docWyk lad 14 Uk lady nierównosci liniowych
download 
Reklamacja Transkrypt
Wyk lad 14 Uk lady nierównosci liniowych
Wyklad 14 Uklady nierówności liniowych 1 Uklady nierówności liniowych Mówimy, że nierówność c1 x1 + . . . + cn xn wspólczynnikach nierówności ukladu a11 x1 + a12 x2 a21 x1 + a22 x2 .. .. .. . . . a x + a x m1 1 m2 2 ≥ b jest kombinacja, liniowa, o nieujemnych + . . . + a1n xn ≥ b1 + . . . + a2n xn ≥ b2 .. . . . .. .. .. , . .. . . . . + . . . + amn xn ≥ bm (1) gdy istnieja, nieujemne liczby rzeczywiste d1 , . . . , dm takie, że c1 x1 + . . . + cn xn = d1 (a11 x1 + . . . + a1n xn ) + . . . + dm (am1 x1 + . . . + amn xn ) oraz b = d1 b1 + . . . + dm bm , tj. a11 d1 a12 d1 .. . a d 1n 1 + a21 d2 + . . . + am1 dm = c1 + a22 d2 + . . . + am2 dm = c2 .. .. .. . . . .. .. .. . .. . . . . . . + a2n d2 + . . . + amn dm = cn i b1 d1 + b2 d2 + . . . + bm dm = b. Z definicji tej wynika od razu, że jeżeli (a1 , . . . , an ) jest rozwiazaniem ukladu (1), to jest również , rozwiazaniem każdej nierówności c1 x1 + . . . + cn xn ≥ b, która jest kombinacja, liniowa, o nie, ujemnych wspólczynnikach nierówności ukladu (1) i ogólniej: jest rozwiazaniem każdej takiej , 0 nierówności c1 x1 + . . . + cn xn ≥ b , że nierówność c1 x1 + . . . + cn xn ≥ b jest kombinacja, liniowa, o nieujemnych wspólczynnikach nierówności ukladu (1), dla pewnej liczby rzeczywistej b ≥ b0 . Przyklad 14.1. Nierówność 0 · x1 + 0 · x2 ≥ 4 jest kombinacja, liniowa, o wspólczynnikach 4, 12, 4 nierówności ukladu 1 4x1 + 3x2 ≥ (2) −2x1 + x2 ≥ −1 . 2x − 6x ≥ 3 1 2 Wynika stad 2 , od razu, że uklad (2) nie posiada rozwiazania. , 1 Twierdzenie 14.2. Niech a11 x1 a21 x1 .. . a x m1 1 + + .. . a12 x2 a22 x2 .. . + am2 x2 + . . . + a1n xn ≥ b1 + . . . + a2n xn ≥ b2 .. . . . .. .. .. . .. . . . . + . . . + amn xn ≥ bm (3) bedzie rozwiazalnym (tzn. posiadajacym rozwiazanie) ukladem nierówności i niech , , , , c1 x1 + . . . + cn xn ≥ b0 (4) bedzie dowolna, nierównościa. ukladu (3) jest rozwiazaniem nierówności (4) , Każde rozwiazanie , , , wtedy, i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba rzeczywista b ≥ b0 , że nierówność c1 x1 + . . . + cn xn ≥ b (5) jest kombinacja, liniowa, o nieujemnych wspólczynnikach nierówności ukladu (3). Przyklad 14.3. Korzystajac acy uklad równań , z twierdzenia 14.2 uzasadnimy, że nastepuj , , ( x1 + 3x2 − 5x3 = 2 (6) x1 − 4x2 − 7x3 = 3 nie posiada rozwiazania nieujemnego. W tym celu zalóżmy, że nasz uklad posiada