Planimetria - Gimnazjum nr 48

Gimnazjum nr 48 w Warszawie – nauczyciel Dorota Burak
Planimetria
1. Przekątna równoległoboku o długości 8cm jest prostopadła do jednego z boków. Oblicz pole tego
równoległoboku wiedząc, że suma dwóch jego kątów wynosi 90 .
2. Udowodnij, że dwusieczne sąsiednich kątów dowolnego równoległoboku są prostopadłe.
3. Udowodnij, że w trójkącie na rysunku dwusieczna kąta BCD jest równoległa do podstawy AB,
jeśli |AC| = |BC| i A, C, D leżą na jednej prostej.
4. Na planie w skali 1 : 2 500 pewien teren ma kształt prostokąta o wymiarach 64 mm długości i 48 mm
szerokości. Jaka jest prawdziwa powierzchnia tego terenu. Odpowiedź podaj w hektarach.
5. Odległość z Warszawy do Budapesztu wynosi 700 km. Chcielibyśmy zrobić mapę, na której droga ta
będzie miała długość 10 cm. Jaka powinna być skala mapy?
6. Trapez równoramienny ma przekątne prostopadłe względem siebie o długości 8 cm. Oblicz pole tego
trapezu.
7. Trapez ABCD podzielono przekątnymi. Udowodnij, że pole trójkąta AOD jest równe polu trójkąta BOC.
8. Każdy bok prostokąta zmniejszono o 20%. O ile procent zmniejszyło się jego pole?
9. W równoległoboku ABCD bok AB jest dwa razy dłuższy od boku BC. Punkt M dzielący bok AB na
połowy połączono z punktami C i D. Uzasadnij, że kąt CMD jest prosty.
10. Wykaż, że jeżeli w trójkącie równoramiennym dwusieczna kąta przy podstawie jest prostopadła do
ramienia, to ten trójkąt jest równoboczny.
11. Długość prostokąta powiększono o p% a szerokość zmniejszono o p% i otrzymano prostokąt, którego
pole zmniejszyło się o 16% względem pola pierwotnego prostokąta. Oblicz p.
12. Punkt P jest dowolnym punktem leżącym wewnątrz trójkąta równobocznego. Wykaż, że suma odległości
punktu P od boków trójkąta jest równa długości wysokości tego trójkąta.
13. Udowodnij, że przekątne trapezu o bokach a, b, b, b są dwusiecznymi kątów przy boku a.
14. Podstawy trapezu równoramiennego wynoszą 18 i 12, a kąt ostry przy podstawie ma 45 stopni. Oblicz
pole tego trapezu i jego obwód.
15. Długości boków trójkąta wyrażają się liczbami pierwszymi. Jeden z boków ma długość 3, a drugi 5.
Oblicz obwód tego trójkąta.
1/4
Gimnazjum nr 48 w Warszawie – nauczyciel Dorota Burak
16. Na płaszczyźnie prowadzimy 10 prostych, tak aby każde dwie z nich były wzajemnie prostopadłe bądź
równoległe. Jaka jest największa liczba części na jaką możemy podzielić w ten sposób płaszczyznę?
17. Obwód pięciokąta wypukłego ABCDE jest równy 74 cm, obwód czworokąta ABCD jest równy 56 cm, a
czworokąta ACDE 37 cm. Jaki jest obwód trójkąta ACD?
18. Kwadrat rozcięto na dwa prostokąty o obwodach 16 cm i 20 cm. Jakie są pola tych prostokątów?
19. Z prostokąta o wymiarach x + y, y + z, gdzie x>0, y>0 wycięto kwadrat o boku długości y. Zapisz za
pomocą wyrażenia algebraicznego:
a) pole pozostałej części figury
b) obwód pozostałej części figury
20. Jak podzielić tort w kształcie sześciokąta foremnego na osiem przystających trapezów
równoramiennych?
21. Obwód pewnego trapezu jest równy 68 cm. Jedna z przekątnych dzieli go na dwa trójkąty o obwodach
48 cm i 60 cm. Oblicz długość wspomnianej przekątnej.
22. W prostokącie ABCD punkty P, Q, R, S są odpowiednio środkami boków AB, BC, CD i DA. Niech T
będzie środkiem odcinka SR. Jaką częścią prostokąta ABCD jest trójkąt PQT ?
23. Dany prostokąt podzielono na cztery mniejsze prostokąty. Pola trzech z nich są odpowiednio równe : 6,
9, 10 (rys.). Oblicz pole czwartego prostokąta.
24. Pole ośmiokąta foremnego jest równe 1. Oblicz pole zaznaczonej części ośmiokąta foremnego.
25. W pewnym trójkącie równoramiennym kąt rozwarty pomiędzy dwusiecznymi jednakowych kątów jest
trzy razy większy niż kąt u wierzchołka trójkąta. Jakie są miary kątów wewnętrznych tego trójkąta?
2/4
Gimnazjum nr 48 w Warszawie – nauczyciel Dorota Burak
26. Oblicz liczbę przekątnych 20-kąta wypukłego.
27. Punkty A i B leżą na linii łączącej środki przeciwległych boków kwadratu, którego bok ma długość 6
cm. Gdy punkty A i B połączymy odcinkami z dwoma przeciwległymi wierzchołkami (rys.) to prostokąt
zostanie podzielony na trzy części o równych polach. Oblicz długość odcinka AB.
28. Czworokąt ABCD jest kwadratem. Jeżeli kąt OND wynosi 60  , to jaka jest miara kąta COM?
29. Na rys. obok kąty A i B są proste, oraz
PABCD
P
 3. Oblicz ABD .
PACB
PACB
30. Pole sześciokąta foremnego widocznego na rysunku jest równe 6. Jakie jest pole zamalowanego
prostokąta?
31. W kwadracie ABCD punkt M jest środkiem boku BC, a punkt N jest środkiem boku AD. Okrąg o środku
w punkcie N przechodzący przez punkt M przecina bok CD w punkcie P. Oblicz miarę kąta PNM.
32. Jeżeli każdy bok prostokąta zwiększymy o 2 cm, to jego pole wzrośnie o 18 cm 2 . O ile cm 2 zmieni się
pole danego prostokąta, jeżeli każdy jego bok zmniejszymy o 1 cm?
33. Dany jest kwadrat ABCD oraz trójkąt równoboczny AED. Wyznacz miarę kąta BEC.
3/4
Gimnazjum nr 48 w Warszawie – nauczyciel Dorota Burak
34. Jaką miarę ma jeden z dwóch kątów, jakie tworzą wskazówki zegara godzinowa i minutowa o godzinie
8 20 ?
35. Jaka jest miara kąta wewnętrznego dwunastokąta foremnego?
36. Dwa okręgi styczne zewnętrznie są równocześnie styczne wewnętrznie do trzeciego okręgu o promieniu
3 cm, jak na rys.. Oblicz obwód trójkąta, którego wierzchołkami są środki tych okręgów.
37. Wewnątrz kwadratu leży mniejszy kwadrat. Boki obu kwadratów SA odpowiednio równoległe.
Wierzchołki kwadratów połączono tak, jak na rys. tworząc cztery trapezy. Wykaż, że suma pół
zamalowanych trapezów (I i II) jest równa sumie pół pozostałych dwóch trapezów (III i IV).
38. Zbuduj kwadrat, którego pole jest dwa razy większe od pola danego kwadratu.
39. Ile różnych (nieprzystających) trójkątów można ułożyć z 12 zapałek? Zapałek nie wolno łamać i każdy
trójkąt musi składać się z 12 zapałek.
4/4