Stan cz astki okresla funkcja falowa Ψ zale˙zna od wspó lrzednych

Stan czastki
określa funkcja falowa Ψ zależna od wspólrzȩdnych określaja̧cych
,
polożenie cza̧stki i od czasu (t).
Dla cza̧stki, która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
Ψ = Ψ(x, t)
(1)
Wartości funkcji moga̧ być zespolone
Ψ∗(x, t) to wartość sprzȩżona zespolona do Ψ(x, t)
Statystyczna interpretacja funkcji falowej (Max Born 1926)
P(x, t) = Ψ∗(x, t)Ψ(x, t)dx = |Ψ|2 dx,
(2)
gdzie |Ψ| oznacza modul funkcji zespolonej, określa prawdopodobieństwo
tego, że w chwili t czastka
znajduje sie, w przedziale (x,x+dx)
,
Prawdopodobieństwo znalezienia czastki
w chwili t w przedziale (a,b)
,
Rb ∗
oblicza siȩ jako a Ψ (x, t)Ψ(x, t)dx
• prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego równa sie, 1
• jeśli czastka
może przebywać w nieograniczonym obszarze
,
Z ∞
Ψ∗(x, t)Ψ(x, t)dx = 1
(3)
−∞
funkcja znormalizowana
Dla czastki
poruszajacej
sie, w przestrzeni trójwymiarowej (uklad wspólrzednych
,
,
,
kartezjańskich x, y, z) funkcja falowa Ψ = Ψ(x, y, z, t)
Ψ∗(x, y, z, t)Ψ(x, y, z, t)dτ określa prawdopodobieństwo znalezienia cz astki
,
w nieskończenie malej objetości
dτ =dxdydz w punkcie o wspólrzednych
,
,
x,y,z w chwili t
Ψ∗(x, y, z, t)Ψ(x, y, z, t) - gestość
prawdopodobieństwa
,
funkcja znormalizowana
Z
Ψ∗(x, y, z, t)Ψ(x, y, z, t)dxdydz = 1
(4)
uproszczony zapis
Z
Ψ∗ (x, y, z, t)Ψ(x, y, z, t)dτ = 1
(5)
Stany kwantowe (np. czasteczek),
które nie zmieniaja, sie, w czasie.
,
Dla czastki,
która może poruszać siȩ tylko w jednym wymiarze (tu x)
,
ψ = ψ(x)
(6)
P(x) = ψ ∗ (x)ψ(x)dx = |ψ|2 dx,
(7)
prawdopodobieństwo tego, że czastka
znajduje sie, w przedziale (x,x+dx)
,
Prawdopodobieństwo znalezienia czastki
w przedziale (a,b) oblicza siȩ
,
Rb ∗
jako a ψ (x)ψ(x)dx
Warunek normalizacji funkcji:
Z ∞
ψ ∗ (x)ψ(x)dx = 1
(8)
−∞
Funkcja znormalizowana.
Dla czastki
poruszajacej
sie, w przestrzeni trójwymiarowej (uklad wspólrzednych
,
,
,
kartezjańskich x, y, z) funkcja falowa ψ = ψ(x, y, z)
ψ ∗ (x, y, z)ψ(x, y, z)dτ określa prawdopodobieństwo znalezienia cz astki
,
w nieskończenie malej objetości
dτ =dxdydz w punkcie o wspólrzednych
,
,
x,y,z
ψ ∗ (x, y, z)ψ(x, y, z) - gestość
prawdopodobieństwa
,
Warunek normalizacji funkcji:
Z
ψ ∗ (x, y, z)ψ(x, y, z)dxdydz = 1
(9)
uproszczony zapis
Z
ψ ∗ (x, y, z)ψ(x, y, z)dτ = 1
Funkcja znormalizowana.
2
(10)
RÓWNANIE WLASNE
(operator)·(funkcja) = LICZBA ·(ta sama funkcja)
zwykle
(operator)·(funkcja) = (inna funkcja)
na przyklad:
d2 3
dx2 x
= 6x
Jeśli
(operator)·f = a · f
to funkcja f - funkcja wlasna operatora, liczba a - wartość
wlasna operatora
np.
d2
dx2
sin(x) = −1 · sin(x)
Równanie Schrödingera niezależne od czasu dla czastki
poruszajacej
sie,
,
,
tylko w jednym wymiarze
•
~2 d2
ψ + V (x)ψ = Eψ
(11)
2m dx2
V (x) - wyrażenie dla energii potencjalnej (zależy od ukladu, np.
