Teoria Gier a Nauki Społeczne na przykładzie zjawiska »bullyingu

Uniwersytet Mikołaja Kopernika
Artur „Kozaq” Sowiński
Praca Licencjacka
Teoria Gier a Nauki Społeczne
na przykładzie zjawiska Bullyingu
Toruń 2010
1
Spis treści
1
Wstep
˛
2
2
Założenia modelu
3
3
Parametry
4
4
Zależność zawzietości
˛
do zadawanych obrażeń
5
5
Uwagi dodatkowe
6
6
Rozstrzygniecie
˛ konfliktu „oczami Atakujacego
˛
(A)”
7
7
Rozstrzygniecie
˛ konfliktu „oczami Broniacego
˛
(O)”
8
8
Rozstrzygniecie
˛ konfliktu „oczami Otoczenia (S)”
9
9
Wypłaty
10
10 Przykład
11
11 Wnioski
15
A Wybrane kody w R
16
2
1
Wstep
˛
Teoria gier[1][2] pozwala na budowe˛ różnych modeli opisujacych
˛
różnorodne zjawiska, z czego
[3]
[4]
korzysta wiele innych dziedzin nauki, m.in. psychologia . Znane sa˛ modele Dylematu Wieźnia
˛
(zarówno dwu-, jak i wieloosobowego), które sa˛ wykorzystywane do opisu niezliczonych zjawisk,
od sportu po prawo[1] . Celem niniejszej pracy jest przedstawienie własnego modelu, który w pewien
sposób może wyjaśnić mechanizmy zwiazane
˛
ze zjawiskiem bullyingu. Model ten został
skonstruowany z myśla˛ o bullyingu w szkole, jednak można go łatwo przenieść na inne płaszczyzny
życia codziennego.
Bullying jest specyficznym rodzajem agresji rówieśniczej, charakteryzujacy
˛ sie˛ określonymi
właściwościami. Charakterystyke˛ bullyingu sformułował Dan Olweus[5] . Nie każdy akt agresji
jest bullyingiem. Aby akt agresji rówieśniczej w szkole został określony jako bullying,
musza˛ być obecne trzy główne cechy: intencjonalność (podejmowanie przez sprawce˛ wrogiego
działania wobec ofiary ma na celu sprawienie jej przykrości, poniżenia, przerażenia lub bólu
fizycznego), powtarzalność (sprawca działa długotrwale, powtarzajac
˛ akty agresji wobec tej samej
osoby) i nierównowaga sił (osoba atakujaca
˛ posiada przewage˛ nad ofiara˛ – może to być przewaga
fizyczna, ale nierównowaga może wynikać także z pewnych osobistych właściwości, np. sprawca
może być szybciej myślacy
˛ od ofiary, bardziej wygadany, mieć przewage˛ w każdej dyskusji).
Najbardziej oczywisty jest bullying fizyczny, którego ofiara jest bita, popychana, szarpana lub
niszczona jest jej własność. Negatywne konsekwencje niesie za soba˛ także bullying emocjonalny:
werbalny (przezywanie, wyśmiewanie), relacyjny (obmawianie, rozpuszczanie plotek)
i cyberbullying (umieszczanie w sieci oszczerczych informacji).
Sprawców bullyingu cechuje zazwyczaj impulsywność, brak poczucia wstydu, pozytywne
postrzeganie przemocy, niska tolerancja na frustracje.
˛ Jednocześnie maja˛ dość łatwy kontakt
z otoczeniem i sa˛ czesto
˛ przez otoczenie akceptowani.
Ofiarami sa˛ najcześciej
˛
osoby o niskiej samoocenie, wrażliwe, bierne, zaleknione,
˛
fizycznie
słabsze od swoich rówieśników, majace
˛ trudności z nawiazaniem
˛
kontaktu z rówieśnikami.
Sa˛ także ofiary prowokujace
˛ – z porywczym temperamentem, próbujace
˛ sie˛ bić, gdy ktoś
je zaatakuje, czasem same usiłuja˛ dokuczać innym uczniom.
Bullying wpływa na cała˛ społeczność szkolna˛ – otoczenie może zachować sie˛ w różny sposób.
Obecność biernych świadków może dać informacje dla agresora, iż jego działanie uchodzi mu
bezkarnie, a nawet wzmacnia jego działanie dla zdobycia poklasku ze strony rówieśników. Sa˛ także
uczniowie, którzy nie rozpoczynaja˛ aktów agresji, ale pomagaja˛ sprawcy we wrogich
wobec ofiary działaniach – np. biciu czy wyzywaniu. Inni, nie właczaj
˛
ac
˛ sie˛ bezpośrednio
do prześladowania ofiary, moga˛ wykazywać aprobate˛ dla zachowania sprawcy, np. chwalac
˛ jego
zachowanie, czy śmiejac
˛ sie˛ w czasie krzywdzenia ofiary. Jeszcze inni wspieraja˛ ofiare˛ – udzielona
przez nich pomoc może polegać na bezpośredniej konfrontacji z prześladowcami, doradzanie
ofierze jak powinna reagować, a także na ujawnianiu sprawy i zaangażowaniu innych –
np. dyrekcje˛ szkoły – w rozwiazanie
˛
problemu.
