Elementy teorii zbiorów i relacji

Wprowadzenie do logiki i teorii rozumowań
Cześć
˛ 2: Elementy teorii zbiorów i relacji
Rafał Gruszczyński
Katedra Logiki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika
2016/2017
Spis treści
1
Zbiory
2
Pary uporzadkowane
˛
3
Relacje
Zbiory dystrybutywne i kolektywne
Dwa rodzaje zbiorów:
dystrybutywne
kolektywne
Zbiory dystrybutywne sa˛ podstawowymi obiektami badanymi
w matematyce.
Przedmiotem tej cześci
˛ zajeć
˛ sa˛ zbiory w sensie
dystrybutywnym.
Czym sa˛ zbiory dystrybutywne?
Kolekcje obiektów
Obiekty abstrakcyjne
Zbiory skończone i nieskończone
Definicja
Zbiorem skończonym nazywamy taki zbiór, którego liczbe˛ elementów można wyrazić za pomoca˛ pewnej liczby naturalnej.
Definicja
Zbiorem nieskończonym nazywamy zbiór, który ma co najmniej tyle
elementów ile jest wszystkich liczb naturalnych.
Singletony
Przypomnijmy, że zgodnie ze standardowa˛ notacja,
˛
{x1 , . . . , xn } jest zbiorem złożonym z obiektów x1 , . . . , xn . Jest
to zbiór skończony złożony z n elementów.
{x } jest jednoelementowym zbiorem złożonym z x i jest czymś
innym niż sam obiekt x, tzn. x , {x }.
Zbiór {x } nazywać bedziemy
˛
singletonem x-a.
Singletony
Przykład
Liczba 1 jest czymś innym zaś jednoelementowy zbiór
złożony z 1, czyli {1}: 1 , {1}.
Podobnie, miasto Toruń jest czymś innym niż zbiór {Toruń},
tzn. Toruń , {Toruń}.
Zbiór pusty
Szczególnym zbiorem jest tzw. zbiór pusty, czyli zbiór nie
majacy
˛ żadnych elementów.
Zbiór ten oznaczamy (standardowo) za pomoca˛ symbolu ‘∅’.
Ćwiczenie
Czym różni sie˛ ∅ od zbioru {∅}?
Elementy zbioru i operator abstrakcji
Fakt, że obiekt a należy do zbioru A zapisujemy w
standardowy sposób jako ‘a ∈ A ’.
{x | ϕ(x )} jest zbiorem wszystkich obiektów spełniajacych
˛
pewien dany warunek ϕ.
{. . . | . . .} określamy mianem operatora abstrakcji.
Zbiory – operator abstrakcji
Ćwiczenie
Z jakich elementów składaja˛ sie˛ poniższe zbiory?
{x | x jest człowiekiem} jest zbiorem wszystkich ludzi.
{x | x jest liczba˛ naturalna˛} jest zbiorem wszystkich liczb
naturalnych, zbiór ten oznaczamy za pomoca˛ litery ‘Ž’.
{x | x ∈ Ž i x > 1 i x dzieli sie˛ tylko przez 1 oraz x } jest
zbiorem wszystkich liczb pierwszych.
{x | x jest studentem UMK} jest zbiorem wszystkich studentów
UMK.
Zasada ekstensjonalności dla zbiorów
Zasada ekstensjonalności
Jeżeli zbiory X oraz Y maja˛ te same elementy, to X = Y .
Ćwiczenie
{2, 3}
{1, 2}
{{∅}}
{1, 1}
{1, {1, 2}}
∅
=
=
,
=
,
=
{1 + 1, 2 + 1}
{2, 1}
{∅}
{1}
{2, {1, 2}}
{x | x jest ujemna˛ liczba˛ naturalna˛}
Para uporzadkowana
˛
Definicja
Para˛ uporzadkowan
˛
a˛ złożona˛ z elementów x oraz y
nazywamy obiekt matematyczny, w którym istotna jest
kolejność owych elementów.