V (x) = 0 albo V (x) = 12 kx2)
−
m - masa czastki,
~ = h/2π, gdzie h - stala Plancka
,
uproszczony zapis ψ zamiast ψ(x)
•
~2 d2
Ĥ = −
+ V (x)·
2m dx2
(12)
Ĥ operator
równanie Schrödingera
Ĥψ = Eψ
ψ - funkcja wlasna operatora Ĥ
E - wartość wlasna operatora Ĥ
(można udowodnić, że jest to zawsze liczba rzeczywista)
3
(13)
znane Ĥ, szukane ψ i E
rozwiazać
równanie Schrödingera - znaleźć funkcje wlasne Ĥ i odpowiadajace
,
,
im wartości wlasne E
Funkcje wlasne operatora Ĥ - funkcje falowe, które opisuja, stany czastki
,
o określonej energii
Wartości wlasne operatora Ĥ - możliwe wartości energii ukladu (czastki)
,
Na przyklad, operator Ĥ dla jakiejś czastki
ma 3 funkcje wlasne:
,
Ĥψ1 = E1ψ1
(14)
Ĥψ2 = E2ψ2
(15)
Ĥψ3 = E3ψ3
(16)
czastka
ta może mieć energie, o wartościach E1, E2 albo E3. Kiedy jest w
,
stanie opisywanym przez funkcje, falowa, ψ1 , to w wyniku pomiaru energii
czastki
otrzymamy wartość E1 , itd.
,
Ĥψ = Eψ
(17)
~2 d2
Ĥ = −
+ V (x)·
2m dx2
(18)
Ĥ to operator odpowiadajacy
energii czastki
(reprezentujacy
energie,
,
,
,
calkowita, ukladu),
Ĥ operator Hamiltona
(hamiltonian)
Ĥ = T̂ + V̂
V̂ operator energii potencjalnej - jego dzialanie na funkcje, polega na
pomnożeniu tej funkcji przez V (x)
2
2
~ d
− 2m
poruszajacej
sie,
,
,
dx2 - to operator energii kinetycznej (jednej cz astki
w jednym wymiarze (x)) oznaczany T̂
4
równanie Schrödingera niezależne od czasu dla czastki
w przestrzeni
,
trójwymiarowej
~2
−
∆ψ + V (x, y, z)ψ = Eψ
2m
∂2
∂2
∂2
∆ = ∇ = ( 2 + 2 + 2)
∂x
∂y
∂z
∆ laplasjan (operator Laplace’a)
2
5
(19)
(20)
Interpretacja kwadratu modulu funkcji falowej jako gestości
prawdopodobieństwa
,
znalezienia czastki
narzuca wymagania, które musza, spelniać możliwe do
,
przyjecia
funkcje wlasne operatora Ĥ.
,
funkcje porzadne
albo funkcje klasy Q
,
• ciag
, le
• jednoznaczne
• calkowalne w kwadracie
• musza, mieć ciag
, la, pierwsza, pochodna, (bo musi istnieć druga pochodna)
Aby znaleźć funkcje falowe opisujace
stany ukladu o określonej energii
,
należy:
• znaleźć funkcje wlasne operatora Hamiltona
• wybrać tylko funkcje wlasne, które sa, funkcjami porzadnymi,
,
odpowiadajace
im wartości wlasne to wartości energii ukladu
,
• pojawia sie, kwantowanie energii - energia ukladu nie może mieć
dowolnych wartości (może mieć tylko wartości, które odpowiadaj a,
funkcjom wlasnym spelniajacym
odpowiednie warunki)
,
6
Każda wielkość mechaniczna reprezentowana jest przez operator
• operator wspólrzednej
x wektora polożenia: x̂ = x·
,
d
• operator wspólrzednej
px wektora pedu:
p̂x = −i~ dx
,
,
• aby utworzyć operator reprezentujacy
inna, wielkość mechaniczna,
,
należy wyrazić te, wielkość za pomoca, x, y, z i px , py , pz i zastapić
,
wspólrzedne
wektorów polożenia i pedu
przez ich operatory
,
,
~ = ~r × p~
• np. operator wspólrzednej
Lx wektora momentu pedu
L
,
,
(Lx = ypz − zpy ):
∂
∂
L̂x = −i~(y − z )
(21)
∂z
∂y
Niech: α̂fi = ai fi;
α̂fj = aj fj
Dla operatorów stosowanych w mechanice kwantowej:
R ∗
fi fj dτ = 0 , jeśli ai 6= aj
funkcje ortogonalne
Funkcje wlasne operatora, odpowiadajace
różnym wartościom wlasnym,
,
sa, ortogonalne
Wartości wlasne operatora sa, rzeczywiste.
