KARTA KURSU

KARTA KURSU
Nazwa
Analiza zespolona
Nazwa w j. ang.
Complex Analysis
Kod
Koordynator
Punktacja ECTS*
Prof. dr hab. M. C. Zdun
5
ZESPÓŁ DYDAKTYCZNY
dr J. Szczawińska
Opis kursu (cele kształcenia)
Celem kursu jest zapoznanie studenta z podstawowymi pojęciami i twierdzeniami analizy zespolonej oraz
możliwością ich zastosowania do rozwiązywania pewnych problemów analizy matematycznej.
Warunki wstępne
Wiedza
Umiejętności
Kursy
Zna podstawowe definicje i twierdzenia rachunku różniczkowego i całkowego funkcji
jednej i wielu zmiennych. Opanował definicje i kryteria zbieżności szeregów
liczbowych, funkcyjnych ze szczególnym uwzględnieniem szeregów potęgowych.
Rozumie pojęcie przestrzeni wektorowej i odwzorowania liniowego. Posiada
podstawową wiedzę z zakresu topologii (przestrzenie metryczne, unormowane,
odwzorowania ciągłe).
Potrafi obliczać pochodne funkcji jednej i wielu zmiennych. Oblicza całki nieoznaczone
i oznaczone stosując twierdzenie o podstawianiu lub zamianie zmiennych. Potrafi
dobrać i zastosować odpowiednie kryterium do badania zbieżności, zbieżności
bezwzględnej i warunkowej szerów liczbowych. Korzysta z kryteriów zbieżności dla
szeregów funkcyjnych i potęgowych. Posługuje się metodami algebry liniowej
(działania w przestrzeniach liniowych).
Potrafi obliczać granice funkcji i ciągów w przestrzeniach metrycznych.
Analiza matematyczna 1, Algebra liniowa, Wstęp do topologii
Efekty kształcenia
Wiedza
Efekt kształcenia dla kursu
Odniesienie do efektów
kierunkowych
1
W01 zna podstawowe definicje i twierdzenia dotyczące
ciała liczb zespolonych oraz topologii przestrzeni liczb
zespolonych, opanował kryteria zbieżności zespolonych
szeregów liczbowych i potęgowych
W01, W05
W02 definiuje pochodną zespoloną, zna jej własności
oraz warunki istnienia, rozumie pojęcie funkcji
analitycznej i holomorficznej oraz związek między nimi
W01,W04
W03 opanował pojęcie całki krzywoliniowej skierowanej i
nieskierowanej oraz niezależności całki od drogi
całkowania, zna całkowe twierdzenie Cauchy’ego oraz
jego zastosowania
W04
W04 wie czym jest punkt osobliwy izolowany, wykazuje
się znajomością twierdzeń charakteryzacyjnych dla
punktów osobliwych
W04
Efekt kształcenia dla kursu
Odniesienie do efektów
kierunkowych
U01 posługuje się twierdzeniami dotyczącymi przestrzeni U01, U02, U05, U14
metrycznych przy obliczaniu granic ciągów i funkcji
zespolonych oraz badaniu ich ciągłości, korzysta z
kryteriów przy badaniu zbieżności zespolonych szeregów
liczbowych i potęgowych
Umiejętności
Kompetencje
społeczne
U02 potrafi zastosować metody rachunku różniczkowego U01, U02, U04, U05,
funkcji jednej i wielu zmiennych do badania
U14
różniczkowalności i obliczania pochodnych funkcji
zespolonych, potrafi obliczać całki skierowane i
niekierowane przy pomocy całki Riemanna z funkcji
zespolonej, rozumie pojęcie niezależności całki od drogi
całkowania, wykorzystuje twierdzenie Cauchy’ego i wzór
całkowy Cauchy’ego do obliczania całek krzywoliniowych
U03 określa rodzaj osobliwości punktów osobliwych
izolowanych stosując rozwinięcia funkcji w szereg
Laurenta oraz poznane twierdzenia
U01, U02, U05
U04 zna przykłady ilustrujące zarówno powyższe pojęcia
matematyczne, jak i istotność założeń podstawowych
twierdzeń
U01, U02
Efekt kształcenia dla kursu
Odniesienie do efektów
kierunkowych
2
K01 potrafi samodzielnie wyszukiwać informacje w
literaturze
K06
Organizacja
Forma zajęć
Liczba godzin
Ćwiczenia w grupach
Wykład
(W)
A
30
K
L
S
P
E
30
Opis metod prowadzenia zajęć
Wykład, ćwiczenia, zadania domowe, konsultacje
W01
W02
W03
W04
U01
U02
U03
U04
K01
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
Inne
Egzamin
pisemny
Egzamin ustny
Praca pisemna
(kolokwium)
Referat
Udział w
dyskusji
Projekt
grupowy
Projekt
indywidualny
Praca
laboratoryjna
Zajęcia
terenowe
Ćwiczenia w
szkole
Gry
dydaktyczne
E – learning
Formy sprawdzania efektów kształcenia
x
x
x
x
x
x
x
x
3
Ocena z ćwiczeń na podstawie wyników prac pisemnych i odpowiedzi ustnych.