Bullying można zwalczać w różny sposób, jednak obojetność
˛
i karanie należa˛ do najgorszych
metod postepowania.
˛
Obojetność
˛
jest cichym pozwoleniem na agresje,
˛ karanie natomiast jest
rozwiazaniem
˛
chwilowym, bowiem agresor, tłumiac
˛ złość, planuje nastepny
˛
atak.
Bullying nie jest zjawiskiem marginalnym, w Polsce prześladowaniu w szkole podlega znaczny
odsetek dzieci, przy czym niepokojacy
˛ jest wzrost tempa zachowań agresywnych wśród uczniów[6] .
3
2
Założenia modelu
• W modelu gry bullying biora˛ udział trzej gracze – Atakujacy
˛ (A), Broniacy
˛ sie˛ (O) oraz
Otoczenie (S);
Zakładamy, że gracze nie zawieraja˛ miedzy
˛
soba˛ koalicji – prowadza˛ one do
patologicznych przypadków.
• A oraz O wybieraja˛ równocześnie jedna˛ ze swoich wielu strategii (odpowiadajacych
˛
za
zaangażowanie w walke˛ miedzy
˛
soba),
˛ natomiast S wybiera jedna˛ ze swoich dwóch strategii
(przerwanie lub ignorowanie walki) wiedzac
˛ co zagrali A i O;
• Przerwanie walki przez S wiaże
˛ sie˛ dla niego z pewnymi kosztami;
W opisywanym modelu koszty te bed
˛ a˛ utożsamiane z pewna˛ stała.
˛
• W przypadku przerwania walki przez S, sprawa wedruje
˛
do Dyrekcji (D), która może
nałożyć kare˛ na jednego lub obu uczestników konfliktu, badź
˛ też odstapić
˛ od jej wymierzenia;
W opisywanym modelu dokładny podział „Dzielonej kary” jest nieistotny – liczy sie˛
sam fakt ukarania obu walczacych.
˛
• D nie jest w stanie odróżnić A i O oraz nie zna dokładnych wartości ich zawzietości;
˛
Bójki miedzy
˛
uczniami na oczach nauczycieli to bardzo rzadki przypadek,
a świadkowie – chociaż czesto
˛
wiedza˛ o przebiegu walki – moga˛ zeznawać
fałszywie (kierujac
˛ sie˛ sympatia˛ / antypatia˛ do jednego z uczestników, badź
˛ też bed
˛ ac
˛
zastraszanym).
• D nie ocenia w pełni obiektywnie, tzn. średnia wartość pomyłek jest niezerowa;
Ludzie maja˛ skłonności do wyolbrzymiania różnic. Spowodowane jest to błedami
˛
poznawczymi, w szczególności efektami potwierdzania[7] i zaprzeczania[8] .
Dla przykładu, jeżeli osoba ma okazje˛ zakupu przedmiotu wartego (w jej mniemaniu)
50zł za 60zł, to zaczyna wyolbrzymiać istniejace
˛ i wymyślać wyimaginowane wady
tego przedmiotu (na końcu dodajac
˛ „poza tym jest za drogi”), natomiast jeżeli przedmiot ten można kupić za 45zł, to osoba ta tak samo postepuje
˛
z zaletami (kończac
˛
„poza tym cena jest niska”).
W poniższym modelu D wyolbrzymia różnice˛ miedzy
˛
siła˛ używana˛ a „dozwolona”.
˛
• Historia poprzednich bójek nie ma wpływu na ocene˛ D oraz działania A, O i S;
Założenie to ma na celu uproszczenie modelu.
