony w ten sam towar przez trzy fabryki. Pierwsza zaopatruje rynek w 50%, druga w
30%. Średni procent braków w produkcji pierwszej fabryki wynosi 3%, drugiej 4%, a trzeciej 5%. Kupiona
sztuka towaru okazała się brakiem. Obliczyć prawdopodobieństwo, że pochodzi ona z drugiej fabryki. Z której
fabryki jest najbardziej prawdopodobny zakup tego towaru?
Dodatkowe:
Zad19 Obliczyć prawdopodobieństwo, że element wylosowany z partii elementów wyprodukowanych w danej
fabryce jest I gatunku, jeżeli wiadomo, że 5% całej produkcji to elementy wadliwe, a 80% elementów
niewybrakowanych jest I gatunku.
Zad20 Dane są 4 koła koncentryczne o promieniach 1, 2, 3, 4. Niech zdarzenie An oznacza trafienie w koło o
promieniu n=1, 2, 3, 4. Zakłada się, że P(An)=1. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzeń:
a) B=A1∩A2
b) C=A2∩A3
c) D=A1’