ALGEBRA LINIOWA I GEOMETRIA ANALITYCZNA

ALGEBRA LINIOWA I GEOMETRIA ANALITYCZNA - LISTA 5
Wyznaczniki, macierz odwrotna i uklady równań
1. Wyjaśnić (na podstawie definicji), które spośród podanych iloczynów i z jakim znakiem
wystepuj
a, w wyznaczniku odpowiedniego stopnia:
,
a) a13 a22 a31 a46 a55 a64 , b) a31 a13 a52 a45 a24 , c) a34 a21 a46 a17 a73 a54 a62 .
2. W wyznaczniku
x
x
1
x
1
x
2
1
2 3
1 2
x 3
2 2x
znaleźć wyrazy zawierajace
x4 i x3 .
,
3. Liczby calkowite 1798 = 31 · 58, 2139 = 31 · 69, 3255 = 31 · 105, 4867 = 31 · 157 dziela, sie,
przez 31. Uzasadnić, że wyznacznik
1 7 9 8 2 1 3 9 3 2 5 5 4 8 6 7 również dzieli sie, przez 31, nie obliczajac
, go.
4. Obliczyć podane wyznaczniki stosujac
, operacje elementarne na wierszach i kolumnach oraz
rozwiniecie
Laplace’a:
,
1
2 −1
0
3 i
0 −1 −2
2 1
2
3 4 4
5
1 −6 2i −3i
5
5i −7 −3
2
2
−5
13
3
0 −2 , −1
2 2i
10 −1 .
1 −2 10 4 , −1 −2
−2 −2
1 −1
1 2 −2 −i −10
1 −2
9 −8 25 2
4 −2
0
3 0
4i
2 −5i
3 5. Za pomoca, zależności rekurencyjnych obliczyć
2 1 0 ... 0 1 2 1 ... 0 0 1 2 ... 0 , .............. 0 0 0 ... 2 nastepuj
ace
wyznaczniki:
,
,
3 2 0 . . . 0 1 3 2 . . . 0 0 1 3 . . . 0 .
. . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 ... 3 6. Oblicz macierz odwrotna, do podanych macierzy stosujac
,
(i) metoda, wyznacznikowa,, (ii) metoda, bezwyznacznikowa:,



0 0 2
4 3 2

cos φ − sin φ
1 2 0
,  1 0 2 , 

sin φ
cos φ
2 4 1
−1 1 3
0 1 0
7. Niech A, B, C ∈ Mn (K), A, B - macierze nieosobliwe. Znaleźć
macierzy:
A O
A C
A O
,
,
.
O B
O B
C B
8. Zbadać czy uklady równań:


2x + 3y + 11z +


 2x − y − z = 4

x + y + 5z +
3x + 4y − 2z = 11 ,
2x + y + 3z +



3x − 2y + 4z = 11

x + y + 3z +

3
1 
.
2 
1
macierze odwrotne do
5t
2t
2t
4t
=
2
=
1
= −3
= −3
sa, ukladami Cramera. Jeżeli tak, to rozwiazać
je stosujac
,
, wzory Cramera.
9. Rozwiazać
uklad równań nad cialem C
,
(2 + i)x1 − (3 + i)x2 = i
.
(3 + i)x1 + (2 − i)x2 = i
Czy jest to uklad Cramera?
10. Znaleźć rzedy
podanych macierzy wskazujac
, niezerowe minory maksymalnych stopni:
,




1 0 1 0 1 0 1
1 2
3
 1 5 1 0 1 6 1 
 2 1 −2 



,  1 0 1 7 1 0 1 .


 4 5
4 
 1 8 1 0 1 9 1 
1 3
4
1 0 1 0 1 0 1
11. Rozwiazać
uklady równań:
,


 x − y + 4z =

2x − y − z =
5x − 3y + 2z =



8x − 5y + 5z =
1
0
,
1
2

x



x
4x



5x
+ y − z − t − 2u
+ 4y − 3z − 3t − 5u
− 5y + 2z + 2t + u
− 2y
+ t − 6u
12. Zbadać i rozwiazać,
w zależności od parametru
,

λx1 + x2 + x3



x1 + λx2 + x3
x1 + x2 + λx3



x1 + x2 + x3
2
λ, uklad równań:
+ x4
+ x4
+ x4
+ λx4
=
=
=
=
1
1
.
1
1
=
0
= −1
.
=
3
=
5