Rachunek prawdopodobieństwa 4. Rodzaje zbieżności zmiennych
Transkrypt
Rachunek prawdopodobieństwa 4. Rodzaje zbieżności zmiennych
Rachunek prawdopodobieństwa 4. Rodzaje zbieżności zmiennych losowych Ćw. 4.1 Niech {Xn }n∈N będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych, takich, że P (Xn = 1) = 1/n2 , P (Xn = 0) = 1 − 1/n2 . Zbadaj zbieżność podanego ciągu do 0 według prawdopodobieństwa, prawie wszędzie i w przestrzeni L1 . Ćw. 4.2 Dla każdego n ∈ N rozkład zmiennej Xn zadany jest następująco: P (Xn = −n − 4) = 1 , n+4 P (Xn = n + 4) = 3 , n+4 P (Xn = −1) = 1 − 4 . n+4 Wykaż, że ciąg {Xn }n∈N jest zbieżny według prawdopodobieństwa, a E(n→∞ lim Xn ) 6= n→∞ lim EXn . Ćw. 4.3 Niech {Xn }n∈N będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie E(1). Niech Yn = min{X1 , . . . , Xn }. Pokaż, że ciąg {Yn }n∈N jest zbieżny do 0 według prawdopodobieństwa i prawie wszędzie. Czy ciąg ten jest także zbieżny do 0 w przestrzeniach L1 i L2 ? Ćw. 4.4 Zmienna losowa X ma rozkład jednostajny na przedziale [0, 1]. Definiujemy √ Yn = n1I[0,1/n] (X 4 ). Zbadaj zbieżność ciągu {Yn }n∈N według prawdopodobieństwa, prawie wszędzie i w L1 .