4
3
Parametry
1. Parametry zależne od Atakujacego
˛
i Broniacego:
˛
• Siła ataku: S A ∈ [0, 1] (z dokładnościa˛ do R miejsc po przecinku)
• Siła obrony: S O ∈ [0, 1] (z dokładnościa˛ do R miejsc po przecinku)
2. Parametry zależne od Dyrekcji:
• Siła należna: S N ∈ [0, 1] (wskazuje zawzietość
˛
jaka „przysługuje” walczacym)
˛
• Porównanie: J ∈ [0, 1] (wskazuje limit, przed którym kara zostaje dzielona)
• „Tolerancja dla Obrony”: q ∈ [0, 1]
• Koszt interwencji: Γ ∈ R+ (obniża wypłate˛ S, gdy ten interweniuje)
3. Parametry ustalone:
• αA , αO , αWA , αWO , αIA , αIN , αIO (parametry wypłat dla A);
• βA , βO , βWA , βWO , βIA , βIN , βIO (parametry wypłat dla O);
• γWA , γWO , γBK , γIA , γIN , γIO (parametry wypłat dla S);
• LASK: [0,2] → R+ (określa przewage˛ A wynikajaca
˛ z zaskoczenia rywala)
• PwrAdv: [-1,1] → R (określa przewage˛ silniejszego)
4. Postepowanie
˛
Dyrekcji:
• Pomyłki D w ocenie używanych przez A i O sił maja˛ rozkład Skellama[9] :
µA ∼ PD(S A · 10R , S N · 10R ) · 10−R ;
µO ∼ PD(S O · 10R , S N · 10R ) · 10−R ;
• D błednie
˛
odczytuje zawzietości
˛
A i O jako: S A∗ = S A + µA , S O∗ = S O + µO ;
5. Możliwe rozstrzygniecia:
˛
• Gdy S nie interweniuje, walka kończy sie˛ zwyciestwem
˛
jednego z uczestników;
• D nie nakłada kary, gdy S interweniuje oraz zachodzi:
(♠) max{S A∗ , S O∗ } + q · min{S A∗ , S O∗ } ≤ (1 + q) · S N
• Gdy S interweniuje a (♠) nie zachodzi, D nakłada kare:
˛
– IA (kara dla Broniacego):
˛
S ∗A − S O∗ < −J;
– IO (kara dla Atakujacego):
˛
S ∗A − S O∗ > J;
– IN (kara obustronna): S ∗A − S O∗ ∈ [−J, J].
5
4
Zależność zawzietości
˛
do zadawanych obrażeń
Siła
0%
5%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Bullying fizyczny
Brak
Przepychanki
Uderzenia otwarta˛ dłonia˛
Uderzenia pieści
˛ a˛
Kopniecia
˛
Ciosy mierzone
Zwiekszona
˛
ostrość
Złamanie otwarte
Wybicie zebów
˛
Złamanie kończyn
Pozbawienie przytomności
Zabójstwo
Bullying psychiczny
Brak
Przedrzeźnianie / wyśmiewanie
Obelgi / prowokacje
Groźby adresowane „twarza˛ w twarz”
Groźby adresowane droga˛ mailowa˛ itp.
Rozpuszczanie plotek
Formułowanie fałszywych oskarżeń
Skierowywanie podejrzeń innych osób na ofiare˛
Podszywanie sie˛ pod ofiare˛
Używanie danych osobowych ofiary
Umieszczanie kompromitujacych
˛
zdjeć
˛ / filmów
—
Uwagi
• Powyższa tabela przedstawia zależności miedzy
˛
procentowym wyrażeniem siły używanej
a zamiarami, zarówno u A lub O. Jest ona jedynie pogladowa
˛
i nie zawiera wszystkich
możliwych metod;
• Uczestnik bójki korzysta z metod walki wskazywanych przez zawzietość
˛
używana˛ i niższe,
jednak może sie˛ zdarzyć (w wyniku przypadku) użycie metody wymagajacej
˛
wiekszej
˛
zawzietości;
˛
• Pośrednie wartości oznaczaja˛ cześciowe
˛
checi
˛ użycia ostrzejszej metody walki;
• Można umownie wyszczególnić kilka najważniejszych progów charakteryzujacych
˛
cele
i metody postepowania
˛
uczestnika:
– Uczestnik zdarzenia używajacy
˛
zawzietości
˛
równej 0% działa bez zamiaru
zaszkodzenia rywalowi;
– Uczestnik zdarzenia używajacy
˛ zawzietości
˛
niemniejszej niż 20% działa z celem
upokorzenia rywala, próbujac
˛ uzyskać dominacje˛ nad nim;
– Uczestnik zdarzenia używajacy
˛ zawzietości
˛
niemniejszej niż 50% działa z osobistych
pobudek, odczuwa zadowolenie z ranienia rywala i może być uzbrojony;
– Uczestnik zdarzenia używajacy
˛
zawzietości
˛
równej 100% działa z zamiarem
eliminacji rywala, bed
˛ ac
˛ uzbrojonym.
