Równania ró˙zniczkowe czastkowe rzedu pierwszego

Równania różniczkowe cza̧stkowe
rzȩdu pierwszego
1
Równania liniowe jednorodne
Rozważmy równanie
a1 (x1 , . . . , xn )
∂u
∂u
+ . . . + an (x1 , . . . , xn )
= 0,
∂x1
∂xn
(1)
gdzie ai , i = 1, . . . , n sa̧ dane, a funkcja u = u(x1 , . . . , xn ) jest nieznana.
Wprowadzaja̧c oznaczenie X = (x1 , . . . , xn ) równanie można zapisać w postaci
n
X
ai (X)
i=1
∂u
= 0.
∂xi
W przypadku n = 2 równanie (1) można zapisać
a(x, y)
∂u
∂u
+ b(x, y)
= 0,
∂x
∂y
(2)
gdzie a, b - dane funkcje, a u = u(x, y) - funkcja niewiadoma.
W przypadku n = 3 równanie (1) można zapisać
a(x, y, z)
∂u
∂u
∂u
+ b(x, y, z)
+ c(x, y, z)
= 0,
∂x
∂y
∂z
(3)
gdzie a, b, c - dane funkcje, a u = u(x, y, z) - funkcja niewiadoma.
Jeżeli u(X) jest rozwia̧zaniem równania (1) w pewnym obszarze D ⊂ Rn , to powierzchniȩ o
równaniu u = u(X) nazywamy powierzchnia̧ calkowa̧ tego równania w obszarze Ω ⊂ Rn+1 .
Uklad równań różniczkowych zwyczajnych
dx2
dxn
dx1
=
= ... =
a1 (X)
a2 (X)
an (X)
(4)
nazywamy ukladem równań w postaci symetrycznej odpowiadaja̧cemu równaniu (1). Równania (4)
nazywamy równaniami charakterystycznymi równania (1), a ich rozwia̧zania charakterystykami tego
równania.
Uklad (4) ma n − 1 niezależnych rozwia̧zań
ψ1 (X) = C1 , ψ2 (X) = C2 , . . . , ψn−1 (X) = Cn−1 .
Funkcje ψj = ψj (X), j = 1, 2, . . . , n − 1 nazywamy calkami pierwszymi ukladu (4). Tak wiȩc
uklad ten ma n − 1 niezależnych calek
ψ1 = ψ1 (X), ψ2 = ψ2 (X), . . . , ψn−1 = ψn−1 (X).
1
(5)
Równość
u = F (ψ1 , ψ2 , . . . , ψn−1 ),
gdzie F jest dowolna̧ funkcja̧ klasy C 1 , nazywamy rozwia̧zaniem ogólnym równania (1).
W przypadku równania (2) uklad (4) redukuje siȩ do jednego równania
dy
dx
=
.
a(x, y)
b(x, y)
Jeżeli ψ(x, y) jest calka̧ tego równania, to rozwia̧zaniem ogólnym równania (2) jest
u = F (ψ(x, y)),
gdzie F jest dowolna̧ funkcja̧ klasy C 1 .
Przyklad Znaleźć rozwia̧zanie ogólne równania
y
∂u
∂u
+x
= 0.
∂x
∂y
Mamy
dy
dx
= ,
y
x
ska̧d znajdujemy
x2 − y 2 = C,
ψ = x2 − y 2 ,
czyli rozwia̧zaniem ogólnym danego równania jest
u = F (x2 − y 2 ).
W przypadku równania (3) uklad (4) jest postaci
dy
dz
dx
=
=
.
a(x, y, z)
b(x, y, z)
c(x, y, z)
Jeżeli ψ1 (x, y, z) i ψ2 (x, y, z) sa̧ calkami tego ukladu, to rozwia̧zaniem ogólnym równania (3) jest
u = F (ψ1 (x, y, z), ψ2 (x, y, z)),
gdzie F jest dowolna̧ funkcja̧ klasy C 1 .
Przyklad Znaleźć rozwia̧zanie ogólne równania
x
∂u
∂u z ∂u
+y
+
= 0.
∂x
∂y 2 ∂z
Mamy
dx
dy
dz
=
= 1 ,
x
y
z
2
ska̧d znajdujemy
z2
= C2 ,
x
x
= C1 ,
y
wobec czego uklad ma dwie niezależne calki
ψ1 =
y
,
x
ψ2 =
2
z2
,
x
tak wiȩc rozwia̧zaniem ogólnym danego rówania jest
y z2
,
.
u=F
x x
Zagadnienie Cauchy’ego dla równania (1) polega na wyznaczeniu rozwia̧zania tego równania
spelniaja̧cego warunek pocza̧tkowy
u = ϕ(x2 , . . . , xn ),
x1 = x01 ,
(6)
gdzie x01 ∈ R.
Aby rozwia̧zać zagadnienie Cauchy’ego postȩpujemy wedlug schematu:
• do ukladu calek pierwszych (5) podstawiamy x1 = x01 i otrzymane funkcje oznaczamy przez ψ j ,
j = 1, 2, . . . , n − 1, czyli otrzymujemy uklad równań