rozwiazanie , , nieujemne (a1 , a2 , a3 ) (tzn. takie, że a1 ≥ 0, a2 ≥ 0 i a3 ≥ 0). Ponieważ uklad nierówności y1 + y2 ≥ 0 (7) 3y1 − 4y2 ≥ 0 −5y − 7y ≥ 0 1 2 jest rozwiazalny (np. y1 = y2 = y3 = 0) oraz nierówność , 2y1 + 3y2 ≥ 0 (8) jest kombinacja, liniowa, nierówności ukladu (7) o wspólczynnikach nieujemnych a1 , a2 , a3 , wiec , na mocy twierdzenia 14.2, każde rozwiaza-nie uk ladu (7) jest rozwi azaniem nierówności (8). , , Ale (1, −1) jest rozwiazaniem ukladu (7) i nie jest rozwiazaniem nierówności (8), wiec , , , mamy sprzeczność. Przypuszczenie, że uklad (6) posiada rozwiazanie nieujemne doprowadzi lo nas , zatem do sprzeczności. Stad nieujemnego.2 , uklad (6) nie posiada rozwiazania , 2 Sprzeczne uklady nierówności liniowych Uklad nierówności z niewiadomymi x1 , x2 , . . . , xn nazywamy sprzecznym, gdy nierówność 0 · x1 + . . . + 0 · xn ≥ 1 jest kombinacja, liniowa, o nieujemnych wspólczynnikach nierówności tego ukladu. 2 Twierdzenie 14.4. Uklad nierówności liniowych jest rozwiazalny wtedy, i tylko wtedy, gdy , nie jest sprzeczny. Przyklad 14.5. Korzystajac acy uklad nierówności , z twierdzenia 14.4 udowodnimy, że nastepuj , , x1 + x2 + x3 ≥ 2 x − x + x ≥ 1 1 2 3 (9) −x1 + x2 − 2x3 ≥ −1 −x1 − x2 + x3 ≥ −1 nie ma rozwiazania. W tym celu wystarczy wykazać, że , y1 + y2 − y3 − y − y + y − 1 2 3 y + y − 2y 1 2 3 + 2y1 + y2 − y3 − uklad równań y4 y4 y4 y4 = = = = 0 0 0 1 (10) posiada rozwiazanie nieujemne. Uklad (10) rozwiazujemy metoda, eliminacji Gaussa. Po zasto, , sowaniu operacji elementarnych: r2 − r1 , r3 − r1 , r4 − 2 · r1 , (− 21 ) · r2 , (−1) · r3 uzyskamy uklad równoważny postaci y1 + y2 − y3 − y4 = 0 y2 − y3 = 0 . (11) y3 − 2y4 = 0 − y2 + y3 + y4 = 1 Nastepnie wykonujemy kolejno operacje: r4 + r2 , r1 + r4 , r3 + 2 · r4 , r1 + r3 , r2 + r3 , r1 − r2 i , uzyskujemy, że y1 = 1, y2 = 2, y3 = 2, y4 = 1. Zatem uklad (2) posiada rozwiazanie nieujemne, , wiec , , z twierdzenia 14.4 uklad nierówności (1) nie posiada rozwiazania.2 Podzbiór A przestrzeni afinicznej En nazywamy ograniczonym, gdy podzbiór A jest zawarty w pewnym równoleglościanie. Można wykazać, że podzbiór A przestrzeni afinicznej En jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka dodatnia liczba rzeczywista a, że dla każdego punktu (x1 , . . . , xn ) ∈ A mamy, że |x1 | ≤ a,...,|xn | ≤ a. Twierdzenie 14.6. Zbiór wszystkich rozwiazań , a11 x1 + a12 x2 + . . . a21 x1 + a22 x2 + . . . .. .. .. .. . . . . . . . a x + a x + ... m1 1 m2 2 jest