Lista I, Fizyka Kwantowa Ewolucja kwantowa 1) Rozgrzewka. Niech

Lista I, Fizyka Kwantowa
Ewolucja kwantowa
1) Rozgrzewka. Niech uklad kwantowy bȩdzie w chwili t0 opisany przez stan
|ψ(t0 )i = c1 |φ1 i + c2 |φ2 i ,
gdzie ci ∈ C a |φi i sa̧ stanami wlasnymi hamiltonianu H do wartości wlasnych
E1 i E2 .
a) Znaleźć stan ukladu w chwili t.
b) Niech B bȩdzie obserwabla̧, [B, H] 6= 0, a b wartościa̧ wlasna̧ B odpowiadaja̧ca̧
stanowi wlasnemu |ui. Znaleźć prawdopodobieństwo P (b, ψ(t)), że w wyniku
pomiaru B w czasie t otrzymamy wartość b.
c) Pokazać, że P (b, ψ(t)) oscyluje miȩdzy ekstremalnymi wartościami z czȩstościa̧
ν=
|E1 − E2 |
.
h
d)Zinterpretować powyższy wynik w świetle zasady nieoznaczoności.
2) Rozważmy uklad kwantowy opisywany przez Hamiltonian H w przestrzeni
Hilberta H, który ma widmo cia̧gle. Niech stan ukladu bȩdzie w chwili t = 0
opisany przez funkcjȩ
Z
dE c(E)|φE i ,
|ψ(0)i =
Ω
gdzie c(E) jest funkcja̧ energii określona̧ na Ω = (E0 − ∆E/2, E0 + ∆E/2),
a |φE i uogólnionymi wektorami wlasnymi H, tj. ”H|φE i = E|φE i”, ale
|φE i ∈
/ H.
a) Znaleźć stan ukladu |ψ(t)i w chwili t.
b) Znaleźć prawdopodobieństwo P (b, |ψ(t)i), że w wyniku pomiaru B w czasie t otrzymamy wartość b; wiekości B, b zdefiniowane w zadaniu 1b)).
3) Gausowski pakiet falowy. Rozważmy uklad kwantowy, którego dynamika
opisana jest przez Hamiltonian
H=−
~2 d2
,
2m dx2
1
dzialaja̧cy w przestrzeni L2 (R). Niech stan uklad bȩdzie w chwili t = 0
opisany przez (unormowana̧) funkcjȩ
Z ∞
1
g(k, 0)eikx dk ,
ψ(x, 0) = √
2π −∞
gdzie
√
1
a − a2 (k−k0 )2
√ g(k, 0) =
e 4
.
(2π)3/4
2π
a) Pokazać
1/4
2
2
2
eik0 x e−x /a .
ψ(x, 0) =
2
πa
R ∞ −ξ2
√
(Wsk. skorzystać z −∞ e dξ = π).
b) Krok pomocniczy. Pokazać, że dla ukladu znajduja̧cego siȩ w stanie f (x) =
2 2
( πb22 )1/4 e−x /b mamy:
∆x =
p
b
h(X − hXi)2 i = √ ,
2
gdzie X oznacza operator polożenia, h·i oznacza wartość średnia̧ anego operatora w rozważanym stanie.
c) Pokazać, że dla stanu ψ(x, 0) mamy:
∆x · ∆p = ~/2 ;
wsk. policzyć ∆x korzystaja̧c z wyniku w pkt. b), aby obliczyć ∆p wystarczy
skorzystać reprezentacji pȩdowej operatora pȩdu i zastosować do stanu g(k, 0)
wynik z poprzedniego pkt. (k = ~p.)
Skomentować wynik w świetle zasady nieoznaczoności.
d) Znaleźć funkcjȩ ψ(x, t) opisuja̧ca̧ rozklad gȩstości prawdopodobieństwa w
chwili t. Jak zachowuje siȩ |ψ(x, t)|2 jako funkcja czasu?
2