Schemat oceniania Nr zad Rozwiązanie Liczba pkt Suma pkt 1. x

Schemat oceniania
Nr Rozwiązanie
zad
1.
y
z
x
x – początkowa ilość wody w beczce
czerwonej (l)
y – początkowa ilość wody w beczce
białej(l)
z – początkowa ilość wody w beczce
zielonej (l)
x + y + z = 45
2x
1,25y
oznaczenie niewiadomych
i zapisanie równania
opisującego sumę ilości
wody w trzech beczkach
Uwaga
Uczeń nie musi
wprowadzać trzeciej
niewiadomej zamiast
z może zapisać
x + 0,25y
Liczba
pkt
0–1
zapisanie wyrażeń
opisujących ilości wody
w beczkach czerwonej
i białej po przelaniu do
nich wody z beczki
zielonej
0–1
zapisanie wyrażeń
opisujących końcowe
ilości wody
w beczkach czerwonej
i białej
0–1
zapisanie równania
opisującego zależność
między ilością wody
w beczkach czerwonej
i białej oraz ustalenie
zależności między
początkową ilością wody
w tych beczkach
wyznaczenie początkowej
ilości wody w beczce
czerwonej lub białej
0–1
z = x +0,25y
2x+0,1·1,25y
0,9 ·1,25y
2x+0,1·1,25y = 0,9·1,25y
2x + 0,125y = 1,125y
2x = y
x + y + x + 0,25y = 45
2x + 1,25y = 45
2x + 2,5x = 45
4,5x = 45
x = 10 (l)
y = 20 (l)
z = 15 (l)
wyznaczenie początkowej
ilości wody w pozostałych
beczkach i poprawność
rachunkowa
w całym zadaniu
0–1
0–1
Suma
pkt
0–6
Nr Rozwiązanie
zad
2.
wskazanie odcinków
o równych długościach
Liczba
pkt
0–1
α
180o -α
AB = FC i BE = CE
∠FCE = 120 o + α
∠ABE = 360 o − ( 180 o − α + 60 o ) = 120 o + α
uzasadnienie równości
miar kątów FCE i ABE
0–1
wskazanie trójkątów
przystających oraz
wynikającej z
przystawania trójkątów
równości długości
odpowiednich odcinków
0–1
∠FCE = ∠ABE
bkb
∆AEB ≡ ∆FEC
⇓
AE = EF
Suma
pkt
0–3
Nr
zad
3.
I
sp.
Rozwiązanie
V1 – objętość ostrosłupa ABCDS
V2 - objętość ostrosłupa EFGHS
Ostrosłup EFGHS
jest podobny do ostrosłupa ABCDS w skali
V
1
1
k = , czyli 2 =
2
V1 8
1
V2 = V1
8
V - objętość ostrosłupa ściętego ABCDEFGH
V = V1 – V2
1
7
V = V1 − V1 = V1
8
8
7
V1 = 126
8
8
V1 = 126 ⋅
7
V1 = 144
S
H 2
H
Zauważenie, że ostrosłup
EFGHS jest podobny do
ostrosłupa ABCDS w skali
1
k = i zapisanie
2
zależności między ich
objętościami
Liczba
pkt
0–1
Zapisanie związku między
objętościami ostrosłupa
ściętego i ostrosłupa
ABCDS oraz wyznaczenie
objętości ostrosłupa
ABCDS
0–1
Wykorzystanie własności
trójkąta równoramiennego
prostokątnego
0–1
Zapisanie wyrażenia
opisującego objętość
ostrosłupa ABCDS w
zależności od H
0–1
Obliczenie H
0–1
Obliczenie sumy długości
krawędzi ostrosłupa
ABCDS
0–1
45o
W
H
C
H – wysokość ostrosłupa ABCDS
a – krawędź podstawy ostrosłupa ABCDS
2H – dł. przekątnej kwadratu o boku dł. a,
czyli 2 H = a 2
1
Pp = ⋅ 2 H ⋅ 2 H = 2 H 2
2
1
V1 = ⋅ Pp ⋅ H
3
1
V1 = ⋅ 2 H 2 ⋅ H
3
2
V1 = H 3
3
2 3
H = 144
3
3
H 3 = 144 ⋅
2
3
H = 216
H =6
12 = a 2
12
a=
= 6 2 - dł. krawędzi podstawy
2
H 2 = 6 2 - dł. krawędzi bocznej
8 ⋅ 6 2 = 48 2 - suma dł. wszystkich
krawędzi
Suma
pkt
0–6
Nr Rozwiązanie
zad
S
3.
II
sp.
0,5 x
T
Wykazanie, że odcinek TG
jest 2 razy krótszy od
odcinka WC (zastosowanie
tw. Talesa lub własności
trójkątów podobnych)
G
Liczba
pkt
0–1
45o
W
ST
SW
ST
SW
=
=
C
x
TG
WC
TG
1
1
1
, czyli
= , stąd TG = WC
2
WC 2
2
Wykorzystanie własności
trójkąta równoramiennego
prostokątnego
0–1
Zapisanie wyrażeń
opisujących objętości
ostrosłupów ABCDS
i EFGHS
0–1
Zapisanie wyrażenia
opisującego objętość
ostrosłupa ściętego
ABCDEFGH
0–1
7 3
x = 126
12
12
x 3 = 126 ⋅
7
3
x = 216
x=6
Ułożenie równania
i wyznaczenie x
0–1
12 = a 2
12
a=
= 6 2 - dł. krawędzi podstawy
2
H 2 = 6 2 - dł. krawędzi bocznej
8 ⋅ 6 2 = 48 2 - suma dł. wszystkich
krawędzi
Obliczenie sumy długości
krawędzi ostrosłupa
ABCDS
0–1
S
x 2
x
45o
W
x
C
H – wysokość ostrosłupa ABCDS
H=x
a – krawędź podstawy ostrosłupa ABCDS
2x = a 2
x 2 - dł. krawędzi bocznej ostrosłupa ABCDS
V1 – objętość ostrosłupa ABCDS
V2 - objętość ostrosłupa EFGHS
1 1
2
V1 = ⋅ ⋅ 2 x ⋅ 2 x ⋅ x = x 3
3 2
3
1 1
1
1 3
V2 = ⋅ ⋅ x ⋅ x ⋅ x =
x
3 2
2
12
V - objętość ostrosłupa ściętego ABCDEFGH
V = V1 – V2
2
1
7
V1 = x 3 − x 3 = x 3
3
12
12
Suma
pkt
0–6