ψ1 (x01 , x2 , . . . , xn ) = ψ 1



ψ2 (x01 , x2 , . . . , xn ) = ψ 2
...........................



ψn−1 (x01 , x2 , . . . , xn ) = ψ n−1
• rozwia̧zujemy powyższy uklad wzglȩdem xi , i = 2, 3, . . . , n

x
=
ω
ψ
,
ψ
,
.
.
.
,
ψ

2
2
1
2
n−1 

x3 = ω3 ψ 1 , ψ 2 , . . . , ψ n−1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



xn = ωn ψ 1 , ψ 2 , . . . , ψ n−1
• podstawiamy do równości (6) zamiast xi funkcje ωi , zastȩpuja̧c ψ j przez ψj , otrzymujemy
u = ϕ (ω2 (ψ1 , . . . , ψn−1 ), . . . , ωn (ψ1 , . . . , ψn−1 )) ,
co daje szukane rozwia̧zanie zagadnienia Cauchy’ego.
W przypadku n = 2 warunek (6) można zapisać w postaci
u = ϕ(y),
x = x0 ,
a w przypadku n = 3 w postaci
u = ϕ(y, z),
gdzie x0 ∈ R.
Przyklad
x = x0 ,
Znaleźć rozwia̧zanie zagadnienia Cauchy’ego
y
∂u
∂u
+x
= 0,
∂x
∂y
y > 0,
u = 2y,
x = 0.
Calka pierwsza tego równania ma postać
ψ = x2 − y 2 .
Na rozwia̧zanie zagadnienia Cauchy’ego otrzymujemy wiȩc równanie
−y 2 = ψ,
3
ska̧d
q
−ψ.
y=
Zatem poszukiwane rozwia̧zanie jest postaci
p
u = 2 −ψ
lub
p
u(x, y) = 2 y 2 − x2 .
Przyklad
Znaleźć rozwia̧zanie zagadnienia Cauchy’ego
x
∂u z ∂u
∂u
+y
+
= 0,
∂x
∂y 2 ∂z
u = y + z2,
x = 1.
Calkami pierwszymi tego równania sa̧
ψ1 =
y
,
x
ψ2 =
z2
.
x
Na rozwia̧zanie zagadnienia Cauchy’ego otrzymujemy wiȩc uklad równań
y = ψ1
z2 = ψ2
q
ska̧d y = ψ 1 , z = ± ψ 2 .
Tak wiȩc poszukiwanym rozwia̧zaniem jest
u = ψ1 + ψ2
lub
u(x, y, z) =
2
y + z2
.
x
Równanie quasi-liniowe
Rozważmy równanie
a1 (x1 , . . . , xn , u)
∂u
∂u
+ . . . + an (x1 , . . . , xn , u)
= f (x1 , . . . , xn , u),
∂x1
∂xn
(7)
gdzie ai , i = 1, . . . , n i f sa̧ dane, a funkcja u = u(x1 , . . . , xn ) jest nieznana.
Wprowadzaja̧c oznaczenie X = (x1 , . . . , xn ) równanie można zapisać w postaci
n
X
i=1
ai (X, u)
∂u
= f (X, u).
∂xi
W przypadku n = 2 równanie (7) można zapisać
a(x, y, u)
∂u
∂u
+ b(x, y, u)
= f (x, y, u),
∂x
∂y
gdzie a, b, f - dane funkcje, a u = u(x, y) - funkcja niewiadoma.
4
(8)
W przypadku n = 3 równanie (7) można zapisać
a(x, y, z, u)
∂u
∂u
∂u
+ b(x, y, z, u)
+ c(x, y, z, u)
= f (x, y, z, u),
∂x
∂y
∂z
(9)
