Prawdopodobieństwo warunkowe

Prawdopodobieństwo warunkowe
Adam Gregosiewicz
Zadanie 1. Wiadomo, że P(A) = 0.9 oraz P(B) = 0.8. Wykazać, że P(A|B) ­ 0.875.
Zadanie 2. Wybierzmy losowo pewną rodzinę z dwójką dzieci. Obliczyć prawdopodobieństwo, że jest
to rodzina z dwoma synami, jeżeli
a) starsze dziecko jest chłopcem,
b) co najmniej jedno z dzieci jest chłopcem.
Zadanie 3. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przy rzucie trzema kostkami do gry nie wypadła żadna
szóstka, jeżeli wiadomo, że na każdej kostce wypadła inna liczba oczek.
Zadanie 4. Gracz dostał 13 kart z pełnej talii 52 kart. Po obejrzeniu 8 swoich kart stwierdził, że nie
ma żadnego asa. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ten gracz nie posiada asa wśród wszystkich swoich
kart?
Zadanie 5. Wśród n monet jest k monet asymetrycznych, na których orzeł wypada z prawdopodobieństwem 13 . Wybrano losowo jedną z monet i wyniku rzutu wypadł orzeł. Jaka jest szansa, że
wylosowano monetę asymetryczną?
Zadanie 6. W kasynie stoją dwa, identyczne z wyglądu, automaty do gry. W jednym z nich można
wygrać z prawdopodobieństwem 12 , a w drugim z prawdopodobieństwem 41 . Obliczyć
a) prawdopodobieństwo wygranej, jeżeli automat wybraliśmy losowo,
b) prawdopodobieństwo, że wybraliśmy pierwszy automat, jeżeli wygraliśmy.
Zadanie 7. Z talii 8 kart (4 asy i 4 króle) wybrano losowo 2 karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
wylosowaliśmy 2 króle, jeżeli
a) wybrano co najmniej 1 króla,
b) wśród wybranych kart jest czerwony król,
c) wśród wybranych kart jest król pik.
Zadanie 8. W zbiorze 100 monet jedna ma po obu stronach orła, a pozostałe są prawidłowe. W wyniku
10 rzutów losowo wybraną monetą otrzymaliśmy 10 orłów. Obliczyć prawdopodobieństwo, że była to
moneta fałszywa.
Zadanie 9. W urnie X znajduje się jedna kula biała i jedna czerwona, natomiast w urnie Y dwie
białe i trzy czerwone. Z urny X wylosowano kulę i przełożona ją do urny Y , a następnie wylosowano
kulę z urny Y . Obliczyć prawdopodobieństwo, że
a) obie kule były tego samego koloru,
b) z urny Y wylosowano kulę białą.
1
Zadanie 10. Test na pewną rzadką chorobę (choruje na nią 1000
ludzi) daje w przypadku osoby
zdrowej 95% wyników negatywnych. U osób chorych test daje w 100% wynik pozytywny. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że osoba, u której test dał wynik pozytywny jest chora.
Zadanie 11. Jedna partia wyrobów zawiera 12 sztuk, a druga - 10, przy czym w każdej z nich
znajduje się po jednym wyrobie wybrakowanym. Losowo wybrany wyrób z pierwszej partii przełożono
do drugiej, po czym wylosowano z drugiej partii jeden wyrób. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie
on wybrakowany?
Zadanie 12. W urnie znajduje się 6 kul białych i 3 czarne. Z urny wylosowano jedną kulę i odłożono
na bok, nie oglądając jej. Następnie wylosowano dwie kule. Obliczyć prawdopodobieństwo, że obie kule
są białe.
1
2
Zadanie 13. Z urny zawierającej 3 kule białe i 7 czarnych, losujemy jedną kulę i bez sprawdzania koloru
wkładamy ją do drugiej urny, zawierającej 4 kule białe i 5 kul czarnych. Obliczyć prawdopodobieństwo,
że kula wylosowana teraz z drugiej urny będzie biała.
Zadanie 14. Rzucamy kostkę aż do momentu otrzymania jednego oczka. Jakie jest prawdopodobieństwo, że będzie potrzeba co najmniej 4 rzutów, jeżeli wiadomo, że w pierwszym rzucie nie otrzymaliśmy
jednego oczka?
Zadanie 15. Na stu mężczyzn pięciu, zaś na tysiąc kobiet dwie nie rozróżniają kolorów. Z grupy,
w której stosunek liczby mężczyzn do liczby kobiet wynosi 37 wybrano losowo jedną osobę. Obliczyć
prawdopodobieństwo, że jest to mężczyzna, jeżeli wiadomo, że osoba ta nie rozróżnia kolorów.
Zadanie 16. Rozważmy dwie metody leczenia pewnej choroby, które testowano na czterech grupach
osób. Metodę A stosowano u grupy 1 i 2, natomiast metodę B u grupy 3 i 4. Czy może się zdarzyć
sytuacja, że metoda B daje lepsze wyniki, jeżeli metoda A daje lepsze wyniki u grupy 1 niż metoda B
u grupy 3 oraz metoda A daje lepsze wyniki u grupy 2 niż metoda B u grupy 4?
Zadanie 17. Wiadomo, że P(A|B) = P(A|B c ) = 31 . Obliczyć P(A).
Zadanie 18. Wiadomo, że P(A ∪ B) = 34 , P(A ∩ B) =
Zadanie 19. Wykazać, że
P(A|B) ­ 1 −
1
2
oraz P(Ac ) = 13 . Obliczyć P(A|B) i P(B|A).
P(Ac )
.
P(B)
(ag)