6
5
Uwagi dodatkowe
• A oraz O otrzymuja˛ wypłaty dodatnie za użyta˛ przez siebie siłe,
˛ oraz ujemne za siłe˛ użyta˛
przez rywala;
• A, O i S otrzymuja˛ także wypłaty za rozstrzygniecie
˛
walki. Wypłaty te moga˛ być
dodatnie (jeżeli dane rozstrzygniecie
˛ satysfakcjonuje danego uczestnika) badź
˛ ujemne (gdy
takie zakończenie walki jest dla walczacego
˛
niekorzystne). W przypadku A i O wypłaty
te zależa˛ wyłacznie
˛
od zaangażowania własnego, natomiast dla S od zaangażowania obu
uczestników;
• Decydujac
˛ sie˛ na interwencje˛ S traci wypłate˛ w wysokości Γ – parametr zależny od D.
Wielkość te˛ powinno sie˛ wybierać ostrożnie – zbyt wysokie Γ spowoduje zniechecenie
˛
S
do jakichkolwiek działań („znieczulica społeczna”), natomiast zbyt niskie – fale˛ błahych
zgłoszeń (zgłaszajacy
˛ licza˛ wówczas na nagrode,
˛ jednak efektem bedzie
˛
dezorganizacja
pracy D). Zauważmy, że gdy D określa parametr S N , to powinna jednocześnie określić
Γ w taki sposób, aby wypłaty S dla (S A , S O ) = (S N , S N ) w przypadkach interwencji i jej
braku były sobie równe (określajac
˛ Γ powyżej tej wartości S bedzie
˛
ignorował niektóre
konflikty za które D nałożyłaby kare,
˛ natomiast gdyby Γ byłaby poniżej tej wartości S
zgłaszałby pewne starcia na które D pozwala);
• Należy pamietać,
˛
że nie każda agresja to bullying. Typ zdarzenia jest znany dla A i O,
ale zarówno S i D nie posiadaja˛ tej wiedzy i postepuj
˛ a˛ tak jak w opisywanym modelu.
W takich przypadkach różnice bed
˛ a˛ polegały na zmianie wypłat A i O (inne zależności
miedzy
˛
współczynnikami, przeciwny znak itp.);
• Chociaż zjawiska bullyingu nie da sie˛ wyeliminować, D powinno dażyć
˛
do jego
minimalizacji, tzn. ograniczenia ostrości konfliktów do z góry określonej przez siebie
wartości. W tym celu D powinna odpowiednio dobrać wartości współczynników na które
ma wpływ (S N , q, Γ, J).
7
6
Rozstrzygniecie
˛ konfliktu „oczami Atakujacego
˛
(A)”
1. Wygrana Atakujacego
˛
(WA):
• A czuje mała˛ satysfakcje˛ z wygranej;
• A uważa, iż bedzie
˛
potrzebował wielu takich zwyciestw,
˛
by móc cieszyć sie˛ poważaniem.
2. Wygrana Obrońcy (WO):
• A jest całkowicie zaskoczony;
• A ma do siebie za złe oszczedzanie
˛
sie;
˛
• A mocno traci na prestiżu;
• A staje sie˛ obiektem kpin wśród innych Atakujacych.
˛
3. Brak kary (BK):
• A nic nie zyskuje, ale i nie traci;
• A uznaje walke˛ za „odroczona”.
˛
4. Interwencja za Atakujacym
˛
(IA):
• A odczuwa zadowolenie z zyskania poparcia D;
• A zamierza wykorzystać to zdarzenie do bezpiecznego gnebienia
˛
O;
• A ocenia wynikajacy
˛ zysk znacznie wyżej niż strate˛ spowodowana˛ kilkoma sińcami.
5. Interwencja obustronna (IN):
• A nie odniósł żadnych korzyści;
• A poniósł kare,
˛ z która˛ musiał sie˛ liczyć;
• A odczuwa cześciow
˛
a˛ satysfakcje˛ z powodu podziału kary;
• A jest chetny
˛
do późniejszej kontynuacji walki.
6. Interwencja za Broniacym
˛
(IO):
• A czuje sie˛ zdemaskowany;
• A myśli, że niepotrzebnie ujawniał w tym momencie swoja˛ siłe;
˛
• A może zostać zmuszony do chwilowego zaprzestania swej działalności.
8
7
Rozstrzygniecie
˛ konfliktu „oczami Broniacego
˛
(O)”
1. Wygrana Atakujacego
˛
(WA):
• O odczuwa niezadowolenie;
• O ocenia, że tym razem trudno było osiagn
˛ ać
˛ lepsze rozstrzygniecie;
˛
• O sadzi,
˛
że nastepnym
˛
razem powinien bronić sie˛ zacieklej.
2. Wygrana Obrońcy (WO):
• O odczuwa wielka˛ satysfakcje;
˛
• O utwierdza sie˛ w przekonaniu, iż wcale nie jest taki słaby jak wcześniej sugerowano;
• O znacznie zyskuje na prestiżu wśród potencjalnych przeciwników.
