dv m W dt =
Transkrypt
dv m W dt =
Zasada energii i pracy punktu materialnego Równanie (4.1), opisujące ruch punku materialnego A, możemy przekształcić następująco W punkt w położeniu s1 v1 2 ds 1 styczna do toru punkt w położeniu s2 v2 s2 s1 Zasada energii i pracy punktu materialnego skąd m dv =W dt m ds ⋅ dv = W ⋅ ds dt ⋅ds , lub mv ⋅ dv = W ⋅ ds . Prof. Edmund Wittbrodt Po scałkowaniu powyższego równania otrzymujemy v2 s2 v1 s1 ∫ mv ⋅ dv = ∫ W ⋅ ds , a ostatecznie E2 − E1 = L1,2 , (4.21) s2 1 2 E = mv – energia kinetyczna punktu materialnego, L1,2 = ∫ W ⋅ ds – praca sił działających na punkt na drodze gdzie: 2 s1 od s1 do s2. Twierdzenie Przyrost energii kinetycznej punktu materialnego równy jest pracy sił działających na ten punkt na drodze, jaką punkt ten przebył. Prof. Edmund Wittbrodt Różniczkując wyrażenie (4.21) względem czasu otrzymujemy wyrażenie dE d = L1, 2 , dt dt co możemy zapisać E& = N gdzie: , E& N =W ⋅ – pochodna energii kinetycznej względem czasu, ds =W ⋅v dt – moc siły Powyższe równanie nosi nazwę różniczkowej postaci zasady energii. Prof. Edmund Wittbrodt W najczęściej występujących w praktyce przypadkach mamy do czynienia ze szczególnymi typami sił, których prace obliczamy następująco: Praca siły stałej s2 s2 s2 s1 s1 s1 L1,2 = ∫ W ⋅ ds = ∫ Wds cos α = W cos α ∫ ds = W cos α ( s2 − s1 ) = Ws cos α . W 1 (4.22a) W = const α = const s − droga α 2 ds s s1 s2 Praca siły stałej Praca siły ciężkości s2 s2 h2 s1 s1 h1 L1,2 = Q ⋅ ds = Qds cos α = Qdh = Qh2 − Qh1 = V2 − V1 = Qh , ∫ gdzie ∫ ∫ (4.22b) V = Qh – potencjał pola grawitacyjnego. h1 1 α h2 h ds dh Q 2 Praca siły ciężkości Prof. Edmund Wittbrodt Praca siły w sprężynie s2 L1,2 = s2 s2 1 ∫ S ⋅ dx = ∫ − Sdx = − ∫ kxdx = − 2 kx s1 s1 s1 2 ( ) s2 1 = − k s22 − s12 . s1 2 (4.22c) Gdy położenie początkowe końca sprężyny s1 jest równe długości sprężyny nieodkształconej, to wzór (4.22c) przyjmuje postać 1 L1,2 = − k λ 2 , 2 (4.22d) gdzie λ − odkształcenie sprężyny. S = kx − siła w sprężynie, k − współczynnik sztywności sprężyny liniowej (k = const) x 2 λ s2 dx S 1 x y s1 Praca siły w sprężynie Prof. Edmund Wittbrodt Potencjał. Potencjalne pole sił Potencjał – funkcja zależna tylko od współrzędnych położenia punktu, w którym potencjał ten jest obliczany V = V ( x, y , z ) Siła potencjalna – siła, której rzuty na osie obliczamy: Px = ∂V , ∂x Py = ∂V ∂y , Pz = ∂V ∂z Zatem P= ∂V ∂V ∂V i+ j+ k ∂x ∂y ∂z Prof. Edmund Wittbrodt 2 Przykłady potencjalnych pól sił: h r r P = − mgk Siła ciężkości - potencjał - praca Siła w sprężynie - potencjał Dla potencjalnego pola sił mamy skąd V = − mgz , skąd P = 0i + 0 j − mgk 1 z L1, 2 = V1 − V2 = mgz1 − mgz 2 = − mgh 1 V = − kx 2 , 2 y P = − kxi skąd x r r S = −kxi E 2 − E1 = L1, 2 = V1 − V2 , E1 + V1 = E 2 + V2 = E mech , gdzie x E mech = E + V – energia mechaniczna Emech = const Zasada zachowania energii mechanicznej: Suma energii kinetycznej i potencjalnej sił zewnętrznych ciała w ruchu postępowym jest wielkością stałą. Prof. Edmund Wittbrodt