Zadania do konkurs grudniowego Zadanie 1 Oblicz : . Zadanie 2. Po

Zadania do konkurs grudniowego
Zadanie 1
Oblicz
:
.
Zadanie 2.
Po dwukrotnej obniżce ceny towaru, za każdym razem o ten sam procent, jego cena końcowa
stanowi 64% ceny pierwotnej . O ile procent dokonano każdorazowo obniżki ceny towaru?
Zadanie 3.
Student musi zdać 31 egzaminów w ciągu 5 lat studiów. W każdym kolejnym roku liczba
egzaminów jest większa niż w roku poprzednim. W piątym roku studiów liczba egzaminów
jest 3 razy większa niż w pierwszym roku studiów. Ile egzaminów musi student zdać w
czwartym roku studiów.
Zadanie 4.
Suma dwóch ułamków wynosi
. Stosunek liczników tych ułamków wynosi 2 : 3,
a mianowników 3 : 4. Wyznacz te ułamki.
Zadanie 5.
W koło wpisano kwadrat i na tym kole opisano trójkąt równoboczny. Suma długości boku trójkąta i
boku kwadratu jest równa 12 cm. Oblicz promień koła.
Zadanie 6.
Suma kwadratów długości trzech boków trójkąta prostokątnego wynosi 72. Jaka jest długość
przeciwprostokątnej?
Zadanie 7
Wyznacz liczbę dzielników liczby 2000.
Zadanie 8
Wykaż, że jeżeli ostatnią cyfrą liczby naturalnej jest 7, to ostatnią cyfrą jej kwadratu jest 9.
Czy zachodzi twierdzenie odwrotne?
Zadanie 9
Błąd bezwzględny przybliżenia 5,2 liczby a nie przekracza 0,1 , natomiast błąd bezwzględny
przybliżenia 3,1 liczby b nie przekracza 0,2. Korzystając z tych informacji oszacuj wartość
wyrażenia: 2a(a +b).
Zadania do konkurs grudniowego
Zadanie 10.
Rozwiąż równanie z niewiadomą x:
517  516
9
25 x 
9

125 2 * 25 2
Zadanie 11.
Odsetki od dwóch kredytów o łącznej wartości 100000zł wynoszą rocznie 3150zł, przy czym
stopa procentowa w skali jednego roku jednego z kredytów jest równa 3%, a drugiego 3,5%.
Oblicz kwotę każdego z tych kredytów.
Zadanie 12.
Suma cyfr liczby dwucyfrowej a jest równa 11. Liczba otrzymana po przestawieniu cyfr
w liczbie a jest mniejsza od połowy liczby a. Wyznacz liczbę a.
Zadanie 13.
Znajdź takie trzy liczby pierwsze, których iloczyn jest pięć razy większy od ich sumy.
Zadanie 14.
Do trójkąta prostokątnego, w którym przyprostokątne mają długości AC  5 i BC  5 3 ,
Dorysowano trójkąt równoboczny ADB. Wykaż, że trójkąt BCD jest prostokątny
Zadanie 15.
Wykaż, że iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych zwiększony o 1 jest kwadratem
liczby naturalnej.
Zadanie 16.
Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych  x, y  , które spełniają równanie:
2 x  y  1x  y  1  7
Zadanie 17.
Jakie są ostatnie cztery cyfry sumy:
1  11  111  ...  11111
...


1
2003 razy
Zadanie 18.
Z miejscowości odległych od siebie o 2 km wychodzą jednocześnie na spotkanie 2 osoby.
Pierwsza idzie z prędkością 90 m/min., a druga 60 m/min. Równocześnie z pierwszą osobą
wyrusza pies biegnący z prędkością 300 m/min. Pies po dobiegnięciu do drugiej osoby
zawraca i biegnie do osoby pierwszej, następnie znowu zawraca i biega tak do chwili, gdy
osoby spotkają się. Ile kilometrów przebiegnie pies?
Zadanie 19.
Znajdź tę wartość parametru k, dla której zbiorem rozwiązań nierówności:
kx + 9 > 2(x + k) jest przedział  ,3 .
Zadania do konkurs grudniowego
Zadanie 20
Pająk rozpina nitki pajęczyny we wnętrzu szklanego sześcianu . Początek i koniec każdej
nitki znajduje się bądź w wierzchołku , bądź na środku krawędzi, bądź na środku ściany ,
nigdy jednak na tej samej ścianie sześcianu. Ile nitek może w ten sposób rozpiąć?
Zadanie 21
W okręgu poprowadzono trzy cięciwy nie przecinające się , jak na rysunku . Punkty K, L, M
są środkami tych cięciw. Uzasadnij, że kąty CKL i LMB są równe.
Zadanie 22
Uzasadnij, że reszta z dzielenia kwadratu dowolnej liczby naturalnej przez 8 należy
do zbioru 0, 1, 4.
Zadanie 23
Jeżeli prędkość pociągu zostanie zwiększona o 10km/h zyskuje się 40 minut na trasie. Jeżeli
prędkość zostanie zmniejszona o 10km/h traci się 1 godzinę. Jaka jest długość trasy ?
Zadanie 24.
Podstawą trójkąta równobocznego jest średnica koła. Oblicz stosunek pola części trójkąta
leżącej na zewnątrz koła do pola części trójkąta leżącej wewnątrz koła.
Zadanie 25.
Rozwiąż układ nierówności:
 x 2  2 x  1  2 5  32 5  3