3. Brak kary (BK):
• O nic nie zyskuje, ale i nie traci;
• O uznaje walke˛ za „odroczona”.
˛
4. Interwencja za Atakujacym
˛
(IA):
• O jest podłamany;
• O uważa swa˛ kare˛ za absurdalna˛
(„jedyne w czym zawiniłem, to pozwoliłem sie˛ zaatakować”);
• O czuje, że to A ma poparcie społeczne.
5. Interwencja Obustronna (IN):
• O jest bardzo zawiedziony;
• O uznaje własna˛ kare˛ za niesłuszna;
˛
• O czułby sie˛ nieco lepiej, gdyby pobił A mocniej;
• Dla O rozstrzygniecie
˛ IN jest gorsze od WA
(w obu przypadkach został pobity, ale w pierwszym dostał dodatkowo kare).
˛
6. Interwencja za Obrońca˛ (IO):
• O jest bardzo zadowolony z dotkliwego ukarania A;
• O odczuwa, że prawo jest po jego stronie.
9
8
Rozstrzygniecie
˛ konfliktu „oczami Otoczenia (S)”
1. Wygrana Atakujacego
˛
(WA):
• S odczuwa zagrożenie zwiazane
˛
z panujac
˛ a˛ agresja;
˛
• S rozważa poparcie dla działań agresora na zasadzie „lepiej bić niż być bitym”.
2. Wygrana Obrońcy (WO):
• S odczuwa zagrożenie zwiazane
˛
z panujac
˛ a˛ agresja;
˛
• S rozważa poparcie dla działań agresora na zasadzie „lepiej bić niż być bitym”;
• S stwierdza, że eskalacja agresywnych działań została chwilowo zahamowana.
3. Brak kary (BK):
• S jest zaskoczony takim zakończeniem walki;
• S nie rozumie motywów działania D;
• S stwierdza, że nastepnym
˛
razem lepiej nie interweniować.
4. Interwencja za Atakujacym
˛
(IA):
• S otoczenie jest nieco zaskoczone takim rozstrzygnieciem;
˛
• S uznaje kare˛ za słuszna˛ przyjmujac,
˛ że D dokładnie analizujac
˛ przebieg konfliktu
stwierdziła przekroczenie granic obrony.
• S zauważa zainteresowanie D i oczekuje podjecia
˛ kroków naprawczych dla zmniejszenia
poziomu agresji.
5. Interwencja Obustronna (IN):
• S uważa, że kara dla obu uczestników konfliktu uznanych za równoprawnych sprawców
jest słuszna;
• S stwierdza, że podwójna kara jest podwójnym potwierdzeniem słuszności interwencji.
• S zauważa zainteresowanie D i oczekuje podjecia
˛ kroków naprawczych dla zmniejszenia
poziomu agresji.
6. Interwencja za Obrońca˛ (IO):
• S ocenia udzielenie takiej kary za słuszne;
• S zauważa zainteresowanie D i oczekuje podjecia
˛ kroków naprawczych dla zmniejszenia
poziomu agresji.
10
9
Wypłaty
1. Wypłaty dla A:
• Za siłe˛ ataku: (S A )αA
• Za siłe˛ obrony: −(S O )αO
• Za rozstrzygniecie:
˛
–
–
–
–
–
Wygrana A: (S A )αWA
Wygrana O: −(S A )αWO
Interwencja za A: (S A )αIA
Interwencja obustronna: −(S A )αIN
Interwencja za O: −(S A )αIO
2. Wypłaty dla O:
• Za siłe˛ ataku: −(S A )βA
• Za siłe˛ obrony: (S O )βO
• Za rozstrzygniecie:
˛
–
–
–
–
–
Wygrana A: −(S O )βWA
Wygrana O: (S O )βWO
Interwencja za A: −(S O )βIA
Interwencja obustronna: −(S O )βIN
Interwencja za O: (S O )βIO
3. Wypłaty dla S:
• Za rozstrzygniecie:
˛
–
–
–
–
–
–
Wygrana A: −( 21 (S A + S O ))γWA
Wygrana O: −( 21 (S A + S O ))γWO
Brak kary: −( 21 (S A + S O ))γBK
Interwencja za A: −( 21 (S A + S O ))γIA
Interwencja obustronna: ( 12 (S A + S O )γIN )
Interwencja za O: ( 12 (S A + S O ))γIO
4. Zależności miedzy
˛
parametrami:
• α A > αO ∧ β A < β O
(Zysk z własnego zaangażowania jest mniejszy niż strata z zaangażowania rywala)
• αIA < αWA (A zyskuje wiecej
˛ przy IA, a mniej przy WA)
• αWO < αIO < αIN (A traci najwiecej
˛ przy WO, a najmniej przy IN)
• βWO < βIO (O zyskuje wiecej
˛ przy WO, a mniej przy IO)
• βIA < βIN < βWA (O traci najwiecej
˛ przy IA, a najmniej przy WA)
• γIN < γIO < γIA (S zyskuje najwiecej
˛ przy IN, a najmniej przy IA)
• γWA < γWO < γBK (S traci najwiecej
˛ przy WA, a najmniej przy BK)
• Rozstrzygniecie
˛ BK przynosi wypłate˛ 0 dla A i O.
