N - DSP AGH
Transkrypt
N - DSP AGH
ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA SYGNAŁÓW DYSKRETNYCH Spis treści 1. Zależności pomiędzy analizą częstotliwościową sygnałów analogowych i dyskretnych 2. Definicja i własności dyskretnej transformacji Fouriera 3. Analiza częstotliwościowa dyskretnych obrazów 1 Dyskretna transformacja Fouriera ang. Discrete Fourier Transform DFT sygnał 2 1.5 1 0.5 widmo fazowe widmo amplitudowe 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8 8 czas 6 4 2 0 częstotliwość 1 0.5 0 -0.5 -1 1 częstotliwość 2 Trochę historii Baron Jean Baptiste Joseph FOURIER (1768-1830) Z wyróżnieniem ukończył szkolę wojskową w Auxerre. Został nauczycielem Ecole Normal a potem Politechniki w Paryżu. Napoleon mianował go zarządcą Dolnego Egiptu w wyniku ekspedycji z 1798 roku. Po powrocie do Francji został prefektem w Grenoble. Baronem został w 1809 roku. Ostatecznie w 1816 roku został sekretarzem Akademii Nauk a następnie jej członkiem w 1817. W okresie od 1808 roku do 1825 roku napisał 21 tomowy Opis Egiptu. Równaniem ciepła zainteresował się w 1807 roku. W opublikowanej w 1822 roku pracy pokazał jak szereg zbudowany z sinusów i kosinusów można wykorzystać do analizy przewodnictwa ciepła w ciałach stałych. Nad szeregami trygonometrycznymi pracował do końca życia, rozszerzając tę problematykę na transformację całkową. 3 Geneza transformacji sygnału jednowymiarowego Widmo impulsu analogowego T sˆa ( f ) sa (t )e 2 j f t dt s (n) 0 gdzie T jest czasem trwania sygnału. Wprowadźmy dyskretyzację gdzie: n 0,1,..., N 1 0 1 2 3 4 5 6 7 s ( n ) s a ( n t ) N - ilość próbek gęstość dyskretyzacji t T / ( N 1) Wartość całki oznaczonej aproksymujemy „metodą prostokątów” N 1 sˆa ( f ) t s (n) e 2 j f nt n 0 4 Dyskretyzacja w dziedzinie częstotliwości Dyskretne widmo będziemy wyznaczać w punktach sˆ( f ) f k k f Aby były rozłożone równomiernie i obejmowały zarówno dodatnie jak i ujemne wartości k ( N 1) / 2, ( N 3) / 2, ... , ( N 3) / 2, ( N 1) / 2 0 -1 0 1 kHz Położenie skrajnych punktów musi uwzględniać założenia tw. Shanona i wynikać z powyższych założeń. Otrzymamy zatem dwa warunki f ( N 1) / 2 f ( N 1)/ 2 N 1 fm f p / 2 2t N N 1 f 2 a z nich wynika f 1 1 N t T t 5 Prototyp DFT Przybliżone wartości widma analogowego N 1 sˆa ( f ) t s (n) e 2 j f nt n 0 obliczamy dla wybranych częstotliwości otrzymując N 1 f k k f sˆa ( f k ) sˆ (k ) t s (n) e Wprowadzając oznaczenie we j 2 N j k N t 2 kn N n 0 cos(2 / N ) j sin(2 / N ) otrzymujemy wartości widma dyskretnego N 1 s ( k ) t s ( n ) w kn n0 6 Odwrotna dyskretna transformacja Fouriera ang. Inverse Discrete Fourier Transform IDFT Z widma ciągłego odtwarzamy sygnał analogowy sa (t ) fm 2 j f t ˆ s ( f ) e df a fm Aproksymując wartość całki „metodą prostokątów” spodziewamy się otrzymać dyskretne wartości sygnału s (n) f kn s ( k ) w k gdzie we j 2 N 7 Wzajemna jednoznaczność transformacji DFT oraz IDFT N 1 s ( k ) t s ( n ) w kn s (n) f s (k ) w kn k n0 N 1 1 1 kn kn km s ( n) s k w w t s m w ( ) ( ) m0 N t k N t k 1 N N 1 s ( m) w m 0 w k k ( m n ) k ( mn) Im w k m n s ( n) k 0 N w85 dla m n dla m n wN e 2 j N w86 w87 w88 w80 1 4 8 w Re w k m n 3 8 w w e 2 8 j 2 w8 e j 4 8 Przykład Jakie jest widmo dyskretne sygnału s [1 0 1 0 1 0]T jeśli gęstość próbkowania wynosi t 10 3[ s ] ? Sygnał posiada N=6 próbek. Spodziewamy się, że reprezentuje drgania kosinusoidalne o okresie 4 t 4 10 3 [ s] czyli o częstotliwości f 250[ Hz ] . 