Wydział Elektrotechniki i Automatyki

Politechnika Gdańska
Wydział Elektrotechniki i Automatyki
Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Teoria sterowania
Odpowiedzi i stabilność liniowych układów sterowania
Zadania do ćwiczeń laboratoryjnych – termin T2
Opracowanie:
Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż.
Robert Piotrowski, dr inż.
Wskazówki:
Jako materiały pomocnicze należy traktować materiały wykładowe z przedmiotów Teoria
sterowania, Modelowanie i identyfikacja oraz Modelowanie i podstawy identyfikacji z I
stopnia studiów.
Zadanie 1
Dany jest liniowy układ dyskretny opisany równaniem różnicowym postaci (zerowe warunki
początkowe):
I).
y k  1  0,95  y k   0,2  u k 
II).
y k  2   0,9  y k  1  0,4  y k   0,1  u k 
Wejściem u  k  do układu jest sygnał skoku jednostkowego postaci:
1 dla k  0
u k   
0 dla k  0
Wykonaj poniższe polecenia:
a)
Oblicz odpowiedź tego układu dla pięciu kolejnych próbek.
b)
Korzystając ze środowiska MATLAB sprawdź wyniki z punktu a kreśląc wejście i
odpowiedź układu.
Zadanie 2
Dane są układy opisane w przestrzeni stanu postaci:
I).
x 1 t   x 2 t 
x 2 t   x 1 t   u t 
y t   x 1 t   x 2 t 
II).
x 1 t   x 1 t 
x 2 t   x 1 t   x 2 t   u t 
y t   x 2 t 
2
III).
x 1 t   x 2 t 
x 2  t   2  x 1  t   3  x 2  t   u  t 
y t   x 1 t   x 2 t 
Przyjmując zerowe warunki początkowe, jednostkowe wejście skokowe i korzystając ze
środowiska MATLAB wykonaj poniższe polecenia:
a)
Wyznacz macierz tranzycji stanu i jej odpowiednik w dziedzinie operatora s.
b)
Oblicz odpowiedź stanu i wyróżnij składową swobodną i wymuszoną.
c)
Znajdź odpowiedź wyjścia.
d)
Wykreśl odpowiedzi uzyskane w punktach b) i c).
e)
Zinterpretuj uzyskane wyniki.
Zadanie 3
Dla systemu ZLK1, korzystając ze zlinearyzowanego modelu w przestrzeni stanu oraz
przykładowych danych liczbowych (patrz oddzielny plik) wykonaj następujące polecenia:
a)
Zbadaj stabilność wewnętrzną systemu.
b)
Korzystając z wyników uzyskanych w punkcie a odpowiedz na pytanie, czy system
ZLK1 jest asymptotycznie stabilny ? Odpowiedź krótko uzasadnij.
c)
Korzystając z wyników uzyskanych w punkcie a odpowiedz na pytanie, czy system
ZLK1 jest stabilny w sensie Lapunowa ? Odpowiedź krótko uzasadnij.
d) Przeprowadź analizę stabilności Lapunowa zlinearyzowanego systemu ZLK1 – znajdź
macierz P spełniającą równanie Lapunowa.
e)
Dla wybranego warunku początkowego i wejścia, korzystając ze środowiska
MATLAB, wykreśl przebieg zmiennych stanu oraz zależności między nimi.
f)
Zbadaj stabilność zewnętrzną systemu.
g)
Korzystając z wyników uzyskanych w punkcie f odpowiedz na pytanie, czy system
ZLK1 jest BIBO stabilny ? Odpowiedź krótko uzasadnij.
h)
Dla wybranego warunku początkowego i wejścia w postaci skoku jednostkowego,
korzystając ze środowiska MATLAB, wykreśl przebieg zmiennych stanu oraz wyjścia.
3
Zadanie 4
Dla systemu ZLK4, korzystając ze zlinearyzowanego modelu w przestrzeni stanu oraz
przykładowych danych liczbowych (patrz wykład z przedmiotu Modelowanie i identyfikacja –
II stopień studiów) wykonaj następujące polecenia:
a)
Zbadaj stabilność wewnętrzną systemu.
b)
Korzystając z wyników uzyskanych w punkcie a odpowiedz na pytanie, czy system
ZLK4 jest asymptotycznie stabilny ? Odpowiedź krótko uzasadnij.
c)
Korzystając z wyników uzyskanych w punkcie a odpowiedz na pytanie, czy system
ZLK4 jest stabilny w sensie Lapunowa ? Odpowiedź krótko uzasadnij.
d) Przeprowadź analizę stabilności Lapunowa zlinearyzowanego systemu ZLK4 – znajdź
macierz P spełniającą równanie Lapunowa.
e)
Dla wybranego warunku początkowego i wejścia, korzystając ze środowiska
MATLAB, wykreśl przebieg zmiennych stanu oraz zależności między nimi.
f)
Zbadaj stabilność zewnętrzną systemu.
g)
Korzystając z wyników uzyskanych w punkcie f odpowiedz na pytanie, czy system
ZLK4 jest BIBO stabilny ? Odpowiedź krótko uzasadnij.
h)
Dla wybranego warunku początkowego i wejścia w postaci skoku jednostkowego,
korzystając ze środowiska MATLAB, wykreśl przebieg zmiennych stanu oraz wyjścia.
4
Dodatek 1.
Dla analizy stabilności systemu liniowego stacjonarnego x t   Ax t , x0  x0
analiza energetyczna stabilności może być bardziej bezpośrednia. Jako funkcja
energetyczna Lapunowa może być zaproponowany funkcjonal postaci
n
V x   xT Px   pij xi x j
i , j 1
 