ograniczony wtedy, i tylko wtedy, gdy uklad a11 x1 + a12 x2 + a21 x1 + a22 x2 + .. .. .. .. . . . . a x + a x + m1 1 m2 2 3 ukladu nierówności + + .. . a1n xn a2n xn .. . ≥ ≥ .. . b1 b2 .. , . (12) + amn xn ≥ bm nierówności . . . + a1n xn ≥ 0 . . . + a2n xn ≥ 0 . .. .. .. .. . .. . . . . . . + amn xn ≥ 0 (13) nie ma rozwiazania różnego od rozwiazania (0, . . . , 0). , , Przyklad 14.7. W oparciu o twierdzenia 14.4 i 14.6 zbadamy, czy nastepuj acy uklad nierów, , ności: 2 2x1 − 3x2 ≥ −x1 + 2x2 ≥ −1 3x − 5x ≥ 7 1 2 ma rozwiazanie i czy zbiór wszystkich jego rozwiazań jest ograniczony. Gdyby nasz uklad , , nierówności byl sprzeczny, to zgodnie z twierdzeniem 14.4 istnialyby nieujemne liczby rzeczywiste y1 , y2 , y3 takie, że 2y1 − y2 + 3y3 = 0 −3y1 + 2y2 − 5y3 = 0 . 2y − y + 7y = 1 1 2 3 Ale jedynym rozwiazaniem tego ukladu równań jest y1 = − 41 , y2 = y3 = 14 , wiec , , mamy sprzeczność. Wobec tego nasz uklad nierówności nie jest sprzeczny, a wiec ma rozwi azanie. , , Rozważmy teraz uklad nierówności: 2x1 − 3x2 ≥ 0 −x1 + 2x2 ≥ 0 . 3x − 5x ≥ 0 1 2 Latwo zauważyć, że x1 = 5, x2 = 3 jest jego niezerowym rozwiazaniem. Wobec tego na mocy , twierdzenia 14.6 zbiór rozwiazań ukladu nierówności , 2 2x1 − 3x2 ≥ −x1 + 2x2 ≥ −1 3x − 5x ≥ 7 1 2 jest nieograniczony. 3 Zadania do samodzielnego rozwiazania , Zadanie 14.8. W oparciu o twierdzenia 14.4 i ności: 2x1 − 3x2 −x1 + 2x2 3x − 5x 1 2 14.6 zbadaj, czy nastepuj acy uklad nierów, , ≥ 2 ≥ −1 ≥ 7 ma rozwiazanie i czy zbiór wszystkich jego rozwiazań jest ograniczony. , , Odp. Uklad ma rozwiazanie. Zbiór wszystkich rozwiazań nie jest ograniczony. , , Zadanie 14.9. W oparciu o twierdzenie 14.2 zbadaj, czy nastepuj acy uklad równań: , , 4 ( 2x1 − x2 + 4x3 = 1 −x1 + 2x2 − 3x3 = −1 posiada rozwiazanie nieujemne. , Odp. Uklad nie posiada rozwiazania nieujemnego. , Zadanie 14.10. Rozwiaż , graficznie uklad nierówności: 3x1 − 2x2 ≥ −2 3x1 + x2 ≥ 1 . −3x + x ≥ −2 1 2 1 1 Odp. Rozwiazaniem jest trójkat , , o wierzcholkach (0, 1), ( 2 , − 2 ), (2, 4). Zadanie 14.11. Wyznacz wszystkie nieujemne rozwiazania ukladu równań: , ( x1 + 3x2 − 5x3 = 8 x1 − 4x2 − 7x3 = 7 Odp. x1 = 21−41t , 2 x2 = t, x3 = Zadanie 14.12. W oparciu o x1 −x1 2x1 3x1 −4x1 1−7t 2 , gdzie t ∈ h0, 17 i. twierdzenie 14.4 zbadaj, czy nastepuj acy uklad nierówności: , , − x2 + x2 − x2 + x2 + 2x2 + − − + + x3 2x3 3x3 5x3 7x3 ma rozwiazanie. , Odp. Uklad nie posiada rozwiazania. , 5 + 2x4 − 2x4 + x4 − x4 − 2x4 ≥ 1 ≥ 3 ≥ −1 ≥ 1 ≥ 1