11
10
Przykład
• Ustalmy parametry na które D nie ma wpływu nastepuj
˛ aco:
˛
– αA = 1, αO = 43 , αWA = 32 , αWO = 35 , αIA = 12 , αIN = 2, αIO = 23 ;
– βA = 65 , βO = 54 , βWA = 2, βWO = 13 , βIA = 31 , βIN =
– γWA = 34 , γWO = 54 , γBK = 54 , γIA = 43 , γIN = 1, γIO =
2
,
3
5
.
4
βIO = 12 ;
• Do określenia funkcji przewagi zaskoczenia (LASK) i przewagi silniejszego (PwrAdv)
posłużyłem sie˛ własnymi danymi szacunkowymi oraz programem Graph[10] :
– LAS K(t) = 0.0017871926 + 0.70492985 · exp(−6.1779667 · t);
0.66897612·t
– PwrAdv(t) = 1+(−0.99998635)·t
2.
– Prawdopodobieństwo wygranej A przy biernej postawie S dane jest wzorem:
O
Chance(S A , S O ) = max(min( 12 + LAS K(S A + S O ) + PwrAdv( SS AA −S
); 1); 0).
+S O
• Załóżmy, że D zdecydowała sie˛ ustalić parametry:
– S N = 0.18, q = 23 , J = 0.06;
– Współczynnik Γ wynosi wiec:
˛
Γ = PayS urI(0.18, 0.18) − PayS urN(0.18, 0.18) = 0.6403906
• Korzystajac
˛ z Folk Theorem[11] można znaleźć strategie bezpieczeństwa dla A i O.
Tutaj wynosza˛ one:
– S A = 0.23 (dajaca
˛ wypłate˛ −0.280639562 przy S O = 0.17 i niższe przy S O ≥ 0.99);
– S O = 0.21 (zapewniajaca
˛ wypłate˛ co najmniej −0.413119540 przy S A = 0.18).
• Biorac
˛ pod uwage˛ racjonalność przeciwnika, tj. dażenie
˛
do maksymalizacji swojej wypłaty,
lepszymi strategiami bezpieczeństwa sa:
˛
– S A = 0.19 (najlepsza odpowiedź S O = 0.16 pozostawia A wypłate˛ −0.1425875);
– S O = 0.15 (najlepsza odpowiedź S A = 0.20 pozostawia O wypłate˛ −0.01370959).
• Znalezione punkty sa˛ siodłami gry i stanowia˛ jej rozwiazanie.
˛
– (S A , S O )1 = (0.19, 0.16);
– (S A , S O )2 = (0.20, 0.15).
• Żadne z tych rozwiazań
˛
nie dominuje drugiego w sensie Pareto[12] .
12
13
14
15
11
Wnioski
1. We wszystkich punktach siodłowych bed
˛ acych
˛
rozwiazaniem
˛
gry strategia˛ S jest
„Brak Interwencji”.
2. Konsekwencje zmiany parametru q:
• Zmniejszenie parametru q powoduje, że S interweniuje w wiekszej
˛
liczbie
przypadków;
• Zmniejszenie parametru q powoduje zmniejszenie zawzietości
˛
używanej przez A i O;
• Zmniejszenie parametru q powoduje zwiekszenie
˛
średnich wypłat O i S oraz
zmniejszenie średniej wypłaty A;
• Zmniejszenie parametru q powoduje zwiekszenie
˛
parametru Γ, co może nieść
negatywne skutki przy innych zjawiskach (np. zniechecenie
˛
S do współpracy z D);
• D powinna obniżyć ten parametr tylko w przypadku nadmiernej eskalacji
negatywnych zjawisk, takich jak bullying;
• W podanym przykładzie, zmieniajac
˛ wartość parametru q na 0.005 rozwiazaniami
˛
sa:
˛
– (S A , S O )1 = (19, 16);
– (S A , S O )2 = (20, 14).
• Przy zmianie wartości parametru q na 1 rozwiazaniami
˛
sa:
˛
– (S A , S O )1 = (19, 16);
– (S A , S O )2 = (21, 14).