x 5
x

52
Zadanie 26.
Oblicz x i y wiedząc, że:
2
 
5
2 x 3
1 y
5
 
2
 4 

oraz 
 25 
2 y 3 x
2
 
5
y4 x
.
Zadanie 27.
Właściciel domu chcąc oszczędzić energię elektryczną, dokonał trzech usprawnień, które
obniżyły wydatki na ogrzewanie domu kolejno o 20%, o 25% i o 55%. O ile procent łącznie
zmniejszyły się jego wydatki na ogrzewanie?
Zadanie 28.
Mydło mające kształt kuli zużyło się tak, że powstała kula o promieniu trzykrotnie mniejszym
od początkowego. Jaka część mydła została już zużyta? Podaj ile procent mydła zostało.
Zadania do konkurs grudniowego
Zadanie 29.
Cztery osoby tworzą grupę podróżujących samochodem. Prowadzą zmieniając się od czasu
do czasu i każdy pokonuje odległość 24km. Sylwia jedzie spokojnie i rozważnie. Potrzebuje
zawsze jednakowego czasu. Christine potrzebuje 6 min mniej niż Sylwia. Michał jedzie
szybciej i potrzebuje 6 min mniej niż Christine. Antoni jedzie całkowicie nieodpowiedzialnie.
Potrzebuje 6 min mniej niż Michał i jest dwa razy szybszy niż Christine.
Oblicz dla każdej osoby średnią prędkość.
Zadanie 30.
Hektor ma teraz 50 lat. Dowiaduje się, że średnia wieku w jego kraju wynosi 78 lat i co rok
powiększa się o 2 miesiące.
W którym roku jego wiek będzie równy średniej krajowej, jeżeli średnia wieku będzie
wzrastać tak jak do tej pory?
Zadanie 31.
Odcinek łączący środki ramion trapezu rozcina ten trapez na dwie figury o polach
2m 2 i 3m 2 . Oblicz pola figur, na które rozcina ten trapez jego przekątna.
Zadanie 32.
Narysuj linię określoną równaniem:
x2  y 2
Oblicz jej długość.
Zadanie 33.
Niech P = (a, b) będzie dowolnym punktem wykresu funkcji f(x) = -x+2.
a) Wyraź sumę odległości punktu P od osi układu współrzędnych jako funkcję zmiennej a
i naszkicuj wykres tej funkcji.
b) Znajdź współrzędne takiego punktu należącego do wykresu funkcji f, którego suma
odległości od osi układu współrzędnych jest równa 16.
Zadanie 34.
Połączono ramiona trapezu odcinkiem równoległym do podstaw w stosunku 2:3 od górnej
podstawy. Oblicz długość tego odcinka, jeśli podstawy maja długości a, b i
a > b.
Zadanie 35.
Udowodnij, że jeśli dwie środkowe trójkąta przecinają się pod kątem prostym, to suma
kwadratów długości tych boków trójkąta, do których poprowadzono te środkowe jest 5 razy
większa niż kwadrat długości trzeciego boku.
Zadania do konkurs grudniowego
Zadanie 36.
Podczas turnieju piłkarskiego rozegrano łącznie 30 spotkań. Drużyny zostały podzielone na
dwie równoliczne grupy. W jednej z grup każda z drużyn rozegrała z każdą inną po dwa
mecze, a w drugiej po trzy mecze. Ile drużyn brało udział w całym turnieju?
Zadanie 37.
g ( x)  2 x 
Naszkicuj wykres funkcji
x2  x2
x2  x2
, dla x  R
.
Zadanie 38.
Uzasadnij, że liczba
4n 4  4n 2  1  12 jest nieparzysta dla dowolnej liczby n N.
Zadanie 39.
Do roztworu wodnego soli kuchennej o stężeniu p% dodano 0,5 kg soli i otrzymano roztwór
o stężeniu 1,5 p%. Ile jest w tym roztworze (do którego dodawano sól) soli, a ile wody?
Zadanie 40.
Podaj elementy zbioru A, jeśli