gdzie a, b, c, f - dane funkcje, a u = u(x, y, z) - funkcja niewiadoma.
Jeżeli u(X) jest rozwia̧zaniem równania (7) w pewnym obszarze D ⊂ Rn , to powierzchniȩ o
równaniu u = u(X) nazywamy powierzchnia̧ calkowa̧ tego równania w obszarze Ω ⊂ Rn+1 .
Uklad równań różniczkowych zwyczajnych
dx1
dx2
dxn
du
=
= ... =
=
a1 (X, u)
a2 (X, u)
an (X, u)
f (X, u)
(10)
nazywamy ukladem równań w postaci symetrycznej odpowiadaja̧cemu równaniu (7). Równania (10)
nazywamy równaniami charakterystycznymi równania (7), a ich rozwia̧zania charakterystykami tego
równania.
Uklad (9) ma n niezależnych rozwia̧zań
ψ1 (X, u) = C1 , ψ2 (X, u) = C2 , . . . , ψn (X, u) = Cn .
Funkcje ψj = ψj (X, u), j = 1, 2, . . . , n nazywamy calkami pierwszymi ukladu (10). Tak wiȩc
uklad ten ma n niezależnych calek
ψ1 = ψ1 (X, u), ψ2 = ψ2 (X, u), . . . , ψn = ψn (X, u).
(11)
Równość
Ψ(ψ1 , ψ2 , . . . , ψn ) = 0,
gdzie Ψ jest dowolna̧ funkcja̧ klasy C 1 , nazywamy rozwia̧zaniem ogólnym równania (7) w postaci
uwiklanej. Rozwia̧zuja̧c je wzglȩdem u otrzymamy rozwia̧zanie w postaci jawnej.
Przyklad Znaleźć rozwia̧zanie ogólne równania
x
∂u
∂u
−u
= 0.
∂x
∂y
Mamy
dx
dy
du
=
=
,
x
−u
0
ska̧d
du = 0,
u = C1 ,
dx
dy
y
=
,
ln x = −
+ C2 ,
x
−C1
C1
wobec czego calkami pierwszymi tego równania sa̧
ψ1 = u,
y
ψ2 = ln x + ,
u
czyli rozwia̧zaniem ogólnym danego równania jest
y
Ψ u, ln x +
= 0.
u
Przyklad
Znaleźć rozwia̧zanie ogólne równania
x
ln x +
∂u
∂u
+ (y + x2 )
= u.
∂x
∂y
5
y
= C2 ,
u
Mamy
dy
dx
du
=
,
=
x
y + x2
u
ska̧d
dx
dy
=
,
x
y + x2
y − x2
= C1 ,
x
y = x(C1 + x),
dx
du
u
=
,
= C2 ,
x
u
x
wobec czego calkami pierwszymi tego równania sa̧
ψ1 =
y − x2
,
x
u
= C2 ,
x
ψ2 =
u
,
x
czyli rozwia̧zaniem ogólnym danego równania jest
y − x2 u
Ψ
,
= 0.
x
x
Zagadnienie Cauchy’ego dla równania (7) polega na wyznaczeniu rozwia̧zania tego równania
spelniaja̧cego warunek pocza̧tkowy
u = ϕ(x2 , . . . , xn ),
x1 = x01 ,
(12)
gdzie x01 ∈ R.
Aby rozwia̧zać zagadnienie Cauchy’ego postȩpujemy wedlug schematu:
• do ukladu calek pierwszych (11) podstawiamy x1 = x01 i otrzymane funkcje oznaczamy przez
ψ j , j = 1, 2, . . . , n − 1, czyli otrzymujemy uklad równań

