wykład 10
Transkrypt
wykład 10
KINEMATYKA Pojęcia podstawowe Kinematyka jest działem mechaniki zajmującym się badaniem ruchu ciał bez uwzględniania przyczyn wywołujących ten ruch. Jej celem jest opis tego ruchu. Ruchem nazywamy zmianę położenia ciała w odniesieniu do innych ciał zwanych ciałami odniesienia. Mówiąc o ruchu ciała musimy zawsze pamiętać o ciele odniesienia (układzie odniesienia z nim związanym). Przykładowo: samochód – Ziemia, Ziemia – Słońce, Słońce (układ słoneczny) – gwiazdy stałe. Dla różnych ciał odniesienia inny jest ruch. Mówiąc o spoczynku ciała mamy na myśli spoczynek względem określonego ciała odniesienia. Z punktu widzenia kinematyki za układ odniesienia możemy przyjąć każde ciało lub układ ciał. W zagadnieniach technicznych układem odniesienia jest przeważnie Ziemia, traktowana jako układ nieruchomy. Prof. Edmund Wittbrodt KINEMATYKA punktu (materialnego) z bryły sztywnej A(xA, yA, zA) y x Ruch płaski obrotowy y y O x ≡ Ruch przestrzenny postępowy dowolny y przegub A' A O B' x B y z x A' A dowolny B B' x postępowy Podział kinematyki ze względów dydaktycznych z A kulisty z z B A A' y x y B O x y x B' A' B' Prof. Edmund Wittbrodt Kinematyka punktu Przez punkt będziemy rozumieli ciało, którego ruch możemy w zupełności opisać ruchem jednego, dowolnie wybranego punktu tego ciała. a) punkt (ruchy punktów są równe) b) nie możemy traktować jako punktu materialnego (ruchy punktów są różne) B A B A Przykłady ciał modelowanych za pomocą: a) punktu, b) bryły Położenie punktu w trójwymiarowej przestrzeni Euklidesa (E3) opisujemy za pomocą: 1) wektora wodzącego, 2) współrzędnych prostokątnych, 3) współrzędnych naturalnych, 4) współrzędnych biegunowych, 5) innych współrzędnych (np. walcowych). Prof. Edmund Wittbrodt Torem punktu nazywamy linię, będącą miejscem geometrycznym chwilowych położeń poruszającego się w przestrzeni punktu. Położeniem początkowym punktu nazywamy to miejsce na torze, w którym rozważany punkt znajduje się w chwili t = t0, gdzie t0 jest chwilą początkową. Prędkością punktu jest wielkość, będąca miarą zmiany jego położenia w jednostce czasu. Przyspieszeniem punktu jest wielkość, będąca miarą zmiany jego prędkości w jednostce czasu. W kinematyce bada się zależności pomiędzy współrzędnymi punktu, zmieniającymi się w czasie, a jego prędkością i przyspieszeniem. Prof. Edmund Wittbrodt Prof. Edmund Wittbrodt Opis ruchu za pomocą wektora wodzącego Wektorem wodzącym jest wektor o początku w punkcie odniesienia O, a końcu w miejscu, gdzie w danej chwili znajduje się rozważany punkt. Rozważmy teraz punkt A, którego położenie opisuje wektor wodzący o składowych: rx = rx (t ) , ry = ry (t ) , rz = rz (t ) , (3.1) gdzie t jest czasem. r Opis ruchu punktu za pomocą wektora wodzącego A O Równania (3.1) nazywamy równaniami ruchu (RR). Są one jednocześnie parametrycznymi równaniami toru (PRT). Wystarczy z równań ruchu wyrugować parametr, którym jest czas t, aby otrzymać równanie toru. Położenie. Jeżeli początek wektora wodzącego r , opisującego położenie punktu A, przyjmiemy w początku układu odniesienia, wówczas jego współrzędne są równe: z Położenie punktu we współrzędnych wektorowych A rx = rx (t ) , ry = ry (t ) , r (3.2) y O rz = rz (t ) , rx a wektor wodzący możemy zapisać r = rx (t ) i + ry (t ) j + rz (t )k rz . x (3.3) ry Prof. Edmund Wittbrodt z Prędkość. Rozważmy teraz dwa położenia punktu A, jedno w chwili t i drugie w chwili t + ∆t . A(t) ∆r r (t ) A ( t ) = A ( rx ( t ) ,ry ( t ) ,rz ( t ) ) A(t+∆t) A(t+∆t) = A(rx(t+∆t), ry(t+∆t), rz(t+∆t)) v sr r(t+∆t) y O Prędkość punktu we współrzędnych wektorowych x Prędkość średnią punktu A wyznaczamy z zależności vśr = ∆r ∆t . (3.4) Wektor vśr ma kierunek i zwrot zgodny z wektorem ∆r , a jego wartość zależy od przyjętego przedziału czasu ∆t . Aby wyznaczyć prędkość chwilową (ścisłą), dla danej chwili czasu t, należy obliczyć granicę z (3.4), przy ∆t → 0 v = lim ∆t → 0 ∆ r dr & = =r ∆t dt Wektor prędkości . (3.5) jest zawsze styczny do toru, w punkcie, w którym znajduje się rozważany punkt. v vzk Podstawiając (3.3) do (3.5) otrzymujemy związek pomiędzy położeniem a prędkością punktu v = r& = vx i + v y j + vz k gdzie składowe wektora vx = r&x , v , (3.5) A są równe: v (3.7) O v tor y są prędkościami punktu w kierunku osi x, y, z. x Wartość wektora vy j vx i v y = r&y , vz = r&z . Składowe wektora v z liczymy ze wzoru v = vx 2 + v y 2 + vz 2 . Wektor prędkości punktu (3.8) Prof. Edmund Wittbrodt Przyspieszenie. Podobnie jak prędkość średnią, możemy obliczyć średnie przyspieszenie punktu A, które jest zmianą wektora prędkości w jednostce czasu. Obliczamy je z zależności aśr = ∆v v (t + ∆t ) − v (t ) . = ∆t ∆t (3.9) Zarówno wartość jak i pośrednio kierunek wektora aśr zależy od przyjętego przedziału czasu ∆t . Aby obliczyć przyspieszenie chwilowe (ścisłe) dla czasu t przechodzimy z przyspieszeniem średnim (3.9) do granicy, przy ∆t → 0 a = lim = ∆t → 0 ∆v dv & && = =v =r . ∆t dt (3.10) Podstawiając (3.3) do (3.10) otrzymujemy a = v& = ax i + a y j + az k gdzie składowe wektora ax = v&x = && rx , a , (3.11) liczymy ze wzorów a y = v& y = && ry , az = v&z = r&&z , (3.12) natomiast wartość wektora przyspieszenia a = ax 2 + a y 2 + az 2 . (3.13) Należy podkreślić, że wektor przyspieszenia na ogół nie jest styczny do toru. Prof. Edmund Wittbrodt