Funkcje Lapunowa

Funkcje Lapunowa
1
Funkcje Lapunowa
Przykªad i zadania s¡ wzi¦te z ksi¡»ki: David Betounes,
Dierential Equ-
ations: Theory and Applications, drugie wydanie, Springer, New York, 2010.
Denicje i podstawowe twierdzenie
Niech
~y0 = ~f (~y),
czyli, w rozpisanej postaci,


y10


= f1 (y1 , . . . , yn )
n
= fn (y1 , . . . , yn )
..
(U)
.



y 0
b¦dzie ukªadem autonomicznych równa« ró»niczkowych zwyczajnych.
Zaªó»my »e funkcje
fj , 1 ¬ j ¬ n, maj¡ ci¡gªe pierwsze pochodne cz¡stkowe.
~y∗ b¦dzie punktem stacjonarnym (czyli ~f (~y∗ ) = ~0).
Funkcj¦ V , okre±lon¡ na pewnym otoczeniu U zawieraj¡cym punkt stacjonarny ~
y∗ , nazywamy funkcj¡ Lapunowa dla ukªadu (U) i punktu stacjonarnego
∗
~y , je±li speªnione s¡ nast¦puj¡ce warunki:
Niech
(1)
V
ma ci¡gªe pochodne cz¡stkowe pierwszego rz¦du na otoczeniu
(2)
V (~y∗ ) = 0,
oraz
V (~y) > 0
(3)
dla
n
X
~y ∈ U \ {~y∗ };
fj (~y)
j=1
dla
U;
∂V
(~y) ¬ 0
∂yj
~y ∈ U \ {~y∗ }.
Je±li zamiast (3) speªniony jest mocniejszy warunek
(3)∗
n
X
j=1
dla
fj (~y)
∂V
(~y) < 0
∂yj
~y ∈ U \ {~y∗ },
to mówimy, »e
stacjonarnego
V
~y∗ .
jest
±cisª¡ funkcj¡ Lapunowa
dla ukªadu (U) i punktu
(a) Je±li istnieje funkcja Lapunowa dla ukªadu (U) i punktu
stacjonarnego ~y∗ , to ~y∗ jest stabilny w sensie Lapunowa.
Twierdzenie.
Skompilowaª Janusz Mierczy«ski
2
(b)
Je±li istnieje ±cisªa funkcja Lapunowa dla ukªadu
narnego ~y∗ , to ~y∗ jest asymptotycznie stabilny.
(U)
i punktu stacjo-
Przykªad. Niech
~f (x, y, z) = (f (x, y, z), g(x, y, z), h(x, y, z)) := (y(z − 1), x(z + 1), −2xy).
Pocz¡tek ukªadu,
(0, 0, 0),
jest punktem stacjonarnym dla ukªadu
~y0 = ~f (~y).
Spróbujmy zastosowa¢ metod¦ linearyzacji: macierz Jacobiego w punkcie
(0, 0, 0)
ma posta¢


0 −1 0


J(0, 0, 0) = 1 0 0 ,
0 0 0
i wszystkie jej warto±ci wªasne (czyli 0, i,
−i) maj¡ zerowe cz¦±ci rzeczywiste.
Wobec powy»szego, twierdzenie Lapunowa o linearyzacji o niczym tu nie
rozstrzyga.
Rozwa»my funkcj¦
V (x, y, z) := x2 + y 2 + z 2 .
Šatwo zauwa»y¢, »e jej pochodne cz¡stkowe,
∂V /∂x = 2x, ∂V /∂y = 2y ,
∂V /∂z = 2z , s¡ ci¡gªe na caªym R , oraz »e V (0, 0, 0) = 0, i poza pocz¡tkiem
3
ukªadu przyjmuje warto±ci dodatnie. Wi¦c warunki (1) i (2) sa speªnione.
Sprawd¹my, czy speªniony jest warunek (3). Mamy
∂V
∂V
∂V
(x, y, z) + g(x, y, z)
(x, y, z) + h(x, y, z)
(x, y, z) =
∂x
∂y
∂z
= y(z − 1) · 2x + x(z + 1) · 2y + (−2xy) · 2z =
= 0.
f (x, y, z)
Punkt stacjonarny
(0, 0, 0)
jest zatem stabilny w sensie Lapunowa.
Zadania
W poni»szych zadaniach:
I. wykaza¢, »e
V
jest (by¢ mo»e, ±cisª¡) funkcj¡ Lapunowa dla danego
ukªadu równa« ró»niczkowych zwyczajnych
narnego
~y0 = ~f (~y)
i punktu stacjo-
~0,
oraz
II. sprawdzi¢, »e twierdzenie Lapunowa o linearyzacji nie rozstrzyga o stabilno±ci.
Funkcje Lapunowa
A-1.
~f (x, y) = (−x + 2xy 2 , −x2 y), V (x, y) = x2 + 2y 2 .
A-2.
~f (x, y) = (−x3 − 2xy 2 , x2 y − y 3 ), V (x, y) = x2 + x2 y 2 + y 4 .
A-3.
~f (x, y) = (−y − x3 − xy 2 , x − y 3 − x2 y), V (x, y) = x2 + y 2 .
A-4.
~f (x, y, z) = (−2y + yz, x − xz, xy), V (x, y, z) = x2 + 2y 2 + z 2 .
A-5∗∗ .
A-6∗ .
3
~f (x, y, z) = (−y(z + 2), x(z + 2), x(y − 1)), V (x, y, z) = x2 + y 2 .
~f (x, y) = (−y + xy − x3 − 1 xy 2 , −3y + xy + x2 y − 1 xy 2 ), V (x, y, z) =
2
2
3x2 − 2xy + y 2 .
2
2
Wsk. Mo»na wykorzysta¢ nierówno±¢ 2ab ¬ a + b dla a, b ∈ R.