Zadania #1

LISTA ZADAŃ NR 1 Z MATEMATYKI DYSKRETNEJ
Logika
1. Które z następujących sformułowań są zdaniami w sensie logicznym? Uzasadnij odpowiedź.
a) Juliusz Cezar był prezydentem USA.
b) 2n+ n jest liczbą pierwszą dla nieskończenie wielu n ∈ N .
c) x + y = y + x dla wszystkich liczb rzeczywistych x, y.
d) Jeśli okrąg jest czworokątem, to 2 + 2 = 4 .
e) Dlaczego logika jest ważna?
f) Idź prosto do szpitala.
g) A 2 = 0 implikuje A = 0 dla wszystkich A.
2. Niech p, q, r będą następującymi zdaniami: p = „pada deszcz”, q = „słońce świeci”, r = „na
niebie są chmury”. Przetłumacz następujące zdania na język polski:
a) ( p ∧ q) ⇒ r ,
b) ~ p ⇒ (q ∨ r ) ,
c) ~ ( p ∨ q) ∧ r ,
d) ( p ⇒ r ) ⇒ q ,
e) ~ ( p ⇔ (q ∨ r )).
3. Wykaż, że następujące wyrażenia są tautologiami:
a) p ⇔ ~ (~ p)
prawo podwójnego przeczenia,
b) p ∨ ~ p
prawo wyłączonego środka,
c) ~ ( p ∧ ~ p)
prawo sprzeczności,
d) ~ ( p ∨ q) ⇔ (~ p ∧ ~ q)
prawo de Morgana,
e) ~ ( p ∧ q) ⇔ (~ p∨ ~ q)
prawo de Morgana,
f) ( p ∧ p ) ⇔ p ,
g) ( p ∨ p) ⇔ p ,
h) ( p ∨ q) ⇔ (q ∨ p) ,
przemienność alternatywy,
i) ( p ∧ q) ⇔ (q ∧ p) ,
przemienność koniunkcji,
j) ( p ⇒ q ) ⇔ (~ q ⇒ ~ p) ,
k) ( p ⇒ q) ⇔ (~ p ∨ q) ,
l) ~ ( p ⇒ q ) ⇔ ( p ∧ ~ q) ,
ł) [ p ∧ ( p ⇒ q )] ⇒ q ,
m) [( p ∨ q )∧ ~ p ] ⇒ q ,
n) ( p ⇒ F ) ⇒ ~ p , gdzie F – dowolne zdanie sprzeczne,
o) [ p ∨ (q ∨ r )] ⇔ [( p ∨ q) ∨ r ]
łączność alternatywy,
p) [ p ∧ (q ∧ r )] ⇔ [( p ∧ q) ∧ r ]
łączność koniunkcji,
r) [ p ∧ (q ∨ r )] ⇔ [( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r )]
rozdzielność koniunkcji względem alternatywy,
s) [ p ∨ (q ∧ r )] ⇔ [( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )]
rozdzielność alternatywy względem koniunkcji,
t) [( p ⇒ q ) ∧ (q ⇒ r )] ⇒ ( p ⇒ r )
przechodniość implikacji.
4. Sprawdź, czy następujące wyrażenia są tautologiami:
a) ( p ⇒ q) ⇔ (q ⇒ p) ,
b) [( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)] ⇒ ( p ∨ q) ,
c) [( p ∨ q ) ⇒ r ] ⇒ [( p ⇒ r ) ∨ (q ⇒ r )] .
5. Określ:
a) koniunkcję za pomocą alternatywy i negacji,
b) alternatywę za pomocą koniunkcji i negacji,
c) alternatywę za pomocą implikacji i negacji.
6. Czy następujące zdanie jest prawdziwe? Jakie można zapisać jego zaprzeczenie?
a) Istnieje liczba naturalna n, której kwadrat wynosi 7.
b) Istnieje liczba rzeczywista x taka, że x + 1 + x + 2 = 0 .
Jak równoważnie zapisać zdanie ~ [∨ W ( x)] , gdzie W ( x) jest pewną formą zdaniową.
x
7. Czy następujące zdanie jest prawdziwe? Jakie można zapisać jego zaprzeczenie?
a) Każda liczba naturalna n jest złożona.
b) Każda liczba rzeczywista spełnia warunek x 2 ≥ x .
Jak równoważnie zapisać zdanie ~ [∧ W ( x)] , gdzie W ( x) jest pewną formą zdaniową.
x
8. Podaj wartości logiczne następujących wyrażeń:
a)
b)
c)
∧ ∨ 2m = n ,
∧ ∨ 2n = m ,
∨ ∧ 2n = m .
n∈N
m∈N
n∈N
m∈N
m∈N n∈N
Czy prawdziwa jest implikacja
∨ ∧ W ( x, y ) ⇒ ∧ ∨ W ( x, y ) ?
x
y
y
x
Czy prawdziwa jest implikacja odwrotna? Jeśli nie, podaj kontrprzykład.
9. Podaj wartości logiczne następujących wyrażeń, gdzie dziedziną jest zbiór R .
a) ∀x ∃y xy = 1 ,
b) ∃x ∃y xy = 1 ,
c) ∀x ∀y ( x + y ) 2 = x 2 + y 2 .
d) ∀x ∃y ( x + y ) 2 = x 2 + y 2 ,
e) ∃y ∀x ( x + y ) 2 = x 2 + y 2 ,
Dorota Majorkowska-Mech