3. Konsekwencje zmiany parametru J:
• Zwiekszenie
˛
parametru J powoduje zwiekszenie
˛
zawzietości
˛
używanej przez A oraz
zmniejszenie zawzietości
˛
używanej przez O;
• Zwiekszenie
˛
parametru J powoduje zwiekszenie
˛
średnich wypłat A i S oraz obniżenie
średniej wypłaty O;
• Zwiekszenie
˛
parametru J sprzyja eskalacji opisywanego zjawiska;
• Majac
˛ na uwadze tylko bullying, D powinna obniżyć ten parametr do zera.
Biorac
˛ pod uwage˛ wszystkie okoliczności, D powinna ustalić ten parametr na innej
„niskiej” wartości, aby zachować możliwość nakładania kary dzielonej;
• W podanym przykładzie, zmieniajac
˛ wartość parametru J na 0 rozwiazaniami
˛
sa:
˛
– (S A , S O )1 = (19, 16);
– (S A , S O )2 = (20, 15).
• Przy zmianie wartości parametru J na 20 rozwiazaniami
˛
sa:
˛
– (S A , S O )1 = (21, 14);
– (S A , S O )2 = (22, 12).
16
A
Wybrane kody w R
Prec = 100;
# Określa dokładność (10^R = Prec)
SN = 18; q = 2/3; J = 6;
tab <- seq(0, 130);
tab2 <- seq(-30, 130);
logic <- function(m, n) return (sign(sign(m-n)+1));
logic2 <- function(m, n) return ((sign(m-n)+1)/2);
dskel <- function(k, lambda1, lambda2, suma) return (
(for (i in tab)(suma = suma + dpois(i+k, lambda1) * dpois(i, lambda2))));
# Prawdopodobieństwo w punkcie k rozkładu Skellama o parametrach lambda1, lambda2; suma = 0
pskel <- function(k, lambda1, lambda2, suma) return (
(for (i in tab)(suma = suma + ppois(i+k, lambda1) * dpois(i, lambda2))));
# Dystrybuanta w punkcie k rozkładu Skellama o parametrach lambda1, lambda2; suma = 0
LASK <- function(t) return(
0.0017871926 + 0.70492985 * exp(-6.1779667 * t / Prec));
PwrAdv <- function(t) return(
0.66897612 * t / (1 + (-0.99998635) * t^2));
Chance <- function(x, y) return(
pmax(0, pmin(1, 0.5 + LASK(x+y) + PwrAdv((x-y)/(x+y)))));
DivInt <- function(x, y, suma) return (
(for (k in tab2)(suma = suma + (
dskel(k, x, SN, 0) * pskel((-k+(1+q)*SN-(q*x+y))*q, y, SN, 0) * logic(SN-x, k) +
dskel(k, x, SN, 0) * pskel((-k+(1+q)*SN-(x+q*y))/q, y, SN, 0) * (1-logic(SN-x, k))))));
# Prawdopodobieństwo nienałożenia żadnej kary przez Dyrekcj˛
e w już zgłoszonym przypadku
IntAtk <- function(x, y, suma) return (
(for (k in tab2)(suma = suma + (dskel(k, x, SN, 0) * (1-pskel(k+x-y+J, y, SN, 0))))));
# Prawdopodobieństwo nałożenia kary wył˛
acznie na Broni˛
acego
IntDef <- function(x, y, suma) return (
(for (k in tab2)(suma = suma + (dskel(k, x, SN, 0) * pskel(k+x-y-J-1, y, SN, 0)))));
# Prawdopodobieństwo nałożenia kary wył˛
acznie na Atakuj˛
acego
PaySurN <- function(x, y) return (
Chance(x, y) * -(x+y)/(2*Prec)^(3/4) +
(1-Chance(x, y)) * -(x+y)/(2*Prec)^(4/5));
# Wypłata Otoczenia w sytuacji gdy nie interweniuje
PaySurI <- function(x, y) return (
DivInt(x, y, 0) * -((x+y)/(2*Prec))^(5/4) +
(1-DivInt(x, y, 0)) * IntAtk(x, y, 0) * ((x+y)/(2*Prec))^(4/3) +
(1-DivInt(x, y, 0)) * IntDef(x, y, 0) * ((x+y)/(2*Prec))^(5/4) +
(1-DivInt(x, y, 0)) * (1-IntAtk(x, y, 0)-IntDef(x, y, 0)) * ((x+y)/(2*Prec))^(1));
# Wypłata Otoczenia w sytuacji gdy interweniuje
gamma = PaySurI(SN, SN) - PaySurN(SN, SN);
PayAtk <- function(x, y) return (
logic2(PaySurN(x, y), PaySurI(x, y) - gamma) * Chance(x, y) * (x/Prec)^(3/2) +
logic2(PaySurN(x, y), PaySurI(x, y) - gamma) * (1-Chance(x, y)) * (-(x/Prec)^(3/5)) +
