˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ ˙ 0 ˙ ,

Definicja 1. Niech m i n będą liczbami naturalnymi. Macierzą prostokątną o wierszach i kolumnach, nazywamy funkcję przyporządkowującą każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych , , gdzie œ 1,2, … ,
, œ 1,2, … ,
, liczbę . Twierdzenie 1. (własności działań na macierzach) 1)
2)
0
3)
4)
5)
ÿ
6)
ÿ ÿ
ÿ
7)
8)
ÿ ÿ ÿ0
ÿ
ÿ ÿ
ÿ 0 9) 0ÿ
0 10) ÿ
ÿ
, gdzie oznacza macierz jednostkową a 0 macierz zerową. Rozpatrzmy macierz kwadratową stopnia : ⎡a11
⎢a
A = ⎢ 21
⎢ ...
⎢
⎣an1
a12
a22
...
a n2
... a1n ⎤
... a2n ⎥⎥
... ... ⎥
⎥
... ann ⎦
Z każdego wiersza macierzy wybieramy po jednym elemencie tak, aby spośród wybranych elementów żadne dwa nie należały do tej samej kolumny. Otrzymamy w ten sposób elementów, z których tworzymy iloczyn: a1i1 ⋅ a2i2 ⋅ ... ⋅ anin , pisząc jego czynniki w kolejności odpowiadającej numerom wierszy macierzy. Wówczas drugie wskaźniki określające numery kolumn tworzą jedną z możliwych permutacji liczb 1,2, … , . Jeżeli w dowolnej permutacji podzbioru liczb naturalnych występują liczby nie w porządku naturalnym, to mówimy, że permutacja zawiera inwersję. Algebra liniowa
Definicja 2. Niech oznacza liczbę inwersji w permutacji , , … , . Wyrażenie ∑ (− 1)
k
⋅ a1i1 ⋅ a2i2 ⋅ ... ⋅ anin , gdzie sumowanie przebiega po wszystkich możliwych permutacjach , ,…,
liczb naturalnych 1,2, … , nazywamy wyznacznikiem macierzy i oznaczamy symbolem det . Definicja 3. macierzy kwadratowej stopnia nazywamy wyznacznik macierzy powstałej Minorem z macierzy poprzez usunięcie ‐tego wiersza oraz ‐tej kolumny. Definicja 4. Dopełnieniem algebraicznym elementu iloczyn 1
ÿ
, które oznaczamy symbolem , nazywamy . Twierdzenie 2. (Laplace’a) Wyznacznik równy jest sumie wszystkich iloczynów każdego elementu dowolnego wiersza (kolumny) i odpowiadającego temu elementowi dopełnienia algebraicznego: det A = ai 1 Di 1 + ai 2 Di 2 + ... + ain Din ,
1≤i ≤n det A = a1 j D1 j + a2 j D2 j + ... + anj Dnj ,
1 ≤ j ≤ n. lub Twierdzenie 3.(własności wyznaczników) 1) Jeżeli jakikolwiek wiersz (lub kolumna) macierzy składa się z samych zer to jej wyznacznik jest równy zero, 2) Wyznacznik macierzy równy jest wyznacznikowi macierzy transponowanej, 3) Przestawienie dwóch wierszy (kolumn) w macierzy powoduje zmianę znaku jej wyznacznika, 4) Wyznacznik macierzy o dwóch jednakowych wierszach (kolumnach) jest równy zeru, 5) Wspólny czynnik wszystkich elementów danego wiersza (danej kolumny) można wyłączyć przed znak wyznacznika, 2
MB Algebra liniowa
6) Wyznacznik macierzy o dwóch proporcjonalnych wierszach (kolumnach) jest równy zero, 7) Wartość wyznacznika nie ulegnie zmianie, jeżeli do dowolnego wiersza (kolumny) dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez dowolną liczbę rzeczywistą, 8) det A ⋅ B = det A ⋅ det B (twierdzenie Cauchy’ego), 9) Suma iloczynów elementów pewnego wiersza (kolumny) i dopełnień algebraicznych odpowiadających elementom innego wiersza (kolumny) jest równa zero. ⎡a11
⎢a
⎢ 21
⎢ ...
10) det ⎢
⎢ ai 1
⎢ ...
