ELEMENTY MECHANIKI ANALITYCZNEJ

ELEMENTY MECHANIKI ANALITYCZNEJ
Rozpatrujemy układ o wielu stopniach swobody, np. układ złożony z p punktów materialnych. Na układ mogą być
nałożone więzy.
z
Pi
punkt materialny
o masie mi
ri
zi
y
O
Układ swobodny składający się z p punktów materialnych
xi
x
yi
Współrzędne dowolne:
np.: wektorowe
kartezjańskie (prostokątne)
Współrzędne uogólnione:
ri [ xi , y i , z i ] ,
xi , y i , z i
qi ,
gdzie
i = 1,2,..., p
i = 1,2,..., p
i = 1,2,..., s ,
przy czym:
s = n − w - liczba stopni swobody
w
- liczba więzi
n
- liczba współrzędnych
Współrzędne uogólnione są to współrzędne niezależne od siebie,
opisujące jednoznacznie położenie układu w przestrzeni
(jest to minimalna liczba współrzędnych potrzebnych do opisu położenia układu)
Prof. Edmund Wittbrodt
Siły uogólnione
Siły uogólnione Q j są to wielkości spełniające równanie
s
δL = ∑ Q j δq j ,
j=1,2,...s,
j =1
gdzie: δL – praca przygotowana układu, δq j – przesunięcie przygotowane, zgodne z j-tą współrzędną uogólnioną, Q j – j-ta
siła uogólniona, zgodna z j-tą współrzędną uogólnioną, s – liczba stopni swobody (współrzędnych uogólnionych).
Siłę uogólnioną możemy wyznaczyć z następującej zależności
p
Q j = ∑ ( Pxi
i =1
∂xi
∂y
∂z
+ Pyi i + Pzi i ) ,
∂q j
∂q j
∂q j
j=1,2,...s,
gdzie: Pxi , Pyi , Pzi – rzuty siły działającej na i-ty punkt, xi , y i , z i – współrzędne prostokątne i-tego punktu, q j – j-ta
współrzędna uogólniona, s – liczba stopni swobody układu, p – liczba punktów układu.
Siła uogólniona w zachowawczym polu sił jest równa
Qj = −
∂V
,
∂q j
j=1,2,...s
gdzie: V – energia potencjalna układu, podawana jako funkcja współrzędnych uogólnionych.
Prof. Edmund Wittbrodt
Równowaga w zachowawczym polu sił
Jeżeli na układ materialny o więzach idealnych działa zachowawcze pole sił, to jest on w równowadze wtedy, gdy jego
energia potencjalna przyjmuje wartość ekstremalną
∂V
= 0,
∂q j
j=1,2,...s
gdzie: V – energia potencjalna układu, podawana jako funkcja współrzędnych uogólnionych, s – liczba stopni swobody
układu.
Zasada Dirichleta:
Jeżeli na nieswobodny układ materialny działa zachowawcze pole sił, wówczas położenie, w którym energia potencjalna
tego układu osiąga minimum, jest położeniem równowagi stałej.
Prof. Edmund Wittbrodt
Ogólne równanie dynamiki analitycznej
Równania dynamiki, z uwzględnieniem sił reakcji więzów, w postaci
mi &r&i = Pi + Ri ,
i = 1,2,....., p
mi &x&i = Pxi + R xi ,
lub:
mi &y&i = Pyi + R yi
mi &z&i = Pzi + R zxi ,
pomnożymy skalarnie przez
δ ri
, lub odpowiednio przez
p
∑ ( Pi + Ri − m &r&i ) ⋅ δri = 0
i =1
δ xi , δ yi , δ zi
p
lub
∑ [(P
i =1
xi
i = 1,2,....., p
oraz zsumujemy stronami. Wtedy otrzymujemy
+ R xi − mi &x&i )δxi + ( Pyi + R yi − mi &y&i )δy i + ( Pzi + R zi − mi &z&i )δz i ] = 0 .
Natomiast dla układów z więzami holonomicznymi, idealnymi i dwustronnymi, zachodzą związki:
p
∑ ( Pi − mi &r&i ) ⋅ δri = 0
i =1
p
lub
∑ [(P
i =1
xi
− mi &x&i )δxi + ( Pyi − mi &y&i )δy i + ( Pzi − mi &z&i )δz i ] = 0 ,
gdzie: Pi [ Pxi , Pyi , Pzi ] – siła działająca na i-ty punkt, δri [δxi , δy i , δz i ] – przesunięcie przygotowane i-tego punktu, &r&i = a i –
przyspieszenie i-tego punktu, p – liczba punktów materialnych.
Równania te, sformułowane przez Lagrange’a, przedstawiają zasadę d’Alemberta dla układu punktów materialnych o
więzach idealnych, holonomicznych i dwustronnych w układzie inercjalnym. Noszą one również nazwę ogólnych równań
dynamiki analitycznej.
Prof. Edmund Wittbrodt
Równania Lagrange’a II rodzaju
Równania Lagrange’a II rodzaju mają postać
d ∂E ∂E ∂D ∂V
−
+
+
= Qj ,
dt ∂q& j ∂q j ∂q& j ∂q j
gdzie:
j = 1,2,....., s
E – energia kinetyczna układu,
D – funkcja dyssypacji energii układu (prędkość rozpraszania energii mechanicznej),
V – energia potencjalna układu,
Qj – siła uogólniona (niepotencjalna i niedyssypatywna część siły czynnej) działająca w kierunku j-tej współrzędnej
uogólnionej,
q j – j-ta współrzędna uogólniona,
q& j – j-ta prędkość uogólniona (zgodna z j-tą współrzędną uogólnioną),
s – liczba stopni swobody układu.
Prof. Edmund Wittbrodt