semestr 1

Zagdanienia do egzaminu z Inżynierskich Metod
Numerycznych - semestr 1
Tomasz Chwiej
6 czerwca 2016
1
Równania różniczkowe zwyczajne
• Zastosowanie szeregu Taylora do konstrukcji ilorazów różnicowych: iloraz przedni/wsteczny/centralny dla pierwszej pochodnej, iloraz centralny dla drugiej pochodnej, błąd dyskretyzacji
• Schemat jawny i niejawny Eulera. Bezwzględna stabilność schematu Eulera.
Przykładowe pytania:
1. Dane jest równanie różniczkowe y ′′ (x) − y ′ (x) + y(x) = x. Zapisz
schemat różnicowy Eulera (jawny/niejawny) dla tego równania.
2. Dane jest równanie różniczkowe u′ (t) = λu(t). Wyprowadź wzór
opisujący współczynnik wzmocnienia dla schematu Eulera (jawnego/niejawnego). Na płaszczyźnie zespolonej zaznacz obszar bezwzględnej stabilności metody.
• Schemat trapezów. Bezwzględna stabilność schematu trapezów.
1. Dane jest równanie różniczkowe u′ (t) = λu(t). Wyprowadź wzór opisujący współczynnik wzmocnienia dla schematu trapezów. Na płaszczyźnie zespolonej zaznacz obszar bezwzględnej stabilnośic metody.
• Metody Rungego-Kutty. Ogólna postać wzorów definiujących metodę (un ,
ki /Ui ). Tablica Butchera, jej własności (jawność/niejawność), zależności
pomiędzy współczynnikami bi , ci oraz ai,j . Związek rzędu dokładności
metody jawnej z postacią tablicy Butchera. Definicja A-stabilności.
Przykładowe pytania:
1. Dla podanej tablicy Butchera określ jej typ (jawna/niejawna).
2. Uzupełnij brakujące elementy w tablicy Butchera.
1
3. Określ rząd dokładności metody RK, jeśli wiadomo że liczba elementów ai,j w jej tablicy Butchera wynosi 36 oraz zachodzi warunek
ai,j = 0 ⇐⇒ j ­ i.
4. Jaki jest rząd dokładności trzyodsłonowej metody RK dla której
wszystkie elementy ai,j są niezerowe?
5. Określ współczynnik wzmocnienia poniższego niejawnego schematu
RK
un = un−1 + ∆tf (tn−1 + ∆t/2, U1 ), U1 = un−1 + (∆t/2)f (tn−1 +
∆t/2, U1 )
dla problemu autonomicznego y ′ (t) = λy(t) (przyjąć z = λ∆t). Jaki
typ stabilności otrzymamy jeśli λ ∈ R oraz λ < 0?
• Ekstrapolacja Richardsona, problemy sztywne (opis jakościowy). Definicja
problemu sztywnego, celowość określania błędu numerycznego w ekstrapolacji.
Przykładowe pytania:
1. Jak można zdefiniować problem sztywny?
2. Czy do rozwiązania problemu sztywnego można używać metod jawnych? kombinacji jawna/niejawna? czy tylko niejawnych?
3. Automatyczną zmianę kroku czasowego w ekstrpolacji Richardsona
można uzyskać modyfikując krok czasowy ∆tnew = (S·tol/E)1/(p+1) ∆t.
Załóżmy że dla pewnej chwili czasowej tn otrzymaliśmy zależność
E = tol i aktualne rozwiąznie nie jest akceptowane. Jaką należy przyjąć wartość parametru S aby zwiększyć prawdopodobieństwo akceptacji wyniku w kolejnym kroku czasowym?
• Liniowe metody wielokrokowe. Ogólny wzór definiujący metody, klasyfikacja na metody jawne (Adams-Bashfort) i niejawne (Adams-Moulton, metoda różnic wstecznych). Definicja stabilności bezwzględnej i 0-stabilności.
