wykład 3

STATYKA
Cel statyki
Celem statyki jest zastąpienie dowolnego układu sił innym, równoważnym układem sił, w tym układem
złożonym z jednej tylko siły i jednej pary sił (redukcja do siły i momentu głównego) lub zbadanie
warunków, jakie musi spełniać układ sił, aby ciało będące pod jego działaniem, było w równowadze
(warunki równowagi układu).
Prof. Edmund Wittbrodt
Siła główna i moment główny
Twierdzenie
Dowolny układ sił działających na ciało sztywne można zastąpić układem równoważnym, złożonym z jednej siły
przyłożonej do dowolnie wybranego środka redukcji O i jednej pary sił o momencie
(wypadkową), a moment
MO
MO .
Siłę
W
W
nazywamy siłą główną
nazywamy momentem głównym (wypadkowym).
Równoważne układy sił
Prof. Edmund Wittbrodt
Niech dany jest dowolny układ sił P1 , P2 , ..., Pn . Obieramy dowolny punkt O, w którym przykładamy dodatkowe siły – dwójki
zerowe P1 , − P1 ; P2 , − P2 ; ..., Pn , − Pn . Siły dowolnego układu sił z odpowiednimi siłami dwójek zerowych tworzą pary sił, a
pozostałe siły tworzą zbieżny układ sił. Wypadkowa zbieżnego układu sił wynosi
n
W = ∑ Pi
i =1
,
(1.23)
a moment wszystkich par sił wynosi
MO =
n
∑
i =1
m
ri × Pi + ∑ M j
j =1
(1.24)
gdzie M j - wektory swobodne (pary sił)
Redukcja układu sił i momentów do siły głównej i momentu
głównego w punkcie O
Prof. Edmund Wittbrodt
Ponieważ wielkość siły głównej
W (1.23) nie zależy od położenia punktu O, nazywamy ją pierwszym niezmiennikiem
układu. Natomiast główny moment zmienia swoją wielkość wraz ze zmianą położenia punktu O (zmieniają się
promienie ri ).
Można również udowodnić, że dla dowolnego układu sił rzut wektora głównego momentu na kierunek głównej siły jest
wielkością stałą. Jest to drugi niezmiennik układu.
Drugi niezmiennik dowolnego układu sił – rzut wektora momentu głównego
na kierunek siły głównej
MO
W
α
MO cosα = const
Prof. Edmund Wittbrodt
Twierdzenie 1
Jeżeli M O ⊥ W , to istnieje taki punkt O, że można zredukować układ sił tylko do jednej siły (moment
główny względem tego punktu równy jest zero).
Z tego twierdzenia wynika, że dla dowolnego płaskiego układu sił, dla którego zawsze
M O ⊥ W , można znaleźć taki punkt O, że układ ten zastępuje się albo jedną siłą, albo – w
przypadku W = 0 – jedną parą sił.
Twierdzenie 2
Dla dowolnego układu sił można znaleźć taką prostą, że jeżeli na niej będzie leżeć punkt O, to M O
W
.
Układ zredukowany do siły głównej i momentu głównego równoległych do siebie i o takich samych
zwrotach nazywamy skrętnikiem.
Twierdzenie 3
W przypadku, gdy układ sił redukuje się tylko do jednej siły, to moment tej siły względem dowolnie
obranego punktu jest równy sumie momentów poszczególnych sił tego układu względem tego punktu.
Jest to rozszerzenie twierdzenia Varignona na układy inne niż zbieżne.
Prof. Edmund Wittbrodt
Warunki równowagi dowolnego przestrzennego układu sił
Dowolny układ sił
Mówimy, że układ sił działających na bryłę (punkt materialny) jest w równowadze, jeżeli pod wpływem tego układu sił
bryła (punkt materialny) nie zmienia swojego ruchu (pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym).