ψ1 (x01 , x2 , . . . , xn , u) = ψ 1



ψ2 (x01 , x2 , . . . , xn , u) = ψ 2
.........................



ψn (x01 , x2 , . . . , xn , u) = ψ n
• rozwia̧zujemy powyższy uklad wzglȩdem xi , i = 2, 3, . . . , n i u

x2 = ω2 ψ 1 , ψ 2 , . . . , ψ n 



 x3 = ω3 ψ 1 , ψ 2 , . . . , ψ n
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


x = ωn ψ 1 , ψ 2 , . . . , ψ n


 n
u = ω ψ1, ψ2, . . . , ψn
• podstawiamy do równości (12) zamiast xi funkcje ωi , a zamiast u funkcjȩ ω, zastȩpuja̧c ψ j
przez ψj , otrzymujemy
ω = ϕ (ω2 (ψ1 , . . . , ψn ), . . . , ωn (ψ1 , . . . , ψn )) ,
co daje szukane rozwia̧zanie zagadnienia Cauchy’ego.
Przyklad
Znaleźć rozwia̧zanie zagadnienia Cauchy’ego
x
∂u
∂u
+ (y + x2 )
= u,
∂x
∂y
u(y) = y − 4,
6
x = 2.
Calkami pierwszymi tego równania sa̧
ψ1 =
y − x2
,
x
ψ2 =
u
.
x
Na rozwia̧zanie zagadnienia Cauchy’ego otrzymujemy wiȩc uklad równań
y−4
= ψ1,
2
u
= ψ2
2
ska̧d y = 2ψ 1 + 4, u = 2ψ 2 .
Podstawiaja̧c wartości y i u do wzoru u = y − 4 otrzymamy
2ψ2 = 2ψ1 + 4 − 4,
u
y − x2
=
,
x
x
ψ2 = ψ1 ,
wobec czego poszukiwanym rozwia̧zaniem jest
u(x, y) = y − x2 .
Zagadnienie Cauchy’ego można też stawiać na krzywej określonej parametrycznie. Pokażemy to
w przypadku n = 2 i równania (8).
Niech dana krzywa l0 ma równanie wektorowe
~r(t) = [x0 (t), y0 (t), u0 (t)],
gdzie x0 (t), y0 (t), u0 (t) ∈ C 1 dla t ∈ [α; β] ⊂ R.
Zagadnienie Cauchy’ego polega na wyznaczeniu rozwia̧zania równania (9), które spelnia warunek
t ∈ [α; β].
u(x0 (t), y0 (t)) = u0 (t),
Przyklad
Znaleźć rozwia̧zanie zagadnienia Cauchy’ego
∂u
∂u
+ 2x
= u,
∂x
∂y
~r(t) = [0, t2 , t],
t ∈ R.
Równania charakterystyczne maja̧ postać
dx =
dy
du
=
,
2x
u
a wiȩc calki pierwsze sa̧ postaci
ue−x = C2 .
x2 − y = C1 ,
Przyjmuja̧c x = 0, y = t2 , u = t, obliczamy C1 = −t2 , C2 = t, zatem
x2 − y = −t2 ,
ue−x = t.
Eliminuja̧c parametr t otrzymujemy równanie szukanej powierzchni
x2 − y = −u2 e−2x ,
czyli rozwia̧zanie postawionego zagadnienia.
7
(13)