A  x : x  N  3 x  51992
  3x  5 
2
1992 2

 49  51992 .
Zadanie 41.
Narysuj wykres funkcji:
max 5  x, 4  dla x   4, 4
f ( x)  
dla x   4, 4 ,
0
a dla a  b
jeśli max a, b   
.
b dla a  b
Zadanie 42.
Pola powierzchni trzech ścian prostopadłościanu wynoszą odpowiednio
480 3 , 360 2 , 200 6 . Oblicz długości boków tego prostopadłościanu oraz jego objętość.
Zadanie 43.
Wiedząc, że punkty A i B dzielą półokrąg na trzy równe części oblicz pole zacieniowanej
figury.
Zadania do konkurs grudniowego
Zadanie 44.
Sporządź wykres funkcji, która liczbie a przyporządkowuje liczbę pierwiastków równania
2x6 2x  x6  a
Zadanie 45.
Znajdź trzy liczby, z których druga jest większa od pierwszej o tyle, o ile trzecia jest większa
od drugiej i o których wiadomo, że iloczyn dwóch mniejszych liczb jest równy 85, iloczyn zaś
dwóch większych 115.
Zadanie 45.
2
Udowodnij, że jeśli a  b  a  b  c  , to
2
2
a 2  a  c 
b
2
2
b  c 
2

ac
, dla b  c
bc
Zadanie 46.
Dane są dwa okręgi O1 i O2 o wspólnym środku. Cięciwa większego okręgu styczna
do mniejszego ma długość 10 cm. Oblicz pole pierścienia kołowego wyznaczonego przez
te okręgi.
Zadanie 47.
Pani Jola podjęła nową pracę. Dyrektor zaproponował jej dwa warianty otrzymywania
wynagrodzenia:
I wariant: 1200 zł od razu i co rok podwyżka o 100 zł.
II wariant; 900 zł i co kwartał podwyżka o 10%.
Który wariant będzie korzystniejszy dla pani Joli i o ile, zakładając, że pragnie ona pracować
w tej firmie tylko dwa lata?
Zadanie 48.
Różnica dwóch liczb całkowitych nieparzystych jest podzielna przez 5. Jaką cyfrę jedności
ma różnica sześcianów tych liczb? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 49.
Udowodnij, że jeżeli funkcja f: R → R jest nieparzysta i ma okres s, to liczby ms, gdzie m є C
są miejscami zerowymi funkcji f.
Zadanie 50.
Rozwiąż nierówność
x  2  2x  8
Zadanie 51.
Punkt X jest dowolnym punktem leżącym wewnątrz równoległoboku ABCD. Wykorzystując
nierówność trójkąta uzasadnij, że |AX| < |BX| + |CX| + |DX|.
Zadania do konkurs grudniowego
Zadanie 52.
Ile jest liczb całkowitych, dla których wyrażenie:
liczbowy?
2 x  6  56  7 x ma sens
Zadanie 53.
Wyznacz wszystkie liczby całkowite x spełniające jednocześnie warunki:
 -2x  0 i  4(3  x )  x  11 . O ile procent największa z tych liczb jest większa
od najmniejszej z nich?
Zadanie 54.
Oblicz:
5 6
4 1
1
 :3 2
 : 9  14
4 7
5 4
60
31
41

