N - DSP AGH

ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA
SYGNAŁÓW DYSKRETNYCH
Spis treści
1.
Zależności pomiędzy analizą częstotliwościową sygnałów
analogowych i dyskretnych
2.
Definicja i własności dyskretnej transformacji Fouriera
3.
Analiza częstotliwościowa dyskretnych obrazów
1
Dyskretna transformacja Fouriera
ang. Discrete Fourier Transform DFT
sygnał
2
1.5
1
0.5
widmo fazowe
widmo amplitudowe
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
2
3
4
5
6
7
8
8
czas
6
4
2
0
częstotliwość
1
0.5
0
-0.5
-1
1
częstotliwość
2
Trochę historii
Baron Jean Baptiste Joseph
FOURIER (1768-1830)
Z wyróżnieniem ukończył szkolę wojskową w Auxerre.
Został nauczycielem Ecole Normal a potem Politechniki
w Paryżu.
Napoleon mianował go zarządcą Dolnego Egiptu w 1798
roku.
Po powrocie do Francji został prefektem w Grenoble.
Baronem został w 1809 roku. Ostatecznie w 1816 roku
został sekretarzem Akademii Nauk a następnie jej
członkiem w 1817.
W okresie od 1808 roku do 1825 roku napisał 21 tomowy
Opis Egiptu.
Równaniem ciepła zainteresował się w 1807 roku. W opublikowanej w 1822 roku
pracy pokazał jak szereg zbudowany z sinusów i kosinusów można wykorzystać do
analizy przewodnictwa ciepła w ciałach stałych. Nad szeregami trygonometrycznymi
pracował do końca życia, rozszerzając tę problematykę na transformację całkową.
3
Geneza transformacji sygnału
jednowymiarowego
Widmo sygnału analogowego
T
sˆa ( f )   sa (t )e  2 j f t dt
s (n)
0
gdzie T jest czasem trwania sygnału.
Wprowadźmy dyskretyzację
gdzie: n  0,1,..., N  1
0
1
2
3
4
5
6
7
s  ( n )  s a ( n t )
N - ilość próbek
gęstość dyskretyzacji t  T / ( N  1)
Wartość całki oznaczonej aproksymujemy „metodą prostokątów”
N 1
sˆa ( f )  t  s (n) e  2 j f nt
n 0
4
Dyskretyzacja w dziedzinie częstotliwości
Dyskretne widmo będziemy wyznaczać w punktach
sˆ( f )
f k  k f
Aby były rozłożone równomiernie i obejmowały
zarówno dodatnie jak i ujemne wartości
k   ( N  1) / 2,  ( N  3) / 2, ... , ( N  3) / 2, ( N  1) / 2
0
-1
0
1
kHz
Położenie skrajnych punktów musi: uwzględniać założenia tw. Shanona
i wynikać z powyższych założeń. Otrzymamy zatem dwa warunki:
f ( N 1) / 2
f ( N 1)/ 2
N 1

 fm  f p / 2
2t N
N 1
f

2
a z nich wynika
f 
1
1

N t T  t
5
Prototyp DFT
Przybliżone wartości widma analogowego
N 1
sˆa ( f )  t  s ( n) e  2 j f nt
n 0
obliczamy dla wybranych częstotliwości
otrzymując
N 1
f k  k f 
sˆa ( f k )  sˆ (k )  t  s (n) e
Wprowadzając oznaczenie
we
j
2
N
j
k
N t
2
kn
N
n 0
 cos(2 / N )  j sin(2 / N )
otrzymujemy wartości widma dyskretnego
N 1
s  ( k )   t  s  ( n ) w kn
n0
6
Odwrotna dyskretna transformacja Fouriera
ang. Inverse Discrete Fourier Transform IDFT
Z widma ciągłego odtwarzamy sygnał analogowy
sa (t ) 
fm
2 j f t
ˆ
s
(
f
)
e
df
a
 fm
Aproksymując wartość całki „metodą prostokątów” spodziewamy się otrzymać
dyskretne wartości sygnału
s  (n)  f
 kn

s
(
k
)
w

k
gdzie
we
j
2
N
7
Wzajemna jednoznaczność transformacji
DFT
oraz
IDFT
N 1
s  ( k )   t  s  ( n ) w kn
s  (n)  f
 s

(k ) w  kn
k
n0
 N 1
1
1
 kn
 kn
km 

s  ( n) 
s
k
w
w
t
s
m
w
(
)


(
)
 




 m0

N t k
N t k
1

N
N 1
 s  ( m)  w
m 0
w
k
k ( m n )
k ( mn )

