Mówiąc definicja
Transkrypt
Mówiąc definicja
TWIERDZENIA GRANICZNE Zacznijmy od pojęć zbieżności ciągów zmiennych losowych. Definicja. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych X1, . . . , Xn, . . . jest zbieżny według prawdopodobieństwa do zmiennej losowej X, jeśli ∀ε > 0 lim P (|Xn − X| > ε) = 0. n→∞ Uwaga. W szczególności, zbieżność może też być do stałej c, czyli do takiej zmiennej losowej X, dla której P (X = c) = 1. Definicja. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych X1, . . . , Xn, . . . jest zbieżny prawie na pewno (lub z prawdopodobieństwem 1) do zmiennej losowej X, jeśli ( ) P lim Xn = X = 1. n→∞ Uwaga. Zbieżność prawie na pewno pociąga zbieżność według prawdopodobieństwa. Definicja. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych X1, . . . , Xn, . . . o dystrybuantach odpowiednio F1, . . . , Fn, . . . jest zbieżny według rozkładu do zmiennej losowej X o dystrybuancie F, jeśli lim Fn(x) = F (x) n→∞ 1 dla każdego punktu x ∈ R będącego punktem ciągłości dystrybuanty F. Definicja. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych X1, . . . , Xn, . . . spełnia słabe prawo wielkich liczb (SPWL), jeśli zmienne te posiadają wartości oczekiwane oraz X1 + . . . + Xn − EX1 − . . . − EXn →0 n według prawdopodobieństwa. Definicja. Mówimy, że ciąg zmiennych losowych X1, . . . , Xn, . . . spełnia mocne prawo wielkich liczb (MPWL), jeśli zmienne te posiadają wartości oczekiwane oraz X1 + . . . + Xn − EX1 − . . . − EXn →0 n prawie na pewno. Uwaga. Jeśli ciąg zmiennych losowych spełnia MPWL, to spełnia też SPWL. Uwaga. Jeśli wartości oczekiwane wszystkich zmiennych losowych X1, . . . , Xn, . . . są równe i wynoszą µ, to ten ciąg spełnia SPWL(MPWL), gdy X1 + . . . + Xn →µ n według prawdopodobieństwa (prawie na pewno). 2 Twierdzenie. Jeśli X1, . . . , Xn, . . . jest ciągiem parami niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie z wartością oczekiwaną µ, to spełnia on MPWL (a zatem i SPWL). Jeśli X1, . . . , Xn, . . . jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie z wartością oczekiwaną EX1 = µ oraz wariancją VarX1 = σ 2, to spełnia on centralne twierdzenie graniczne (CTG), czyli dla niego zachodzi: X1 + · · · + Xn − nµ √ →X nσ według rozkładu, gdzie X jest zmienną losową o rozkładzie normalnym standardowym N (0, 1). Szczególnym przypadkiem CTG jest twierdzenie de Moivre’a-Laplace’a: jeśli X1, . . . , Xn, . . . jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie zero-jedynkowym z parametrem p = P (X1 = 1), to X1 + · · · + Xn − np √ →X np(1 − p) według rozkładu, gdzie X jest zmienną losową o rozkładzie normalnym standardowym N (0, 1). 3