5 Przekształcenia ciągłe i homeomorficzne. Odwzorowania domknię

5
5.1
Przekształcenia ciągłe i homeomorficzne. Odwzorowania domknięte i otwarte.
Definicje i podstawowe własności
Niech (X, ρ1 ) i (X, ρ2 ) będą dowolnymi przestrzeniami metrycznymi.
Definicja 1 (funkcji ciągłej w punkcie w sensie Cauchy’ego) Powiemy, że funkcja f : X → Y jest
ciągła w punkcie x0 ∈ X, jeśli
∀
∀ (ρ1 (x, x0 ) < δ ⇒ ρ2 (f (x), f (x0 )) < ε).
∃
ε>0 δ>0 x∈X
Definicja 2 (funkcji ciągłej w punkcie w sensie Heinego) Powiemy, że funkcja f : X → Y jest ciągła
w punkcie x0 ∈ X, jeśli
∀ ( lim ρ1 (xn , x0 ) = 0 ⇒ lim ρ2 (f (xn ), f (x0 )) = 0).
xn ⊂X n→∞
n→∞
Definicja 3 (funkcji ciągłej w przestrzeni) Powiemy, że funkcja f : X → Y jest ciągła w przestrzeni
X, jeśli jest ona ciągła w każdym punkcie x0 ∈ X, tj. jeśli
∀
∀
∃
∀ (ρ1 (x, x0 ) < δ ⇒ ρ2 (f (x), f (x0 )) < ε),
x0 ∈X ε>0 δ>0 x∈X
lub równoważnie
∀ ( lim ρ1 (xn , x0 ) = 0 ⇒ lim ρ2 (f (xn ), f (x0 )) = 0).
∀
x0 ∈X xn ⊂X n→∞
n→∞
Definicja 4 (równoważny warunek na ciągłość funkcji) Niech f : X → Y . Następujące warunki są
równoważne:
(a) Funkcja f jest ciągła.
(b) Dla dowolnego zbioru G otwartego w Y zbiór f −1 (G) jest otwarty w X,
(c) Dla dowolnego zbioru F domknietego w Y zbiór f −1 (F ) jest domknięty w X.
Definicja 5 (funkcji jednostajnie ciągłej w sensie Cauchy’ego) Powiemy, że funkcja f : X → Y jest
jednostajnie ciągła w przestrzeni X, jeśli
∀
∃
∀
∀ (ρ1 (x, x0 ) < δ ⇒ ρ2 (f (x), f (x0 )) < ε).
ε>0 δ>0 x∈X x0 ∈X
Definicja 6 (funkcji jednostajnie ciągłej w sensie Heinego) Powiemy, że funkcja f : X → Y jest
jednostajnie ciągła w przestrzeni X, jeśli
∀
∀ ( lim ρ1 (xn , yn ) = 0 ⇒ lim ρ2 (f (xn ), f (yn )) = 0).
xn ⊂X yn ⊂X n→∞
n→∞
Definicja 7 (homeomorfizmu) Powiemy, że funkcja f : X → Y jest homeomorfizmem, jeśli jest ona
funkcją wzajemnie jednoznaczną (różnowartościową i „na) oraz funkcje f i f −1 są ciągłe.
Twierdzenie 1 (równoważny warunek na homeomorfizm) Powiemy, że funkcja f : X → Y jest homeomorfizmem, jeśli jest ona funkcją wzajemnie jednoznaczną (różnowartościową i „na) oraz
∀
∀ ( lim ρ1 (xn , x0 ) = 0 ⇔ lim ρ2 (f (xn ), f (x0 )) = 0).
x0 ∈X xn ⊂X n→∞
n→∞
Definicja 8 (odwzorowania domkniętego) Powiemy, że funkcja f : X → Y jest odwzorowaniem domknietym, jeśli dla dowolnego zbioru F domkniętego w X, zbiór f (F ) jest domknięty w Y .
Definicja 9 (odwzorowania otwartego) Powiemy, że funkcja f : X → Y jest odwzorowaniem otwartym,
jeśli dla dowolnego zbioru G otwartego w X, zbiór f (G) jest otwarty w Y .