Przykładowe pytania:
1. Dany jest schemat różnicowy dla RRZ un = un−1 + ∆t(1.5fn−1 −
0.5fn−2 ). Czy jest to metoda jedno- czy wielokrokowa? Podaj współczynniki αk oraz βk dla schematu wielokrokowego. Metoda jest jawna
czy niejawna?
2. Dany jest schemat różnicowy dla RRZ un = un−1 + ∆t(0.5fn−1 +
0.5fn−2 ). Czy jest to metoda jedno- czy wielokrokowa? Określ współczynniki αk oraz βk dla schematu wielokrokowego. Podaj typ metody
(Adams-Bashfort, Adams-Moulton, różnic wstecznych?).
2
Równania różniczkowe cząstkowe
• Klasyfikacja równań: Poissona, adwekcji, dyfuzji, falowe.
2
• Równanie Poissona. Dyskretyzacja równania Poissona, schemat relaksacji
lokalnej. Przykładowe pytania:
1. Określ współczynniki a, b, c oraz d w schemacie opisującym relaksację
lokalną równania Poissona w 1 D: ui = a · ui−1 + b · ui + c · ui+1 + dρi ,
gdzie: i to indeks na siatce a ρ jest gęstością.
• Równania mechaniki płynów. Przepływ bezwirowy: równania na funkcję
strumienia i potencjał przepływu oraz ich związek z wektorem prędkości.
Przykładowe pytania:
1. W rurze o stałym przekroju przepływa nielepka i nieściśliwa ciecz
w kierunku y. Jeśli równanie ∇2 ϕ(x, y) = 0 definiuje potencjał dla
takiego przepływu, to jaką on ma postać funkcyjną?
2. W rurze o stałym przekroju przepływa nielepka i nieściśliwa ciecz
w kierunku y. Jeśli równanie ∇2 ψ(x, y) = 0 funkcję strumienia dla
takiego przepływu, to jaką on ma postać funkcyjną?
⃗ = (2x, −2y). Jaki jest potencjał i funkcja
3. Dane jest pole prędkości V
strumienia?
• Równanie adwekcji. Schematy upwind, downwind, z centralną
pochodną. Liczba Couranta (warunek CFL), schemat Laxa-Friedrichsa,
schemat Laxa-Wendroffa (wyprowadzenie), schemat Leap Frog,
schemat Cranka-Nicolsona. Odwracalność w czasie schematów
różnicowych.
Przykładowe pytania:
1. Jeśli w schemacie upwind odwrócimy kierunek upływu czasu oraz
zwrot prędkości to jaki schemat otrzymamy?
2. Schemat Laxa-Wendroffa uzyskujemy rozwijając funkcję u(x, t + ∆t)
w szereg Taylora a następnie zamieniając pochodne czasowe niższych rzędów pochodnymi przestrzennymi. Jaki jest błąd dyskretyzacji zmiennej czasowej i zmiennej przestrzennej w tym schemacie?
3. Dlaczego schemat downwind jest niestabilny dla równania adwkecji
gdy v > 0?
4. Korzystając z twierdzenia CFL określ zależność pomiędzy krokami:
czasowym i przestrzennym.
• Definicje: spójność, zbieżność i stabilność schematu różnicowego, twierdzenie Couranta-Friedricha-Levy’ego, bezwzględna stabilność schematu różnicowego, zasada maksimum.
Przykładowe pytania:
Un
+U n
n
n
− Uj−1
). Czy współ1. Dany jest schemat Ujn+1 = j+1 2 j−1 − α2 (Uj+1
czynniki tego schematu spełniają zasadę maksimum?
3
• Analiza von Neumanna schematów różnicowych - interpretacja
współczynnika wzmocnienia dla różnych schematów
Przykładowe pytanie:
1. Dany jest współczynnik wzomocnienia dla schematu upwind |M |2 =
1 + 2α(α − 1)(1 − cos(2πk/J)), k, J > 0. Określ przedział zmienności
liczby Couranta tak aby metoda była bezwzględnie stabilna.
2. Współczynnik wzmocnienia dla schematu Cranka-Nicolsona ma postać Mk = 1−αisin(k∆x)
1+αisin(k∆x) . Dla jakiego kroku czasowego schemat jest
stabilny?
