1 Stochastyczne równania różniczkowe. Minimalne

1
Stochastyczne równania różniczkowe. Minimalne wymagania programowe na
ocenę trzy (obowiazują również inne wymagania (m. in. obecność na ćwiczeniach)
- szczegóły były podane na pierwszych ćwiczeniach 24. lutego 2009)
1. Proces Wienera (definicja, definicja równoważna, podstawowe własności)
2. Wyznaczanie całek Itô dla procesów prostych: zgodnych i prognozowalnych
3. Warunki istnienia całki Itô (nie obowiązuje na I terminie kolokwium)
4. Własności całki Itô
5. Wyznaczanie całek Itô przy wykorzystaniu jednowymiarowego wzoru Itô
(postać całkowa, szczególne przypadki wzoru Itô)
6. Różniczka stochastyczna. Badanie martyngałów
7. Całka Paleya-Wienera-Zygmunda (P-W-Z) i jej charakterystyki liczbowe
8. Stochastyczne równania różniczkowe (nie obowiązuje na I terminie kolokwium)
9. Wielowymiarowy wzór Itô w postaci różniczkowej i zastosowanie jego szczególnych przypadków do obliczania różniczek stochastycznych
Stochastyczne równania różniczkowe. Przykładowe zadania w zakresie powyższych minimalnych wymagań na ocenę trzy (wszystkie zostały rozwiązane na
ćwiczeniach)
Przykładowe zadanie 1 Niech Wt , t ­ 0 oznacza proces Wienera. Pokazać, że
dla ustalonego t ­ 0 zmienna losowa Wt ma rozkład N (0, t) oraz że dla ustalonych
s, t ­ 0 cov(Ws , Wt ) = min{s, t}.
Przykładowe zadanie 2 Ustalmy b > 0. Dla dowolnej stałej rzeczywistej a wyznaczyć
Zb
a dWt ,
0
gdzie Wt jest procesem Wienera.
Przykładowe zadanie 3 Niech Wt , t ­ 0 będzie procesem Wienera. Ustalmy
b > 0. Pokazać, że całka Itô
Zb
0
istnieje.
eWt dWt
2
Przykładowe zadanie 4 Ustalmy T > 0. Skonstruować kontrprzykład (zdefiniować funkcję g i przeprowadzić stosowne obliczenia) pokazujący, że całka Itô nie
posiada następującej własności:
ZT
ZT
g dWt ¬ |g| dWt ,
0
0
gdzie Wt jest procesem Wienera.
Przykładowe zadanie 5 Ustalmy b > 0. Dla dowolnej stałej rzeczywistej a wyznaczyć
Zb Wt + a dWt ,
0
gdzie Wt jest procesem Wienera.
Przykładowe zadanie 6 Niech Wt , t ­ 0 będzie procesem Wienera. Korzystając ze wzoru Itô, obliczyć różniczkę stochastyczną procesu
t
At = e 2 sin Wt , t ­ 0 .
Sprawdzić czy proces At , t ­ 0 jest martyngałem.
Przykładowe zadanie 7 Niech Wt - proces Wienera, g - jak w definicji (P-WZ). Obliczyć
V ar
h Z1
i
g(t) dWt .
0
Przykładowe zadanie 8 Niech Wt , t ­ 0 będzie procesem Wienera. Rozwiązać
stochastyczne równanie różniczkowe
dXt = µXt dt + σXt dWt ,
t ­ 0,
−∞ < µ < +∞,
σ > 0.
Przykładowe zadanie 9 Wyznaczyć (w postaci różniczkowej) wzór na różniczkę stochastyczną ilorazu.