gdzie, P  pij - macierz symetryczna, tzn. pij  p ji
Tak zdefiniowana funkcja Lapunowa jest forma kwadratrową z macierzą symetryczną
P . Funkcja Lapunowa musi spełniać warunek dodatniej określoności, tzn.
V 0  0 i V x  0 dla x  0
Forma kwadratowa określona nad R n macierzą P jest dodatnio określona wtedy i
tylko wtedy, gdy P jest macierzą symetryczną dodatnio określoną. Macierz o
wymiarach n  n jest dodatnio określona, wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej
wartości własne są rzeczywiste i dodatnie, zatem musi zachodzić
0  min P  1  2    n  max P
 
Inną sposóbem sprawdzenia dodatniej okresloności macierzy symetrycznej P  pij
o wymiarach n  n jest sprawdzenie dodatniości wszystkich wyznaczników minorów
głównych tej macierzy, czyli spradzenie dodatniości
p
det  p11 , det  11
 p12
 p11
p12 
, det  p12

p22 
 p13
p12
p22
p23
 p11
 p
p13 
 12

p23 ,, det  

p33 
 p1, n 1
 p1n

p12 
p22 


p1,n 1
p2,n 1

 pn 1, n 1
p2 ,
p2 n 
pn 1, n
p1n 
p2 n 
 

pn 1, n 
pnn 
Gradient funkcji Lapunowa zatem
 V 
T

x   2x P
 x 
Pochodna funkcji Lapunowa po czasie wzdłuż trajektorii systemu przyjmie postać


V
x f x  2xT P A x  xT AT P x  xT PA x  xT AT P  PA x
V x  
x


(wykorzystano xT AT Px  xT PAx )
5
Wyrażenie określające V x  jest forma kwadratową z macierzą AT P  PA . Warunek
asymptotycznej stabilności stanu równowagi ~
x  0 sprowadza się zatem do istnienia
symetrycznej dodatnio określonej macierzy P  pij dla której macierz AT P  PA
jest ujemnie określona. Warunek istnienia takiej macierzy podaje następujące
twierdzenie.
 
Dla dowolnej dodatnio określonej macierzy Q równanie macierzowe Lapunowa
AT P  PA  Q
posiada jednoznaczne symetryczne dodatnio określone rozwiązanie P wtedy i tylko
wtedy, gdy wszystkie wartości własne macierzy A mają ujemne części rzeczywiste.
Nie zmniejszając ogólności można w równaniu Lapunowa macierz Q wybrać jako
macierz jednostkową.
6