Ponieważ dowolny układ sił można zredukować do siły głównej i momentu głównego, warunkiem koniecznym i
dostatecznym równowagi dowolnego układu sił jest zerowanie się głównej siły i głównego momentu, co zapisujemy
(rys.):
n
W = ∑ Pi = 0 ,
(2.1)
i =1
n
m
i =1
j =1
M O = ∑ ri × Pi + ∑ M j = 0 .
(2.2)
Bryła oraz działające na nią siły i momenty, a także układ równoważny z siłą główną
W
i momentem głównym
MO
Prof. Edmund Wittbrodt
Warunki równowagi można przedstawić w postaci rzutów na osie dowolnego prostokątnego układu odniesienia. Stąd
zamiast dwóch równań wektorowych uzyskujemy sześć równań analitycznych, równoważnych im:
z
Pzi
Pi
i
Pyi
Pxi
y
zi
x
xi
yi
Siła
Pi
n
n
∑ Pxi = 0 ,
∑
i =1
M xi =
n
∑
i =1
n
∑
i =1
M yi =
,
Pzi oraz
współrzędne punktu działania siły xi, yi, zi
∑ Pzi = 0 ,
i =1
( yi Pzi − zi Pyi ) = 0 ,
Pyi
n
∑ Pyi = 0 ,
i =1
n
działająca na bryłę, jej składowe Pxi ,
(2.3)-(2.5)
i =1
n
∑
i =1
( zi Pxi − xi Pzi ) = 0 ,
n
∑
i =1
M zi =
n
∑ ( xi Pyi − yi Pxi ) = 0 .
i =1
(2.6)-(2.8)
Analitycznym warunkiem równowagi dowolnego układu sił jest zerowanie się sum rzutów wszystkich sił na
poszczególne osie dowolnego układu odniesienia x, y, z oraz zerowanie się sum momentów wszystkich sił wokół tych
osi.
Rozpatrując równowagę bryły, będącej pod działaniem dowolnego układu sił, możemy mieć najwyżej 6 niewiadomych,
ponieważ do dyspozycji mamy tylko 6 równań równowagi.
Prof. Edmund Wittbrodt
Przestrzenny zbieżny układ sił
W przypadku, gdy linie działania wszystkich sił przecinają się w jednym punkcie, to spełnienie trzech pierwszych równań
równowagi (2.3) – (2.5) powoduje, zgodnie z twierdzeniem Varignona, że pozostałe trzy równania (2.6) – (2.8) będą
spełnione automatycznie. Tak więc dla rozpatrywanego układu sił (rys. 2.4) mamy 3 równania równowagi:
n
∑
i =1
n
n
Pxi = 0 ,
∑ Pyi = 0 ,
i =1
z
∑ Pzi = 0 .
(2.12)-(2.14)
i =1
P1
P2
Pn
i
y
x
Przestrzenny zbieżny układ sił
Warunkiem koniecznym i dostatecznym równowagi przestrzennego zbieżnego układu sił jest zerowanie się sum rzutów
sił na osie dowolnego układu współrzędnych x, y, z.
Rozpatrując przestrzenny zbieżny układ sił możemy mieć tylko 3 niewiadome.
Prof. Edmund Wittbrodt
Przestrzenny równoległy układ sił
Jeżeli wszystkie siły rozpatrywanego układu są równoległe do osi z, to równania (2.3), (2.4) i (2.8) są równaniami
trywialnymi. Mamy więc tylko trzy równania równowagi:
n
∑ Pzi = 0 ,
(2.18)
i =1
n
n
i =1
i =1
∑ M xi = ∑ ( yi Pzi − zi Pyi ) = 0 ,
n
n
i =1
i =1
(2.19)
∑ M yi = ∑ ( zi Pxi − xi Pzi ) = 0 .
(2.20)
z
P1
P2
Pn
y
x
Przestrzenny równoległy układ sił
Warunkiem koniecznym i dostatecznym równowagi przestrzennego równoległego układu sił jest zerowanie się sumy
rzutów sił na oś równoległą do sił oraz sum momentów względem pozostałych osi.
Rozpatrując przestrzenny równoległy układ sił możemy mieć tylko trzy niewiadome.
Prof. Edmund Wittbrodt