1
5.2
Zadania
Zadanie 1 Niech (X, ρ1 ) i (X, ρ2 ) bedą dowolnymi przestrzeniami metrycznymi, a f : X → Y dowolną
funkcją ciągłą. Pokaż, że:
(a) dla dowolnego A ⊂ X zachodzi f (Cl(A)) ⊂ Cl(f (A)),
(b) dla dowolnego B ⊂ Y zachodzi Cl(f −1 (B)) ⊂ f −1 (Cl(B)).
Zadanie 2 Niech (X, ρ1 ) i (X, ρ2 ) bedą dowolnymi przestrzeniami metrycznymi, a f : X → Y dowolnym
odwzorowaniem homeomorficznym. Pokaż, że:
(a) dla dowolnego A ⊂ X zachodzi f (Cl(A)) = Cl(f (A)),
(b) (*) dla dowolnego A ⊂ X zachodzi f (Int(A)) = Int(f (A)),
(c) dla dowolnego B ⊂ Y zachodzi f −1 (Cl(B)) = Cl(f −1 (B)),
(d) (*) dla dowolnego B ⊂ Y zachodzi f −1 (Int(B)) = Int(f −1 (B)).
Zadanie 3 (*) Wykaż, że złożenie dwóch homeomorfizmów jest homeomorfizmem, tj. jeśli f : X → Y
i g : Y → Z są dowolnymi odwzorowaniami homeomorficznymi, gdzie (X, ρ1 ), Y, ρ2 ), (Z, ρ3 ) - dowolne
przestrzenie metryczne, to odwzorowanie h = g ◦ f : X → Y też jest odwozorowaniem homeomorficznym.
Zadanie 4 Wykaż, że następujące pary przestrzeni metrycznych są homeomorficzne:
(a) ((0, 1), | · |) i (R, | · |),
(b) ((−∞, 2), | · |) i (R, | · |),
(c) ((−1, 1], | · |) i ((−∞, 2], | · |),
(d) ((0, 1), | · |) i ((3, 6), | · |),
(e) ([0, 1], | · |) i ([2, 5], | · |).
Zadanie 5 Które z następujących podzbiorów przestrzeni euklidesowej R2 są homeomorficzne:
ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ
Zadanie 6 (*) Czy przestrzenie metryczne ((0, 1), | · |) i ([0, 1], | · |) są homeomorficzne?
Zadanie 7 Która z następujących funkcji jest: odwzorowaniem ciągłym, odwzorowaniem jednostajnie ciągłym, odwzorowaniem homeomorficznym, odwzorowaniem domkniętym, odworowaniem otwartym, gdzie:
(a) f : R → R i f (x) = x2 ,
(b) f : R → R i f (x) = sin(x),
(c) f : R → R i f (x) = exp(x),
(d) f : (0, +∞) → R i f (x) =
(e) f : R → R i f (x) =
√1 ,
x
x
|x|+1 .
Zakładamy, że przestrzenie R i (0, +∞) są wyposażone w metrykę euklidesową.
Zadanie 8 Czy funkcja f : X → Y , gdzie X = [0, 1) ∪ {2}, Y = [0, 1] określona wzorem
x gdy x ∈ [0, 1)
f (x) =
,
1 gdy
x=2
jest homeomorfizmem? Zakładamy, że przestrzenie X i Y są wyposażone w metrykę euklidesową.
Zadanie 9 Niech a będzie ustalonym punktem przestrzeni metrycznej (X, ρ) . Pokazać, że funkcja f : X →
R określona wzorem
f (x) = ρ(a, x),
jest ciągła? Czy funkcja f jest ciągła jednostajnie?
2
Zadanie 10 Pokaż, że jeśli f : X → Y jest homeomorfizmem przestrzeni X na przestrzeń Y , to obraz zbioru
(a) gęstego jest gęsty,
(b) brzegowego jest brzegowy,
(c) nigdzie gęstego jest nigdzie gęsty.
Zadanie 11 Pokaż, że jeśli f, g : R → R są funkcjami ciągłymi (zakładamy, że przestrzenie R są wyposażone
w metryki euklidesowe), to zbiór {x ∈ R : f (x) ¬ g(x)} jest domknięty.
Zadanie 12 Czy każda funkcja ciągła musi być:
(a) odwozorwaniem otwartym,
(b) odwzorowaniem domkniętym?
Odpowiedź uzasadnić.
3