1 Procesy Stochastyczne

1
1
PROCESY STOCHASTYCZNE
Procesy Stochastyczne
1.1
Procesy gaussowskie
Definicja 1.1
Powiemy, że proces X jest procesem gaussowskim, jeżeli jego rozkłady skończenie wymiarowe są gaussowskie.
Definicja 1.2
Powiemy, że proces BH = (BH (t) | t ≥ 0) jest fraktalnym (ułamkowym) ruchem Browna, jeżeli
1) E[BH (t)] = 0
2) V ar[BH (t)] = t2H
3) BH ma stacjonarne przyrosty
4) BH jest procesem gaussowskim
5) Cov(BH (t), BH (s)) = 21 (t2H + s2H − |t − s|2H )
Fakt 1.3
Proces BH jest samopodobny, czyli BH (αt) = αH BH (t) dla α ≥ 0.
Twierdzenie 1.4
Niech X i Y będą procesami gaussowskimi z ograniczonymi trajektoriami. Niech dodatkowo
1) E[Xt ] = E[Yt ]
2) V ar[Xt ] = V ar[Yt ]
3) E[(Xt − Xs )2 ] ≤ E[(Yt − Ys )2 ]
wówczas
P sup Xt > x ≤ P sup Yt > x
t
1.2
t
Procesy Markowa*
Definicja 1.5
Powiemy, że proces stochastyczny X jest klasy càdlàg, jeżeli jest trajektorie są prawostronnie ciągłe i
mają lewostronne granice. Podobnie, jeżeli proces stochastyczny ma lewostronnie ciągłe trajektorie i
prawostronne granice, to powiemy, że jest klasy càglàd.
Definicja 1.6
Niech X będzie procesem càdlàg na przestrzeni (Ω, F, F, P ) spełniającej zwyczajne warunki. Powiemy,
że X jest procesem Markowa, jeżeli
P [B | Ft ] = P [B | Xt ]
B ∈ F 0 := σ(Xs | s ≥ t)
lub równoważnie
P [Xt ∈ A | Fs ] = P [Xt ∈ A | Xs ]
Fakt 1.7
Dla A ∈ Ft oraz B ∈ Ft0
P [A ∩ B | Xt ] = P [A | Xt ]P [B | Xt ]
1
1
1.3
PROCESY STOCHASTYCZNE
Procesy fellerowskie*
2