Ćwiczenia do wykładu Fizyka Statystyczna i Termodynamika

Ćwiczenia do wykładu Fizyka Statystyczna i Termodynamika
Prowadzący dr Agata Fronczak
Zestaw 8. Rozkład kanoniczny.
4.21 Rozważ układ, który może przebywać w pięciu stanach o energiach odpowiednio równych: 0, ε, ε, ε, 2ε. Oblicz średnią energię tego układu w
temperaturze T .
Odpowiedź: U =
ε(3e−βε + 2e−2βε )
.
1 + 3e−βε + e−2βε
4.22 Suma statystyczna pewnego układu spełnia zależność
ln Z = aT 4 V,
(1)
gdzie a jest pewną stałą, T oznacza temperaturę, zaś V objętość. Wyznacz
pojemność cieplną CV tego układu.
Odpowiedź: CV = 20akT 4 V .
4.23 Rozważ układ składający się z dwóch niezależnych i rozróżnialnych cząstek. Załóż, że każda cząstka może przebywać w dwóch stanach o energiach
równych 0 oraz ε. Oblicz średnią energię U , energię swobodną F oraz entropię S badanego układu. Przyjmij, że temperatura układu jest stała i
wynosi T .
Jak zmienią się wymienione funkcje stanu (tj. U, F, S), jeśli przyjmiemy,
że badany układ składa się z N niezależnych cząstek?
µ
¶
2ε
2
βε
−βε
−βε
Odpowiedź: U = −
,
F
=
−
ln[1+e
],
S
=
2k
ln[1
+
e
]
+
.
1 + eβε
β
1 + eβε
4.24 Wyznacz średnią energię u, energię swobodną f oraz entropię s związaną
z kwantowym oscylatorem harmonicznym. Przyjmij, że oscylator jest w
równowadze termodynamicznej z wielkim zbiornikiem ciepła o temperaturze T .
³
´
βh̄ω
Odpowiedź: f = 21 h̄ω + kT ln(1 − e−βh̄ω ), s = k eβh̄ω
− ln(1 − e−βh̄ω ) ,
−1
´
³
u = 12 + eβh̄ω1 −1 h̄ω.
4.25 Oblicz średnią energię N niezależnych, kwantowych oscylatorów harmonicznych pozostających w kontakcie z dużym zbiornikiem ciepła o temperaturze T . Skorzystaj z rozwiązania poprzedniego zadania.
Otrzymany wynik porównaj ze wzorem
µ
¶
1
1
E = N h̄ω
+
.
2 exp(h̄ω/(kT )) − 1
1
(2)
b)
a)
Rysunek 1: Do zadań 4.27 oraz 4.28.
opisującym energię układu N niezależnych oscylatorów kwantowych obliczoną przy pomocy rozkładu mikrokanonicznego.
Pokaż, że w granicy wysokich temperatur energia kwantowych oscylatorów
jest opisana takim samym wzorem jak energia oscylatorów klasycznych
E = N kT.
Wskazówki do ostatniej części zadania: ex =
dla q < 1.
(3)
P∞
n=0
P∞
xn
1
,
= n=0 q n
n! 1 − q
4.27 Defektem Frenkla nazywamy przemieszczenie się dowolnego atomu w krysztale z pozycji węzłowej do pozycji międzywęzłowej (rys. 1a).
Oblicz średnią liczbę defektów Frenkla n w monoatomowym krysztale o
temperaturze T . Załóż, że liczba atomów, z których zbudowany jest kryształ wynosi N , natomiast liczba dostępnych pozycji międzywęzłowych jest
równa R. Przyjmij, że energia potrzebna do utworzenia defektu Frenkla
jest równa w.
√
Odpowiedź: hni = N R e−βw/2 dla n ¿ N, R.
4.28 Defektem Schotky’ego nazywamy przemieszczenie się dowolnego atomu z
wnętrza kryształu na jego powierzchnię (rys. 1b).
Oblicz średnią liczbę defektów Schotky’ego n w monoatomowym krysztale o temperaturze T . Załóż, że liczba atomów, z których zbudowany
jest kryształ wynosi N oraz przyjmij, że energia potrzebna do utworzenia
defektu Schotky’ego jest równa w.
Odpowiedź: n ' N e−βw dla n ¿ N .
2