9 Zakończenie przykładu Numery próbek n 0, 1, 2, 3, 4, 5 Dyskretne widmo ma numerację k 2,5; 1,5; 0,5; 0,5; 1,5; 2,5 Gęstość dyskretyzacji w dziedzinie częstotliwości 1 1 f 500 / 3[ Hz ] 3 N t 6 10 Zatem widmo dyskretne jest obliczane dla częstotliwości [Hz] 1250 / 3, 250, 250 / 3, 250 / 3, 250, 1250 / 3 N 1 sˆ ( k ) t s ( n ) w kn W oparciu o wzór gdzie we otrzymujemy j 3 n0 1 3 cos( / 3) j sin( / 3) j 2 2 sˆ 0 3 10 3 0 0 3 10 3 0 T 10 Macierzowy zapis rozwiązania przykładu sˆ t W s W wkn C N N gdzie Macierz współczynników 0 2,5 5 7,5 10 12,5 0 1,5 3 4,5 6 7,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 kn 0 0,5 1 1,5 2 2,5 0 1,5 3 4,5 6 7,5 , , , 0 2 5 5 7 5 10 12 5 wyznacza obroty wektora Numer wiersza Numer kolumny w6 e j 3 1 3 j 2 2 k 2,5; 1,5; 0,5; 0,5; 1,5; 2,5 n 0, 1, 2, 3, 4, 5 11 Koniec przykładu w zapisie macierzowym Dla rozważanego przykładu macierz przekształcenia ma postać W wkn 3 j 1 2 2 j 1 3 j 1 2 2 3 j 1 2 2 1 j 1 3 j 2 2 i otrzymujemy 1 3 2 2 1 1 3 2 2 1 3 2 2 1 1 3 2 2 j j j j 1 j 2 j 1 1 j 2 1 j 2 j 1 1 j 2 sˆ t W s 0 3 10 3 3 j 2 2 j 3 3 j j 2 2 2 3 3 j j 2 2 2 j 3 3 j j 2 2 2 3 j 2 0 0 3 10 3 0 T dla częstotliwości f 1250 / 3, 250, 250 / 3, 250 / 3, 250, 1250 / 3 T 12 Okresowość widma DFT Otrzymaliśmy wzór N 1 s ( k ) t s ( n ) w kn n0 gdzie czyli we j 2 N cos(2 / N ) j sin(2 / N ) N 1 sˆ ( k ) t s ( n )cos 2 nk / N j sin 2 nk / N n0 Funkcje trygonometryczne powodują, że widmo jest funkcją o okresie N, tzn. s ( k N ) s ( k ) bo N 1 sˆ ( k ) t s ( n )cos 2 nk / N 2 n j sin 2 nk / N 2 n n0 13 Racjonalizacja DFT Przyjmujemy k 0, 1, 2,..., N 1 Skoro f to k k f f k 0,f ,2f ,...,( N 1)f T N Wprowadzamy nową funkcję dyskretną sˆ ( k ) sˆ( k ) t Przy tych dwóch założeniach wzór N 1 s ( k ) t s ( n ) w kn n0 przyjmie ostateczną postać dyskretnej transformacji Fouriera. 14 Definicja DFT oraz IDFT N 1 kn ˆ s ( k ) s ( n ) w Dyskretna transformacja Fouriera zdefiniowana jest wzorem n 0 1 a odwrotna dyskretna transformacja Fouriera wzorem s ( n) N Przekształcenie DFT można zapisać macierzowo gdzie W w kn C N N N 1 kn s ( k ) w k 0 s W s Elementy macierzy W powstają przez podniesienie do potęgi kn wartości zespolonej we j 2 N cos(2 / N ) j sin(2 / N ) przy czym k jest numerem wiersza a n numerem kolumny. Numeracja rozpoczyna się od zera bo k , n 0,1,2, , N 1 Macierz przekształcenia w odwrotnej dyskretnej transformacji Fouriera ma postać W 1 s W 1sˆ 1 kn 1 * w W C NN N N 15 Własności DFT 1. Zależność pomiędzy widmem dyskretnym a widmem sygnału analogowego sˆ(k ) t sˆa (k f ) dla k N /2 2. Ilość dyskretnych wartości widma jest równa ilości próbek czasowych sygnału. 