Elementy logiki, rachunku zdań i rachunku zbiorów, kwantyfikatory.
Transkrypt
Elementy logiki, rachunku zdań i rachunku zbiorów, kwantyfikatory.
Elementy logiki, rachunku zdań i rachunku zbiorów, kwantyfikatory. 1. Co to jest zdanie? Zdanie logiczne jest to wyrażenie , któremu można przyporządkować jedną z dwóch wartości logicznych: prawdę lub fałsz. symbol prawdy: 1 symbol fałszu: 0 np. w(p)=1, w(p)=0. 2. Co to jest forma zdaniowa? X≠, xX Wyrażenie (x) zawierające zmienną x, które staje się zdaniem po wstawieniu w miejsce x dowolnego elementu z X nazywamy formą zdaniową (funkcją zdaniową) zmiennej x o zakresie zmienności X. 3. Podać def. podstawowych funktorów zdaniotwórczych. ~ oznacza negację ~α „ nie α” i „nie prawda że α” w(α) w(~α) w(~(~α)) 1 0 1 0 1 0 v oznacza alternatywę (suma logiczna) α v β „α lub β” α, β składniki ˄ oznacza koniunkcję ( iloczyn logiczny) α ˄ β „α i β” α, β – składniki => oznacza implikację (okres warunkowy) α => β „ jeśli α to β” w(1=>0)=0 α – poprzednik implikacji, β – następnik implikacji <=> oznacza równoważność: α <=> β „ α wtedy i tylko wtedy, gdy β” w(α) 1 1 0 0 w(β) 0 1 1 0 w(α v β) 1 1 1 0 α, β – człony równoważności w(α ˄ β) 0 1 0 0 w(α=>β) 0 1 1 1 w(α<=>β) 0 1 0 1 4. Podać podstawowe prawa rachunku zdań i form zdaniowych. Def. Prawem rachunku zdań ( tautologią) nazywamy schemat zbudowany ze zdań α1, …, αn , funktorów zdaniotwórczych i nawiasów, które przedstawia zdanie zawsze prawdziwe bez względu na wartości logiczne w(α1),….,w(αn) 5. Prawa rachunku zdań. prawo podwójnego przeczenia: ~(~α) <=> α prawo przemienności alternatywy: (α v β) <=> (β v α) prawo przemienności koniunkcji: (α ˄ β) <=> (β ˄ α) prawo łączności alternatywy: [(α v β) v ϒ ] <=> [α v (β v ϒ)] prawo łączności koniunkcji: [(α ˄ β) ˄ ϒ ] <=> [α ˄ (β ˄ ϒ)] prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji: [(α ˄ β) v ϒ ] <=> [(α ˄ ϒ) v ( β ˄ ϒ)] prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy: [(α v β) ˄ ϒ ] <=> [(α v ϒ) ˄ ( β v ϒ)] I prawo de Morgana ~ (α v β) <=> (~α v ~β) II prawo de Morgana ~ ( α ˄ β) <=> (~ α v ~β) 6. Prawa form zdaniowych. ∀- kwantyfikator ogólny (dla każdego) ∃ - kwantyfikator egzystencjalny (istnieje) I prawo de Morgana: ~ ∀xX (x) <=> ∃xX (~(x)) II prawo de Morgana: ~ ∃ xX (x) <=> ∀xX (~(x)) prawa rozdzielności: kwantyfikatora ogólnego względem koniunkcji: ∀xX ((x) ˄ ψ(x)) <=> [∀xX (x) ˄ ∀xX ψ (x)] kwantyfikatora egzystencjalnego względem alternatywy: ∃ xX ((x) ˅ ψ(x)) <=> [∃ xX (x) ˅ ∃ xX ψ (x)] kwantyfikatora ogólnego względem alternatywy: [∀xX (x) v ∀xX ψ (x)] => ∀xX ((x) v ψ(x)) kwantyfikatora egzystencjalnego względem koniunkcji: ∃ xX ((x) ˄ ψ(x)) => [∃ xX (x) ˄ ∃ xX ψ (x)] prawa włączania i wyłączania Jeżeli ψ jest zdaniem lub funkcją zdaniową, która nie zawiera zmiennej x, to następujące wyrażenia są prawami rachunku funkcyjnego. ∀xX ( (x) v ψ) <=>[ ∀xX (x) v ψ] ∃ xX ( (x) v ψ) <=>[ ∃ xX (x) v ψ] ∀xX ((x ˄ ψ) <=> [ ∀xX (x) ˄ ψ] ∃ xX ((x ˄ ψ) <=> [ ∃ xX (x) ˄ ψ] ∀xX ((x) => ψ) => [ ∃ xX (x) => ψ] ∃ xX ((x) => ψ) => [ ∀xX (x) => ψ] ∀xX (ψ =>(x)) <=> [ψ => ∀xX (x)] ∃ xX (ψ =>(x)) <=> [ψ => ∃ xX (x)] prawa przestawiania kwantyfikatorów: ∀xX ∀yY <=> ∀yY ∀xX (x,y) ∃ xX ∃ yY <=> ∃ yY ∃ xX (x,y) 7. Jak określone są działania na zbiorach? Podać podstawowe prawa rachunku zbiorów. X – przestrzeń, - zbiór pusty „zawieranie” A⊂B <=> dla dowolnego xX : (xA => xB) A⊄B <=> istnieje x0X : (x0A => x0 ∉ B) A=B <=> dla dowolnego xX : (xA <=> xB) Podstawowe prawa na zbiorach: suma zbiorów: x(AuB) <=> (xA v xB), x∉(AuB) <=> (x∉A ˄ x∉B) iloczyn zbiorów: x(AnB) <=> (xA ˄ xB), x∉(AnB) <=> (x∉A v x∉B) różnica zbiorów: x(A\B) <=> (xA ˄ x∉B), x∉(A\B) <=> (x∉A v xB) dopełnienie zbioru: x(X\A) <=> x∉A , Podstawowe prawa rachunków zbiorów: A,B,C – dowolne niepuste zbiory x∉(X\A) <=> xA prawa rozdzielności An(BuC) = (AnB)u(AnC) (iloczyn względem sumy) Au(BnC) = (AuB)n(AuC) (sumy względem iloczynu) prawa absorpcji Au(AnB)=A , An(AuB)=A Prawa de Morgana I. (AuB)’=A’ n B’ II. (AnB)’=A’ u B’ 8. Jak określone są działania uogólnione na zbiorach? X≠ , 2X = P(X) – rodzina wszystkich podzbiorów przestrzeni X. X={a,b} 2X = {, {a}, {b}, {a,b}} X={a,b,c } 2X = {, {a}, {b},{c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}} Indeksowaną rodziną podzbiorów przestrzeni X nazywamy każdą funkcję : T -> 2 X, ∀ tT (t)=At , At 2x <=> At ⊂ X. Sumą indeksowanej rodziny {At : tT} podzbiorów przestrzeni X nazywamy zbiór, który zawiera wszystkie elementy należące do At , tT. ∪t A = {x∊X: ∃ x∊A } x∊∪t A <=> ∃ x∊A ∊T t ∊T t∊T t t∊T t t x∉∪t A <=> ~∃ ∊T t t∊T x∊A <=> ∀ x∉A t t∊T t Iloczynem indeksowanej rodziny {At : tT} podzbiorów przestrzeni X nazywamy zbiór złożony z tych elementów przestrzeni X, które należą do każdego zbioru At , tT. ∩t A = {x∊X: ∀ x∊A } x∊∩t A <=> ∀ x∊A x∉∩t A <=> ∃ x∉A ∊T t ∊T ∊T t∊T t t t∊T t∊T t t t Prawa de Morgana dla indeksowanej rodziny {At : tT}: X\(∪t A ) = ∩t X\A t X\(∩t A ) = ∪t X\A t . ∊T ∊T t t ∊T ∊T