( w tym przypadku: ai , aj - liczby rzeczywiste)
(operator hermitowski)
W. Kolos, J. Sadlej ”Atom i czasteczka”
(Uzup. 6.2), WNT 2008
,
L. Piela, ”Idee chemii kwantowej” (Dod. B.5)
7
Wynik pomiaru wielkości mechanicznej
Wielkość mechaniczna, A reprezentuje operator α̂
α̂f1 = a1 f1 ,
α̂f2 = a2 f2
(22)
α̂f3 = a3 f3, . . . α̂fn = an fn
(23)
Stan ukladu opisuje f1. Wynik pomiaru A to a1 .
Wartość średnia pomiaru wielkości mechanicznej
Wielkość mechaniczna, A reprezentuje operator α̂. Stan ukladu opisuje
funkcja g, która nie jest funkcja, wlasna, operatora α̂.
• Możliwe wyniki pomiaru A: a1 , a2 , a3 . . ., an (z określonym prawdopodobieństwem)
• Wartość średnia ā dużej liczby pomiarów wielkości mechanicznej A:
Z
ā = g ∗ α̂gdτ
(24)
•
•
α̂f1 = a1 f1 ,
α̂f2 = a2 f2
g = c 1 f1 + c 2 f2
• c∗1 c1 -prawdopodobieństwo uzyskania wyniku a1 ,
c∗2 c2 -prawdopodobieństwo uzyskania wyniku a2
8
(25)
(26)
PRZYKLAD:
Pewnej wartości mechanicznej A odpowiada operator α̂.
α̂f1 = 2.0·f1, α̂f2 = 3.5 · f2, α̂f3 = 5.2 · f3
Stan ukladu opisuje funkcja g = 31 f1 +
czyli c1 =
1
3,
c2 =
√
6
3 ,
c3 =
√
√
6
f
3 2
+
√
2
f
3 3
2
3
Wartość średnia pomiaru A:
ā =
ā =
Z
Z
g ∗ α̂gdτ
!
√
√
1 ∗
6 ∗
2 ∗
f1 +
f2 +
f α̂
3
3
3 3
√
√ !
6
2
1
f1 +
f2 +
f3 dτ
3
3
3
(27)
(28)
R √6 ∗ 1
R √2 ∗ 1
1 ∗ 1
f α̂ f dτ + 3 f3 α̂ 3 f1dτ +
ā = 3 f1 α̂ 3 f1 dτ +
3 2 3 1
R 1 ∗ √6
R √6 ∗ √ 6
R √2 ∗ √6
f
α̂
f
dτ
+
f
α̂
f
dτ
+
3 1
3 2
3 2
3 2
3 f3 α̂ 3 f2 dτ +
√
√
√
√
R 1 ∗ 2
R 6 ∗ 2
R 2 ∗ √2
3 f1 α̂ 3 f3 dτ +
3 f2 α̂ 3 f3 dτ +
3 f3 α̂ 3 f3 dτ =
√
√
R
R
R ∗
6
2
1
∗
∗
·
2.0
·
f
f
dτ
+
·
2.0
·
f
f
dτ
+
·
2.0
·
f3 f1dτ +
1 1
2 1
9
9
9
√
√
R ∗
R ∗
R ∗
6
2 3
6
·
3.5
·
f
·
3.5
·
f
·
3.5
·
f3 f2 dτ +
f
dτ
+
f
dτ
+
2
2
1
2
9
9
9
√
√
R
R
R
2
f1∗f3 dτ + 2 9 3 · 5.2 · f2∗f3dτ + 29 · 5.2 · f3∗f3 dτ =
9 · 5.2 ·
R
1
9
· 2.0 + 32 · 3.5 + 92 · 5.2 ≈ 3.71
prawdopodobieństwo uzyskania w wyniku pomiaru wartości 2.0 wynosi
1
9
prawdopodobieństwo uzyskania w wyniku pomiaru wartości 3.5 wynosi
2
3
prawdopodobieństwo uzyskania w wyniku pomiaru wartości 5.2 wynosi
2
9
9
Równanie Schrödingera zależne od czasu
Zmiana w czasie funkcji falowej ψ(x, y, z, t) jest określona równaniem:
~ ∂
− · ψ = Ĥψ
i ∂t
10
(29)