Przed maturą 2016 - 3

Ćwiczenia przed maturą 2016 - 3
(1) Naszkicuj wykresy funkcji w przedziale h0, 2πi:
a) f (x) = | sin 2x − 0, 5|
b) f (x) = 3 cos(x − π3 ) + 1
W obu przypadkach wyznacz liczbę rozwiązań równania f (x) = m w zależności od
rzeczywistej wartości parametru m.
(2) Ile jest liczb 4-cyfrowych, w których iloczyn cyfr wynosi 0?
(3) W pewnym mieście 85% taksówek jest zielonych (reszta to taksówki niebieskie). W nocy doszło do wypadku z udziałem jednej taksówki - świadek zeznał, że taksówka była
niebieska, a późniejsze eksperymenty wykazały, że w takich warunkach ów świadek poprawnie rozpoznaje kolor taksówki w 80% przypadków. Oblicz prawdopodobieństwo, że
świadek zezna, że taksówka była niebieska oraz oblicz prawdopodobieństwo, że taksówka
rzeczywiście była niebieska pod warunkiem, że świadek zeznał, że owa taksówka była
niebieska.
(4) Rozwiąż równanie i nierówność:
a) sin x + cos x = −1 dla x ∈ R
b) cos 2x < 12 dla x ∈ h−π, πi
(5) Dany jest czworokąt ABCD, gdzie A(7, 1), B(5, 5), C(2, 6), D(−2, 4).
a) Wykaż, że na tym czworokącie można opisać okrąg.
b) Oblicz pole tego czworokąta.
c) Wyznacz obraz odcinka AC w jednokładności
√ o środku S(−1, 4) i skali k = 3
(6) W trapez równoramienny o przekątnej długości 41 i obwodzie 20 można wpisać okrąg.
Oblicz pole tego trapezu. (
|x + 4| − 3 x ≤ 0
(7) Dana jest funkcja f (x) =
log 1 x
x>0
3
Dla jakich wartości m równanie f (x) = m ma dokładnie dwa rozwiązania, których
iloczyn jest liczbą ujemną?
(8) Jaką największą objętość może mieć graniastosłup prawidłowy czworokątny wpisany w
stożek, którego przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym o boku długości 4?
Edukacja Karol Suchoń
www.karolsuchon.pl
[email protected]
Odpowiedzi:
(1) a) 0 rozwiązań dla m ∈ (−∞, 0) ∪ ( 23 , +∞), 2 rozwiązania dla m = 32 , 4 rozwiązania dla
m ∈ ( 12 , 23 ) ∪ {0}, 6 rozwiązań dla m = 21 , 8 rozwiązań dla m ∈ (0, 12 ).
b) 0 rozwiązań dla m ∈ (−∞, −2) ∪ (4, +∞), 1 rozwiązanie dla m = −2 lub m = 4, 2
rozwiązania dla m ∈ (−2, 25 ) ∪ ( 25 , 4), 3 rozwiązania dla m = 25 .
(2) 3439. Od liczby wszystkich liczb czterocyfrowych (9·103 ) odejmujemy liczbę takich, które
nie zawierają zera (94 ).
12
29
oraz 29
.
(3) 100
(4) a) x = − π2 + 2kπ lub x = π + 2kπ, k ∈ C
π π
π
b) x ∈ h−π, − 5π
6 ) ∪ (− 6 , 6 ) ∪ ( 6 , πi.
(5) a) Sprawdzamy, czy punkt D spełnia równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC lub
czy symetralne wszystkich boków przecinają się w jednym punkcie. Można też sprawdzić,
czy przeciwległe kąty mają takie miary, że ich suma wynosi 180◦ (ich kosinusy są liczbami
przeciwnymi), b) 20, c) A0 (23, −5); C 0 (8, 10).
(6) 20
(7) m ∈ {−3} ∪ √(1, +∞).
√
(8) VM AX = 12827 3 dla a = 4 3 2 .
Edukacja Karol Suchoń
www.karolsuchon.pl
[email protected]