Kryteria oceny
Warunkiem przystąpienia do egzaminu jest uzyskanie zaliczenia z wykładu i ćwiczeń.
Uwagi
Treści merytoryczne (wykaz tematów)
1. Ciało liczb zespolonych, własności topologiczne przestrzeni liczb zespolonych.
2. Szeregi potęgowe. Lemat Abela. Twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda. Funkcje holomorficzne.
Pierścień funkcji holomorficznych. Funkcje całkowite, holomorficzność sumy szeregu potęgowego.
3. Pochodna zespolona. Równania Cauchy'ego Riemanna. Funkcje analityczne. Twierdzenie
Weierstrassa o analityczności szeregu potęgowego.
4. Całka krzywoliniowa skierowana i nieskierowana. Twierdzenie całkowe Cauchy'ego, wzór całkowy
Cauchy'ego (dla koła). Holomorficzność funkcji analitycznej, istnienie pochodnych wszystkich
rzędów. Nierówności Cauchy'ego. Twierdzenie Liouville'a. Podstawowe twierdzenie algebry.
5. Zera funkcji holomorficznej. Zasada identyczności dla funkcji holomorficznych, zasada maksimum.
Twierdzenie Morery.
6. Szereg Laurenta. Punkt regularny, izolowany punkt osobliwy. Punkt pozornie osobliwy, biegun,
punkt istotnie osobliwy, przykłady. Charakteryzacja punktów pozornie osobliwych. Twierdzenie
Riemanna o osobliwości. Charakteryzacja biegunów. Twierdzenie Casoratiego-WeierstrassaSochockiego.
7. Indeks punktu. Residuum, twierdzenie o residuach, zastosowanie twierdzenia o residuach dla
niewłaściwej całki rzeczywistej.
Wykaz literatury podstawowej
1. J. E. Marsden, M. J. Hoffman, Basic Complex Analysis, W. H. Freeman, New York 1999.
2. J. Bak, D. J. Newmann, Complex analysis, UTM, Springer, 1996.
3. F. Leja, Funkcje zespolone, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2006.
4. A. Ganczar, Analiza zespolona w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe, PWN, Warszawa 2010.
Wykaz literatury uzupełniającej
1. B. Brückel, An intoduction to Classical Complex Analysis, Vol. 1, Birkhäuser, Basel 1979.
2. J. B. Conway, Functions of One Complex Variable, GMT, Springer, New York 1978.
3. R. Narasimhan, Y. Nievergelt, Complex Analysis in One Variable, Birkhauser, Boston 2001.
4. J. Bak, D. J. Newmann, Complex analysis, UTM, Springer, 1996.
5. J. Chądzyński, Wstęp do analizy zespolonej, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2000.
6. E. Hille, Analytic function theory, AMS Bookstore, 1973.
4
7. J. Krzyż, Zbiór zadań z funkcji analitycznych, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 2005.
8. J. Długosz, Funkcje zespolone, Oficyna wydawnicza GiS, Wrocław 2005.
9. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998.
10. S. Saks, A. Zygmund, Funkcje analityczne, Monografie Matematyczne, Vol.28, WarszawaWrocław, 1952.
11. B. W. Szabat, Wstęp do analizy zespolonej, PWN, Warszawa 1974.
12. W. Więsław, Liczby i geometria, WSiP, Warszawa 1996.
Bilans godzinowy zgodny z CNPS (Całkowity Nakład Pracy Studenta)
Ilość godzin w kontakcie z
prowadzącymi
Ilość godzin pracy studenta
bez kontaktu z prowadzącymi
Wykład
30
Konwersatorium (ćwiczenia, laboratorium itd.)
30
Pozostałe godziny kontaktu studenta z prowadzącym
15
Lektura w ramach przygotowania do zajęć
30
Przygotowanie krótkiej pracy pisemnej lub referatu po
zapoznaniu się z niezbędną literaturą przedmiotu
Przygotowanie projektu lub prezentacji na podany temat
(praca w grupie)
Przygotowanie do egzaminu
30
Ogółem bilans czasu pracy
135
Ilość punktów ECTS w zależności od przyjętego przelicznika
5
5