Im w k m  n 
 s  ( n)
k
0

N
w85
dla m  n
dla m  n
wN  e
2
j
N
w86

w87
w88  w80  1
4
8
w

Re w k m  n 
3
8
w
w e
2
8
j

2
w8  e
j

4
8

Przykład
Jakie jest widmo dyskretne sygnału
s  [1 0  1 0 1 0]T
jeśli gęstość próbkowania wynosi
t  10 3[ s ] ?
Sygnał posiada N=6 próbek. Spodziewamy się, że reprezentuje drgania
kosinusoidalne o okresie
  4 t  4  10 3 [ s]
czyli o częstotliwości
f  250 [ Hz ] .
9
Zakończenie przykładu
Numery próbek
n  0, 1, 2, 3, 4, 5
Dyskretne widmo ma numerację k   2,5;  1,5;  0,5; 0,5; 1,5; 2,5
Gęstość dyskretyzacji w dziedzinie częstotliwości
f 
1
1

 500 / 3 [ Hz ]
3
N t 6 10
Zatem widmo dyskretne jest obliczane dla częstotliwości [Hz]
 1250 / 3,  250,  250 / 3, 250 / 3, 250, 1250 / 3
N 1
sˆ  ( k )   t  s  ( n ) w kn
W oparciu o wzór
gdzie
we
otrzymujemy
j

3
n0
1
3
 cos( / 3)  j sin( / 3)  
j
2 2

sˆ  0 3 10
3
0 0 3 10
3
0

T
10
Macierzowy zapis rozwiązania przykładu
N 1
s  ( k )   t  s  ( n ) w kn
sˆ  t W s
n0
gdzie
 
W  w kn  C N  N
Macierz współczynników
0 2,5 5 7,5 10 12,5
0 1,5 3 4,5 6 7,5 


0 0,5 1 1,5 2 2,5 
 kn  0 0,5 1 1,5 2 2,5 


0 1,5
3 4,5
6
7,5 


0 2,5 5 7,5 10 12,5 

j
1
3
w6  e 3  
j
wyznacza obroty wektora
2 2
Numer wiersza
Numer kolumny
k   2,5;  1,5;  0,5; 0,5; 1,5; 2,5
n  0, 1, 2, 3, 4, 5
11
Koniec przykładu w zapisie macierzowym
Dla rozważanego przykładu macierz przekształcenia ma postać
 
W  wkn

3 j
1



2 2

j
1
3 j

1


2 2

3 j
1


2 2
1
j

1  3  j
2 2

i otrzymujemy
1
3

2 2
1
1
3

2 2
1
3

2 2
1
1
3

2 2

j
j
j
j
1
j  
2
j
1
1
j  
2
1
j  
2
j
1
1
j  
2
sˆ  t W s   0 3  10 3
3 j 
 
2 2 
j

3
3 j
j 
 
2
2 2

3
3 j
j 

2
2 2
j 
3
3 j 
j

2
2 2 
3
j
2
0 0 3  10
3
0
T
dla częstotliwości
f   1250 / 3,  250,  250 / 3, 250 / 3, 250, 1250 / 3
T
12
Okresowość widma DFT
Otrzymaliśmy wzór
N 1
s  ( k )   t  s  ( n ) w kn
n0
gdzie
czyli
we
j
2
N
 cos(2 / N )  j sin(2 / N )
N 1
sˆ  ( k )   t  s  ( n )cos 2 nk / N   j sin 2 nk / N 
n0
Funkcje trygonometryczne powodują, że widmo jest funkcją o okresie N, tzn.
s ( k  N )  s ( k )
bo
N 1
sˆ  ( k )   t  s  ( n )cos 2 nk / N  2 n   j sin 2 nk / N  2 n 
n0
13
Racjonalizacja DFT
Przyjmujemy k  0, 1, 2,..., N  1
Skoro f
to
k
 k f
 f k   0,f ,2f ,...,( N  1)f T   N
Wprowadzamy nową funkcję dyskretną
sˆ ( k )
sˆ( k ) 
t
Przy tych dwóch założeniach wzór
N 1
s  ( k )   t  s  ( n ) w kn
n0
przyjmie ostateczną postać dyskretnej transformacji Fouriera.
14
Definicja DFT oraz IDFT
N 1
kn
ˆ
s
(
k
)

s
(
n
)
w
Dyskretna transformacja Fouriera zdefiniowana jest wzorem

n 0
a odwrotna dyskretna transformacja Fouriera wzorem
Przekształcenie DFT można zapisać macierzowo
gdzie
 
