PROCESY STOCHASTYCZNE
Transkrypt
PROCESY STOCHASTYCZNE
PROCESY STOCHASTYCZNE - Lista 6 Wydział Matematyki, kier. matematyka, studia magisterskie, I rok. Zad.1 Rozważając proces Mt = Nt − t, gdzie N = (Nt )t≥0 jest procesem Poissona pokaż, że założenie ciągłości w twierdzeniu Lévy’ego jest istotne, tzn. Mt , Mt2 − t są martyngałami, ale M nie jest procesem Wienera. Zad.2 Niech X1 i X2 będą niezależnymi kwadratowymi procesami Bessela wymiaru δ1 > 0 i δ2 > 0 startującymi z punktów x1 i x2 odpowiednio. Uzasadnij, że X1 + X2 jest kwadratowym procesem Bessela wymiaru δ1 + δ2 startującym z x1 + x2 . Zad.3 Niech b : R → R będzie ograniczoną funkcją klasy C 1 (R) i niech B(x) będzie funkcją pierwotną b. Uzasadnij, że proces Z t Wt − b(Ws )ds 0 jest procesem Wienera na zmodyfikowanej przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, Q), gdzie dQ|Ft = Zt dP|Ft dla Z exp 21 B(Wt ) 1 t 2 0 (b (W ) + b (W ))ds exp − Zt = s s 2 0 exp 12 B(W0 ) Zad.4 Niech b : R → R będzie ograniczoną funkcją klasy C 1 (R). Uzasadnij, że jeżeli X jest rowiązaniem stochastycznego równania rózniczkowego dXt = dWt + b(Xt )dt, X0 = 0 to zachodzi Z exp 21 B(Wt ) 1 t 2 0 dPb F = exp − (b (W ) + b (W ))ds dP , s s 1 t 2 0 exp 2 B(W0 ) Ft gdzie Pb oznacza rozkład Xt , zaś P jest miarą Wienera (P = P0 ). Zad.5 Niech T < ∞ i W = (Wt ) będzie procesem Wienera na (Ω, F, P) oraz Z t Z Z t 1 t 2 Zt = exp b(s, Ws )dWs − b (s, Ws )ds , W̃t = Wt − b(s, Ws )ds 2 0 0 0 dla ciągłej funkcji b : [0, ∞) × R → R. Uzasadnij, że jeżeli EZT = 1, to istnieje miara probabilistyczna QT taka, że (W̃t )0≤t≤T jest procesem Wienera na (Ω, F, QT ) oraz dWt = dW̃t + b(t, Wt )dt. Zad.6 Niech W = (Wt ) będzie procesem Wienera na (Ω, F, P). Znajdź miarę na (Ω, F1W ), dla której proces (Wt + t4 )0≤t≤1 jest procesem Wienera. Zad. 8. Niech W = (Wt ) będzie procesem Wienera. Znajdź procesy F = (Fs )s≤T , dla których Z T X = EX + Fs dWs 0 w przypadku, gdy X = WT , X = RT 0 Ws ds, X = WT2 , X = WT3 . Zad. 9. Ustalmy T < ∞. Niech W = (Wt ) będzie procesem Wienera na przestrzeni (Ω, F, (Ft ), P), gdzie (Ft ) jest filtracją generowaną przez W . Niech X będzie całkowalną z kwadratem zmienną losową FT mierzalną. Uzasadnij, że Mt = E[X|Ft ], t ≤ T, jest całkowalnym z kwadraten Ft -martyngałem i wyznacz proces F = (Fs )s≤T taki, że Z t Mt = M0 + Fs dWs , t ≤ T . 0 w przypadkach, gdy X = WT2 i X = WT3