Pare˛ uporzadkowan
˛
a˛ złożona˛ z x oraz y zapisujemy jako
‘hx , y i’.
Zgodnie z powyższa˛ charakterystyka˛ podstawowa˛ własność par
uporzadkowanych
˛
możemy wyrazić w postaci poniżej
równoważności:
hx1 , y1 i = hx2 , y2 i wtw x1 = x2 oraz y1 = y2 .
Para uporzadkowana
˛
Ćwiczenie
h2, 3i
hWarszawa, Polskai
h2, 3i
h0, 0i
h∅, ∅i
h2, 1i
=
,
,
=
,
,
h1 + 1, 2 + 1i
h‘Warszawa’, Polskai
h‘2’, ‘3’i
h0, 0i
h∅, {∅}i
h1, 2i
Pary uporzadkowane
˛
Uwaga
W matematyce pare˛ uporzadkowan
˛
a˛ złożona˛ z elementów x oraz y
definiujemy w nastepuj
˛ acy
˛ sposób:
n
o
hx , y i B {x }, {x , y } .
Dowodzi sie,
˛ że tak dla tak zdefiniowanej pary uporzadkowanej
˛
zachodzi wspomniana wcześniej własność:
hx1 , y1 i = hx2 , y2 i wtw x1 = x2 oraz y1 = y2 .
Pary uporzadkowane
˛
Uwaga
Poza pojeciem
˛
pary uporzadkowanej
˛
definiujemy pojecie
˛
trójki
uporzadkowanej,
˛
pojecie
˛
czwórki uporzadkowanej
˛
etc. etc.
Trójke˛ uporzadkowan
˛
a˛ złożona˛ z obiektów x, y oraz z
zapisujemy w postaci ‘hx , y , z i’.
Analogicznie, hw , x , y , z i to czwórka uporzadkowana
˛
złożona
z obiektów w, x, y oraz z.
Relacje
Problem
Co to jest relacja?
Matematyczne pojecie
˛
relacji
Relacja˛ dwuargumentowa˛ nazywamy dowolny zbiór złożony z
par uporzadkowanych.
˛
Relacja˛ n-argumentowa˛ nazywamy dowolny zbiór złożony z
n-tek uporzadkowanych.
˛
Ćwiczenie
Czy zbiór {h1, 2i, h2, 3i} jest relacja˛ (w sensie matematycznym)?
Matematyczne pojecie
˛
relacji
Uwaga
Relacja w sensie matematycznym określona jest zawsze w
pewnym, z góry zadanym zbiorze.
Zatem, mówiac
˛ np. o dwuargumentowej relacji wiekszości
˛
miedzy
˛
liczbami, musimy określić o jakim zbiorze liczb
mówimy.
Tak wiec
˛ mamy relacje˛ wiekszości
˛
miedzy
˛
liczbami
naturalnymi, relacje˛ wiekszości
˛
miedzy
˛
liczbami wymiernymi
etc. etc.
Matematyczne pojecie
˛
relacji
Problem
Podaj kilka przykładów relacji dwuargumentowych.
Podaj przykład relacji trójargumentowej.
Podaj przykład relacji czteroargumentowej.
Matematyczne pojecie
˛
relacji
Problem
Co maja˛ ze soba˛ wspólnego poniższe pary?
hRomeo, Juliai, hOrfeusz, Eurydykai, hPenelopa, Odyseuszi
hMichał Wołodyjowski, Barbara Wołodyjowskai,
hZbyszko, Danusiai, hDon Kichot, Dulcyneai, hTristan, Izoldai
Matematyczne pojecie
˛
relacji
Ćwiczenie
Ustalmy zbiór ludzi jako uniwersum rozważań. Czym sa˛ poniższe
relacje?
relacja kochania B {hx , y i | x kocha y-a}
relacja przyjaźni B {hx , y i | x jest przyjacielem y-a}
relacja pośredniczenia
B {hx , y , z i | x pośredniczy miedzy
˛
y-iem a z-em}