W  wkn  C N  N
1
s ( n) 
N
N 1
 kn

s
(
k
)
w

k 0
s  W s
Elementy macierzy W powstają przez podniesienie do potęgi kn wartości zespolonej
we
j
2
N
 cos(2 / N )  j sin(2 / N )
przy czym k jest numerem wiersza a n numerem kolumny. Numeracja rozpoczyna się
od zera bo k , n  0,1,2,  , N  1
Macierz przekształcenia w odwrotnej dyskretnej transformacji Fouriera
ma postać
W
1

s  W 1sˆ

1  kn
1 *

w  W  C NN
N
N
15
Własności DFT
1. Zależność pomiędzy widmem dyskretnym a widmem sygnału
analogowego
sˆ(k ) t  sˆa (k f ) dla
k  N /2
2. Ilość dyskretnych wartości widma jest równa ilości próbek
czasowych sygnału.
3. Gęstość dyskretyzacji widma
f 
gdzie
1
1
 T  t 
N t
t  T / ( N  1)
16
Własności DFT
4. Szerokość widma:
fp 
Dla nieparzystej ilości próbek
f max  f N 1
2
N 1
T
N  1 ( N  1) 2
N 1

 fp

2 t N
2N
2T N
Dla N   otrzymujemy
f max  f p / 2
Dla parzystej ilości próbek
f max
f p N 1
1
 fN 


2
2 t
2
2T
17
Własności DFT
5. Macierz W jest nieosobliwa i symetryczna, jej elementy są na ogół
zespolone a ich moduły są zawsze równe 1. Macierz odwrotna do niej
W 1  W  / N
6. Liniowość DFT, tzn.
bo
as1 (n)  bs2 (n)  asˆ1 (k )  bsˆ2 (k )
W as1  bs2   aWs1  bWs2
s( n  n 0 ) 
7. Przesunięcie w dziedzinie czasu
bo
N 1
 s (n  n ) w
n 0
8. Modulacja
kn
0
w
kn0
N  n0 1
 s ( m) w
s ( k ) w kn0
km
m   n0
s1 (n) s2 ( n) 
1
N
N 1
 s (m) s ( k  m)
m 0
1
2
9. Zachowanie energii czyli dyskretna postać twierdzenia Parsevala
N 1
1
s
(
n
)


N
n 0
2
N 1
 sˆ(k )
k 0
2
18
Graficzna prezentacja przykładu DFT
sygnał
2
1.5
1
0.5
widmo fazowe
widmo amplitudowe
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1
2
3
4
5
6
7
8
2
3
4
5
6
7
8
czas
8
6
4
2
0
częstotliwość
1
0.5
0
-0.5
-1
1
częstotliwość
19
Prezentacja przykładu
Gęstość próbkowania wynosi t  0,001 [ s] . Jakie jest widmo
dyskretne sygnału
T
s  2 1 0 1 2 1 0 1 ?
Obliczamy
w8  e

2
j
8
 cos( / 4)  j sin( / 4) 
1
2

j
2
Podnosząc tę liczbę do potęgi całkowitej otrzymamy tylko jedną z ośmiu
możliwości przedstawionych na poniższym rysunku.
 
Im w k
Np. dla N=8


1

2
j
2
 1  j
2
 
Re w k

1

2
 
1

2
2
j
2
j
2
20
Macierzowy zapis przykładu
Gęstość próbkowania wynosi t  0,001[s] . Jakie jest widmo
dyskretne sygnału
T
s  2 1 0 1 2 1 0 1 ?
Udowodnimy, że sygnał zawiera składową stałą i drgania o okresie 4 [ms],
czyli o częstotliwości f  250[Hz]


1

2
j
2
 1  j
2
2

1

2
j
2
 
 sˆ(0)          s (0) 
 s (1) 
 sˆ(1)  






 
 sˆ(2)          s (2)



 
ˆ




(
3
)
(
3
)
s
s




 sˆ(4)         s (4)



 



 s (5) 
 sˆ(5)  
 sˆ(6)           s (6) 



 



 s (7)
 sˆ(7) 
1

2
j
2
21
Rozwiązanie przykładu
Wyliczamy
T
sˆ  8 0 4 0 0 0 4 0
Próbkowanie częstotliwości
1
f 
 125 [ Hz ]
N t
Sygnał ma składową stałą i drgania o częstotliwości
2 f  250 [ Hz ]
Szerokość widma wynosi
f max  f 4  500 [ Hz]
czyli jest równa częstotliwości Nyquista.
22
Jeszcze raz ten sam przykład
Jakie jest widmo dyskretne sygnału
jeśli gęstość próbkowania wynosi
s  [1 0  1 0 1 0]T
t  10 3[ s ] ?
Sygnał posiada N=6 próbek. Reprezentuje drgania kosinusoidalne o okresie
czyli o częstotliwości
  4 t  4  10 3 [ s]
1
f 
 250[ Hz ] .
4 t
Gęstość dyskretyzacji w dziedzinie częstotliwości wynosi
f 
1
1