(1-logic2(PaySurN(x, y), PaySurI(x, y) - gamma)) * (1-DivInt(x, y, 0)) * IntAtk(x, y, 0) * (x/Prec)^(1/2) +
(1-logic2(PaySurN(x, y), PaySurI(x, y) - gamma)) * (1-DivInt(x, y, 0)) * IntDef(x, y, 0) * (-(x/Prec)^(2/3)) +
(1-logic2(PaySurN(x, y), PaySurI(x, y) - gamma)) * (1-DivInt(x, y, 0)) * (1-IntAtk(x, y, 0)-IntDef(x, y, 0)) * (-(x/Prec)^2) +
(x/Prec)^1 + (-(y/Prec)^(3/4)));
# Wypłata Atakuj˛
acego (przy założeniu racjonalności Otoczenia)
PayDef <- function(x, y) return (
logic2(PaySurN(x, y), PaySurI(x, y) - gamma) * Chance(x, y) * (-(y/Prec)^2) +
logic2(PaySurN(x, y), PaySurI(x, y) - gamma) * (1-Chance(x, y)) * (y/Prec)^(1/3) +
(1-logic2(PaySurN(x, y), PaySurI(x, y) - gamma)) * (1-DivInt(x, y, 0)) * IntAtk(x, y, 0) * (-(y/Prec)^(1/3)) +
(1-logic2(PaySurN(x, y), PaySurI(x, y) - gamma)) * (1-DivInt(x, y, 0)) * IntDef(x, y, 0) * (y/Prec)^(1/2) +
(1-logic2(PaySurN(x, y), PaySurI(x, y) - gamma)) * (1-DivInt(x, y, 0)) * (1-IntAtk(x, y, 0)-IntDef(x, y, 0)) * (-(y/Prec)^(2/3)) +
(-(x/Prec)^(5/6)) + (y/Prec)^(5/4));
# Wypłata Broni˛
acego (przy założeniu racjonalności Otoczenia)
PaySur <- function(x, y) return (pmax(PaySurN(x, y), PaySurI(x, y) - gamma));
# Wypłata Otoczenia
17
par(bg = "white")
x <- seq(0, 100)
y <- seq(0, 100)
z <- outer(x, y, PayAtk)
ż <- outer(x, y, PayDef)
ź <- outer(x, y, PaySur)
Pom1 <- outer(x, y, PaySurN)
Pom2 <- outer(x, y, PaySurI)
nrz <- nrow(z)
ncz <- ncol(z)
# Create a function interpolating colors in the range of specified colors
jet.colors <- colorRampPalette(c("white", "slateblue", "midnightblue", "darkgreen", "green", "yellow", "orange", "red", "black"))
# Generate the desired number of colors from this palette
nbcol <- 100
color <- jet.colors(nbcol)
# Compute the z-value at the facet centres
zfacet <- z[-1, -1] + z[-1, -ncz] + z[-nrz, -1] + z[-nrz, -ncz]
# Recode facet z-values into color indices
facetcol <- cut(zfacet, nbcol)
persp(x, y, z, col=color[facetcol], phi=90, theta=0, r=1000000,
main="Wypłata Atakuj˛
acego", ticktype="detailed", nticks=10,
xlab="Zawzi˛
etość Atakuj˛
acego", ylab="Zawzi˛
etość Broni˛
acego");
18
Literatura
[1] Philip D. Straffin, Teoria gier, Wydawnictwo Naukowe „Scholar”, Warszawa 2004
[2] Marcin Malawski, Andrzej Wieczorek, Honorata Sosnowska, Konkurencja i kooperacja:
teoria gier w ekonomii i naukach społecznych, Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa 2004
[3] Józef Kozielecki, Konflikt, teoria gier i psychologia, Państwowe Wydawnictwo Naukowe,
Warszawa 1970
[4] Aljaž Ule, Partner choice and cooperation in networks: theory and experimental evidence,
Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2008
[5] Dan Olweus, Mobbing. Fala przemocy w
Wydawnictwo Jacek Santorski & Co, Warszawa 2007
szkole.
[6] http://www.szkolabezprzemocy.pl
[7] http://www.pl.wikipedia.org/wiki/Efekt_potwierdzania
[8] http://www.pl.wikipedia.org/wiki/Efekt_zaprzeczania
[9] http://www.wikipedia.org/wiki/Skellam_distribution
http://www.fact-archive.com/encyclopedia/Skellam_distribution
[10] http://www.padowan.dk/graph/
[11] http://www.wikipedia.org/wiki/Folk_theorem_(game_theory)
[12] http://www.pl.wikipedia.org/wiki/Optimum_Pareta
[13] http://www.r-project.org/
Jak
ja˛
powstrzymać?,