• Dyfuzja numeryczna dla równania adwekcji. Rozwiązania ogólne dla równania adwekcji i adwekcji-dyfuzji (AD). Określanie
współczynnika dyfuzji numerycznej na podstawie porównania
zdyskretyzowanego równania AD i schematu różnicowego metody.
Przykładowe pytania:
1. Rozwiązanie równania adwekcji-dyfuzji w 1D ma postać u(x, t) =
exp(−4π 2 σ k 2 t)exp(2πik(x − vt)). Dlaczego jest ono stabilne?
2. Dane jest równanie adwekcji-dyfuzji ut + vuxx = σuxx oraz schematu
upwind Ujn+1 = (1−α)Ujn +α Ujn . Jaka musi być wartość współczynnika dyfuzji aby schemat upwind był zgodny z rówaniem dyfuzji?
3. Czy równanie opisujące adwekcję jest odwracalne w czasie? (równanie jest niezmiennicze względem zmiany znaku zmiennej czasowej i
prędkości)
4. Dlaczego równanie dyfuzji nie jest odwracalne w czasie?
n
n
)+
5. Dany jest schemat dla równania adwekcji Ujn+1 = α(Uj+1
− Uj−1
n−1
Uj
. Czy jest on odwracalny w czasie?
• Równanie dyfuzji i adwekcji-dyfuzji. Prawo Ficka/Fouriera, Newtona. Matematyczny opis warunków brzegowych: stały strumień,
konwekcyjne warunki brzegowe. Jawny i niejawny schemat Eulera, schemat Cranka-Nicolsona, schemat Leap-Frog. Liczba Pecleta. Stabilność schematów różnicowych.
Przykładowe pytania:
1. Współczynnik wzmocnienia dla schematu Eulera ma postać Mk =
1 − D∆t
∆x2 (1 − cos(k∆x)). Jaki warunek musi być spełniony aby |Mk | ¬
1?
2. Schemat Eulera dla schematu adwekcji-dyfuzji ma postać Ujn+1 =
n
n
(r − α/2)Uj−1
+ (1 − 2r)Ujn + (r + α/2)Uj+1
. Dla jakiego zestawu
parametrów v, dx, dt, D schemat ten będzie stabilny?
4
• Równanie falowe. Warunki brzegowe i drgania własne struny,
zasada superpozycji, superpozycja drgań własnych. Rozwiązanie
równania struny metodą separacji zmiennych. Metoda strzałów.
Przykładowe pytania:
1. Czy równanie falowe jest odwracalne w czasie?
2. Superpozycja
drgań własnych∑
struny daje ogólne rozwiązanie u(x, t) =
∑∞
∞
c
sin(k
x)cos(ω
t)
+
n
n
n
n=1
n=1 sn sin(kn x)sin(ωn t). Wychylenie
struny w t = 0 było dane równaniem u(x, t) = sin(πx/L), gdzie L
jest długością struny. Określ które współczynniki cn i sn będą niezerowe.
3. Dla struny o zmiennej gęstości liniowej stosujemy metodę strzałów
ω2
Xk (x + ∆x) = −∆x2 ρ(x) Tk0 Xk (x) − Xk (x − ∆x) + 2Xk (x) w celu wyznaczenia modów własnych. Dla jakich wartości Xk (∆x) otrzymamy
ciąg częstości własnych ωi ? Czy dla jednej wartości Xk (∆) możemy
otrzymać dwie różne wartości ωk ?
ω2
4. Schemat iteracyjny w metodzie strzałów Xk (x+∆x) = −∆x2 ρ(x) Tk0 Xk (x)−
Xk (x − ∆x) + 2Xk (x) możemy zapisać w postaci macierzowej: Ax =
B(x)ω 2 x, gdzie generatorem elementów w A jest druga pochodna
przestrzenna. Jaka jest postać macierzy B(x)? Jak, wykorzystując
metodę diagonalizacji macierzy, możemy znaleźć ωk oraz Xk ?
5