 500 / 3 [ Hz ]
3
N t 6 10
czyli widmo będzie wyliczane dla częstotliwości
0,
1
1
 500 / 3,
 1000 / 3
6 t
3 t
Zatem, nie trafiamy w częstotliwość 250 [Hz].
23
Co zatem wyliczymy?
sˆ  W s
1
1
1 0,5  j 3 / 2

1  0,5  j 3 / 2
W 
1
1
1  0,5  j 3 / 2

1 0,5  j 3 / 2

gdzie
w6  e
j

3

1
3

j
2 2
1
1
1
1

 0,5  j 3 / 2  1  0,5  j 3 / 2 0,5  j 3 / 2 
 0,5  j 3 / 2 1  0,5  j 3 / 2  0,5  j 3 / 2

1
1
1
1

 0,5  j 3 / 2 1  0,5  j 3 / 2  0,5  j 3 / 2

 0,5  j 3 / 2  1  0,5  j 3 / 2 0,5  j 3 / 2 
sˆ  1 1  j 3 1  j 3 1 1  j 3 1  j 3

T
T
sˆ  1 2 2 1 2 2
A przecież składowej stałej i częstotliwości 167 [Hz] oraz 333 [Hz]
nie ma w sygnale! Jest tylko 250 [Hz].
24
Dwuwymiarowa transformacja Fouriera jako
geneza dyskretnej transformacji obrazów
Widmo częstotliwościowe obrazu analogowego zdefiniowane jest wzorem
 
sˆ( f x , f y ) 

 s( x, y )e
 2 j ( f x x  f y y )
dxdy
  
 
sˆ( f x , f y ) 
  s( x, y)cos2 ( f
  
 
x
x  f y y ) dxdy  j   s ( x, y )sin 2 ( f x x  f y y ) dxdy
  
Widmo rzeczywiste w trzeciej ćwiartce jest kopią widma z pierwszej i podobnie z czwartej jest kopią z drugiej.
Widmo urojone w trzeciej ćwiartce ma przeciwny znak niż widmo z pierwszej i podobnie z czwartej, przeciwny znak
niż w drugiej.
Odtwarzanie obrazu analogowego z jego widma częstotliwościowego dokonywane
jest przy pomocy wzoru
 
s( x , y ) 

2 j ( f x x  f y y )

s
(
f
,
f
)
e
df x df y
 x y

Wzory te wykorzystamy do wyprowadzenia dyskretnej transformacji
sygnałów dwuwymiarowych, czyli 2-D DFT.
25
Geneza dyskretnej transformacji obrazów
Obliczając przybliżone wartości całek oznaczonych
 
s ( f x , f y ) 

 s( x , y ) e
2 j ( f x x  f y y )
dx dy

 
s( x , y ) 

2 j ( f x x  f y y )

s
(
f
,
f
)
e
df x df y
 x y

otrzymujemy
sˆ (k x , k y )  xy s (nx , n y ) wxk x nx wy y
k ny
nx
ny
s  (n x , n y )  f x f y  sˆ (k x , k y ) wx k x nx w y
k y n y
kx
gdzie
wx  e
j
2
Nx
ky
wy  e
j
2
Ny
26
Dyskretna transformacja sygnału
dwuwymiarowego
Przyjmujemy
k x  0,1,2,..., N x  1 oraz k y  0,1,2,..., N y  1
i wprowadzamy nową funkcję dyskretną
sˆ( k x , k y ) 
sˆ ( k x , k y )
 x y

sˆ( k x f x , k y f y )
 x y
Przy tych dwóch założeniach otrzymujemy wzory:
- dyskretnej transformacji Fouriera obrazów
sˆk x , k y  
N x 1 N y 1

nx k x
y


s
n
,
n
w
w
 x y x y
n ky
nx 0 n y 0
- odwrotnej dyskretnej transformacji Fouriera obrazów
s n , n  
x
y
1
NxNy
N x 1 N y 1

ny k y
 nx k x
ˆ


 s k x , k y wx w y
k x 0 k y 0
27
Macierzowy zapis 2-D DFT
sˆ  Wx s W y
gdzie

ŝ

s  s (nx , n y )  


Wx  wxn x k x  C N x  N x
 Wx
N x N y
s
Wy


N x N y
 C
N y N y
sˆ  sˆ(k x , k y )  C

n ky
W y  wy y
k x , n x  0,..., N x  1
k y , n y  0,..., N y  1
k x numer kolumny macierzy
ny
n x numer wiersza macierzy
k y numer wiersza
numer kolumny
Wx oraz W y są macierzami symetrycznymi
28
Przykład 2-D DFT
Widmo amplitudowe z pierwszej ćwiartki jest identyczne jak widmo
z trzeciej i podobnie, w czwartej identyczne jak w drugiej.
29