⎢
⎣⎢an1
a12
a22
...
ai 2
...
a n2
... a1n ⎤
⎡a11
⎢a
⎥
... a2n ⎥
⎢ 21
⎢ ...
... ... ⎥
⎥ + det ⎢
... ain ⎥
⎢ bi 1
⎢ ...
... ... ⎥
⎢
⎥
... ann ⎦⎥
⎣⎢an1
a12
a22
... a1n ⎤
⎡ a11
⎢ a
⎥
... a2n ⎥
21
⎢
⎢ ...
... ... ⎥
⎥ = det ⎢
... bin ⎥
⎢ai 1 + bi 1
⎢ ...
... ... ⎥
⎢
⎥
... ann ⎦⎥
⎣⎢ an1
...
bi 2
...
a n2
a12
a22
...
...
...
...
ai 2 + bi 2
...
...
...
a n2
...
a1n
a2n
⎤
⎥
⎥
... ⎥
⎥
ain + bin ⎥
... ⎥
⎥
ann ⎦⎥
Definicja 5. Układ wektorów u1 , u2 ,..., un nazywamy liniowo niezależnym, jeśli równanie: α 1u1 + α 2u2 + ... + α nun = 0 spełnione jest tylko w przypadku, gdy α 1 = α 2 = ... = α n = 0 . Układ wektorów u1 , u2 ,..., un , który nie jest liniowo niezależnym, nazywamy liniowo zależnym. Definicja 6. Rzędem macierzy nazywamy maksymalną liczbę liniowo niezależnych kolumn macierzy. Liczbę tę oznaczamy symbolem . Twierdzenie 4. Maksymalna liczba liniowo niezależnych kolumn macierzy jest równa maksymalnej liczbie liniowo niezależnych wierszy tej macierzy. Twierdzenie 5. Rząd macierzy jest równy stopniowi macierzy jednostkowej występującej w jej postaci kanonicznej. 3
MB Algebra liniowa
Twierdzenie 6. Rząd macierzy jest równy najwyższemu ze stopni jej nieosobliwych podmacierzy. Twierdzenie 7. Rząd macierzy nie ulega zmianie, gdy: 1) przestawimy dwa wiersze (kolumny) macierzy, 2) do dowolnego wiersza (kolumny) macierzy dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez dowolną liczbę rzeczywistą, 3) pomnożymy dowolny wiersz (kolumnę) macierzy przez dowolną liczbę różną od zera, 4) usuniemy z macierzy wiersz (kolumnę) złożoną z samych zer, 5) transponujemy macierz. Definicja 7. Przekształceniami elementarnymi macierzy nazywamy następujące działania: 1) przestawimy dwa wiersze (kolumny) macierzy, 2) do dowolnego wiersza (kolumny) macierzy dodamy inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez dowolną liczbę rzeczywistą, 3) pomnożymy dowolny wiersz (kolumnę) macierzy przez dowolną liczbę różną od zera. Twierdzenie 8. Przekształcenia elementarne nie zmieniają rzędu macierzy. Definicja 8. Macierz kwadratowa stopnia n spełniająca warunek: A ⋅ A −1 = A −1 ⋅ A = I , gdzie jest macierzą jednostkową, nazywamy macierzą odwrotną do macierzy kwadratowej stopnia . Twierdzenie 9. Jeżeli macierz kwadratowa jest macierzą nieosobliwą, to istnieje do niej macierz odwrotna , przy czym A −1 =
1
Ad . det A
4
MB Algebra liniowa
Symbol oznacza macierz dołączoną, czyli transponowaną macierz dopełnień algebraicznych. Twierdzenie 10. Jeżeli i są nieosobliwymi macierzami tego samego stopnia, to (A ⋅ B )−1 = B −1 ⋅ A −1 . Twierdzenie 11. Wyznacznik macierzy odwrotnej jest odwrotnością wyznacznika macierzy , to jest det A −1 =
1
. det A
Twierdzenie 12. Macierz odwrotna do macierzy odwrotnej jest identyczna z daną macierzą, to jest (A )
−1 −1
= A . Twierdzenie 13. Macierz transponowana macierzy odwrotnej równa jest macierzy odwrotnej do macierzy transponowanej, to jest (A ) = (A )
T −1
−1 T
. 5
MB