3. Gęstość dyskretyzacji widma f gdzie 1 1 T t N t t T / ( N 1) 16 Własności DFT 4. Szerokość widma: Dla nieparzystej ilości próbek f max f N 1 2 N 1 ( N 1) 2 N 1 fp 2 t N 2N 2T N Dla N otrzymujemy f max f p / 2 Dla parzystej ilości próbek f max f p N 1 1 fN 2 2 t 2 2T 17 Własności DFT 5. Macierz W jest nieosobliwa i symetryczna, jej elementy są na ogół zespolone a ich moduły są zawsze równe 1. Odwrotna do niej W 1 W / N 6. Liniowość DFT, tzn. as1 (n) bs2 (n) asˆ1 (k ) bsˆ2 (k ) bo W as1 bs2 aWs1 bWs2 s( n n 0 ) 7. Przesunięcie w dziedzinie czasu bo N 1 s (n n ) w n 0 8. Modulacja kn 0 w kn0 N n0 1 s ( m) w s ( k ) w kn0 km m n0 s1 (n) s2 ( n) 1 N N 1 s (m) s ( k m) m 0 1 2 9. Zachowanie energii czyli dyskretna postać twierdzenia Parsevala N 1 1 s ( n ) N n 0 2 N 1 sˆ(k ) k 0 2 18 Graficzna prezentacja przykładu DFT sygnał 2 1.5 1 0.5 widmo fazowe widmo amplitudowe 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8 czas 8 6 4 2 0 częstotliwość 1 0.5 0 -0.5 -1 1 częstotliwość 19 Prezentacja przykładu Gęstość próbkowania wynosi t 0,001 [ s] . Jakie jest widmo dyskretne sygnału T s 2 1 0 1 2 1 0 1 ? Obliczamy w8 e 2 j 8 cos( / 4) j sin( / 4) 1 2 j 2 Podnoszą tę liczbę do potęgi całkowitej otrzymamy tylko jedną z ośmiu możliwości przedstawionych na poniższym rysunku. Im w k Np. dla N=8 1 2 j 2 1 j 2 Re w k 1 2 1 2 2 j 2 j 2 20 Macierzowy zapis przykładu Gęstość próbkowania wynosi t 0,001 [ s] . Jakie jest widmo dyskretne sygnału T s 2 1 0 1 2 1 0 1 ? Udowodnimy, że sygnał zawiera składową stałą i drgania o okresie 4 [ms], czyli o częstotliwości f 250[ Hz] 1 2 j 2 1 j 2 2 1 2 j 2 sˆ(0) s (0) s (1) sˆ(1) sˆ(2) s (2) ˆ ( 3 ) ( 3 ) s s sˆ(4) s (4) s (5) sˆ(5) sˆ(6) s (6) s (7) sˆ(7) 1 2 j 2 21 Rozwiązanie przykładu Wyliczamy T sˆ 8 0 4 0 0 0 4 0 Próbkowanie częstotliwości 1 f 125[ Hz ] N t Sygnał ma składową stałą i drgania o częstotliwości 2 f 250 [ Hz ] Szerokość widma wynosi f max f 4 500 [ Hz] czyli jest równa częstotliwości Nyquista. 22 Dwuwymiarowa transformacja Fouriera jako geneza dyskretnej transformacji obrazów Widmo częstotliwościowe obrazu analogowego zdefiniowane jest wzorem s ( f x , f y ) s( x , y ) e 2 j ( f x x f y y ) dx dy Odtwarzanie obrazu analogowego z jego widma częstotliwościowego dokonywane jest przy pomocy wzoru s( x , y ) 2 j ( f x x f y y ) s ( f , f ) e df x df y x y Wzory te wykorzystamy do wyprowadzenia dyskretnej transformacji sygnałów dwuwymiarowych, czyli 2-D DFT. 23 Geneza dyskretnej transformacji obrazów Obliczając przybliżone wartości całek oznaczonych s ( f x , f y ) s( x , y ) e 2 j ( f x x f y y ) dx dy s( x , y ) 2 j ( f x x f y y ) s ( f , f ) e df x df y x y otrzymujemy sˆ (k x , k y ) xy s (nx , n y ) wxk x nx wy y k ny nx ny s (n x , n y ) f x f y sˆ (k x , k y ) wx k x nx w y k y n y kx gdzie wx e j 2 Nx ky wy e j 2 Ny 24 Dyskretna transformacja sygnału dwuwymiarowego Przyjmujemy k x 0,1,2,..., N x 1 oraz k y 0,1,2,..., N y 1 i wprowadzamy nową funkcję dyskretną sˆ( k x , k y ) sˆ ( k x , k y ) x y sˆ( k x f x , k y f y ) x y Przy tych dwóch założeniach otrzymujemy wzory: - dyskretnej transformacji Fouriera obrazów sˆk x , k y N x 1 N y 1 nx k x y s n , n w w x y x y n ky nx 0 n y 0 - odwrotnej dyskretnej transformacji Fouriera obrazów s n , n x y 1 NxNy N x 1 N y 1 ny k y nx k x ˆ s k x , k y wx w y k x 0 k y 0 25 Macierzowy zapis 2-D DFT sˆ Wx s W y gdzie ŝ s s (nx , n y ) Wx wxn x k x C N x N x Wx N x N y s Wy N x N y C N y N y sˆ sˆ(k x , k y ) C n ky W y wy y k x , n x 0,..., N x 1 k y , n y 0,..., N y 1 k x numer kolumny macierzy ny n x numer wiersza macierzy k y numer wiersza numer kolumny Wx oraz W y są macierzami symetrycznymi 26 Przykład 2-D DFT 27