1. Ciągi liczbowe Zadanie 1. Zbadać monotoniczność ciągów / 4n2

1. Ciągi liczbowe
Zadanie 1. Zbadać monotoniczność ciągów
√
2 +n+1
(n!)2
n2
an = 2n+1 , an = 4n2 + n − 2n, an = (2n)!
, an = nn(n+1)
,
1
1
3
1 1− n
n
an = 1 − n , an = 2
, an = sin , an = n2+6n+2
.
n
Zadanie 2. Pokazać z definicji, że
2n+3
lim 3n+2
n→∞
=
2
n2
,
lim
3 n→∞ n+1
= ∞, lim
√
n
n→∞
2n+1
2
n→∞ 3n +2
n! = ∞, lim
= 0.
Zadanie 3. Obliczyć
2n2 +3n+1
3n+1
2n2 +3n+1
,
,
lim
,
lim
2
2
n→∞ 3n +2n+1 n→∞ 2n +2n+1 n→∞ 3n+1
lim
2
lim 3nn3+3n
,
+1
n→∞
4
lim 2nn3+5n
,
+7
n→∞
3
2 −4
lim 5n2n+3n
3 +n−1 ,
n→∞
(2n2 +3n)5 (3n3 +1)2
lim
,
(6n4 +1)4
n→∞
√
√
lim ( 4n2 + 5n − 2n), lim ( 3 27n3 + 12n2 − 3n),
n→∞
n→∞
√
√
n3 ·(3n+2)!
lim ( n + 1 − n − 1), lim (n+1)
lim
6 ·(3n−1)! ,
n→∞
(2n−3)!·(3n2 +1)3
.
(2n+3)!
n→∞
n→∞
Zadanie 4. Obliczyć
(6n5 +8)5 ·(2n4 +7)5
(6n+5)!
36n−2 +32n−11
,
lim
,
,
lim
5
4
5
5
2
4
2n−3
+n8 )·(32n−1 −5)
n−→∞ (6n +4) ·(2n +3)
n−→∞ (2n +4) ·(6n−3)! n−→∞ (2
lim
lim
n−→∞
√
n
12 · 53n+3 + 63 · 102n+1, lim
n−→∞
√
n
4n−6n4 + 2n−7n9,
9
n
2
+ 4n
2 6n−4
6n + 23n n8 + 3n
−5n
lim
,
, lim 5n
2 −3
5n
2
n−→∞
n−→∞
3n − 5
45n−3 +19n+19
2n+1 +518 )·(5n−2 +2) .
n−→∞ (3
lim
∞ cos x n
P
Zadanie 5. Dla jakich wartości parametru a równanie
=
2
n=1
2
a − 2 ma rozwiazanie?
,
Zadanie 6. Rozwiazać
nierówność
,
∞
P
√
(tg x)n ≤
n=0
3+ 3
w zbiorze
2
h0, 2πi.
Zadanie 7. Obliczyć
2n+(−1)n n
6n+n·cos nπ
3n2
n n
,
lim
,
lim
(3+(−1)
)
,
lim
nπ .
2
3n
n+1
n−→∞
n−→∞
n−→∞
n−→∞ 2n−n cos 6
lim
Zadanie 8. Obliczyć
(n!)2
n2n
n!n2
,
lim
,
lim
n .
2
n−→∞ (2n)! n−→∞ (n!)
n−→∞ n
lim
Zadanie
√ 9. Obliczyć granicę ciągu określonego rekurencyjnie
a1 = 2,
√
an+1 = 2 + an.
Zadanie 10. Wykazać, że ciąg an = (1 + n1 )n+1 jest malejący i ograniczony. Pokazać, że jego granicą jest liczba e.
Zadanie 11. Obliczyć granicę ciągu określonego rekurencyjnie
a1 = x,
an+1 = 21 (an + axn ),
gdzie x > 0.
Zadanie 12. Niech ϕ : N? −→ N? będzie bijekcją i niech istnieje
lim an wówczas istnieje lim aϕ(n) i lim aϕ(n) = lim an.
n→∞
n→∞
n→∞
n→∞