5 6
4 1
1
 : 9  14
 :3 2
4 7
5 4
60
31
41
Zadanie 55.
Poruszamy się robiąc kroki tej samej długości i po każdym kroku obracamy się o 12o w
lewo. Jaki jest tor naszego ruchu?
Zadanie 56.
Oblicz pole obszaru ograniczonego prostymi o równaniach: y=3x-9
oraz dodatnimi półosiami układu współrzędnych.
i y=2x+6
Zadanie 57.
Karawana o długości 1 km idzie przez pustynię z prędkością 4 km/h. Co jakiś czas od
czoła karawany do jej końca i z powrotem biega pies z prędkością 6 km/h. Jaką drogę
przebywa pies i w jakim czasie?
Zadanie 58.
Narysuj wykres, wyznacz zbiór wartości i miejsca zerowe funkcji określonej wzorem:
 12 x  3
y
16 x 2  8 x  1
Zadanie 59.
 x  1
Rozwiąż równanie: 
 5 , gdzie x  oznacza część całkowitą liczby x.
 2 
Zadanie 60.
Udowodnij, że liczba 123123 – 5757 jest podzielna przez 10.
Zadanie 61.
Dwie kolejne obniżki ceny towaru o p% i q% można zastąpić jednorazową obniżką ceny o
x%. Oblicz x.
Zadania do konkurs grudniowego
Zadanie 62.
Oblicz kąty rombu, w którym stosunek obwodu do sumy długości przekątnych wynosi
2 6
.
3
Zadanie 63.
Znajdź wszystkie liczby pierwsze p i q takie, że p jest dzielnikiem q+1 i q jest dzielnikiem
p+1.
Zadanie 64.
a) Narysuj wykres funkcji f  x  
x2x
 1 x ;
x2
b) Określ liczbę rozwiązań równania f(x) = m, (mR) w zależności od parametru m.
Zadanie 65.
Rozwiąż równanie
3  x 2 2  2  
2.
Zadanie 66.
1
1
Jaś wypił
filiżanki kawy i uzupełnił ją mlekiem. Następnie wypił tej filiżanki i znowu
6
3
dolał mleka do pełna. Potem wypił połowę tej filiżanki i uzupełnił ponownie mlekiem, po
czym wypił całą jej zawartość. Czego Jaś wypił więcej: kawy czy mleka?
Zadanie 67.
Uzasadnij, że suma
9 8  9 7  9 6  9 5  9 4  9 3  9 2  9 jest liczbą podzielną przez 90.
Zadanie 68.
W równoległoboku ABCD bok AB jest dwa razy większy od BC. Punkt M dzielący bok AB
na połowy połączono z punktami C i D. Uzasadnij, że kąt CMD jest prosty. Wykonaj rysunek
pomocniczy.
Zadanie 69.
Oznaczmy przez  - największą liczbę pierwszą, nie większą od x, a przez  - najmniejszą
liczbę pierwszą, nie mniejszą od x. Ile to jest
Zadanie 70.


x 3
Podaj elementy zbioru A, jeśli A   x : x  N i
 x i x  6
32


Zadanie 71.
Wykaż, że liczba
2  2 2  2 3  ...  2100
jest liczbą podzielną przez 6.
Zadania do konkurs grudniowego
Zadanie 72.
Naszkicuj wykres funkcji podanej wzorem f (n)  NWD (20, n)
n  24 .
Zadanie 73.
W trójkącie prostokątnym okrąg o promieniu r jest styczny do obu przyprostokątnych, a jego
środek leży na przeciwprostokątnej i dzieli ją w stosunku m:n. Oblicz pole trójkąta.
Zadanie 74.
Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych, których suma czwartych potęg jest 4 razy
większa od sumy ich kwadratów.
test wyboru
Zadanie 1
Liczby a, b, c, d są takie , że 3 abc  4 i
A. 25
B. 100
4
abcd  2 10 . Liczba d jest równa :
C. 64
D. 5
Zadanie 2
Funkcja f(n) przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej n  1 liczbę liczb pierwszych
mniejszych od n. Wtedy f(23) jest równe :
A. 6
B. 7
C. 8
D. 9
Zadanie 3
Jeżeli
A. x = 997
,
B. x = 779
to
C. x = 449
D. x = 499
Zadanie 4
Równanie ||x-2|-1| = a posiada dokładnie trzy pierwiastki. Jaka jest wartość parametru a?
A. 0
B. 3
C.1
D. 2,5
Zadanie 5
Tomek i Jacek mieli dwie jednakowe prostokątne kartki. Każdy z nich przeciął swoją kartkę
na dwie prostokątne części. Obwód każdej z kartek otrzymanych przez Tomka był równy
40 cm, a każdej z kartek otrzymanych przez Jacka był równy 50 cm. Jaki był obwód każdej z
kartek przed rozcięciem?
A.100cm
B. 50cm
C.60cm
D.80cm