3 10 cm

BAZA ZADAŃ KLASA 3 Ha 2014/2015
GEOMETRIA
1. W trójkącie prostokątnym wysokość poprowadzona na przeciwprostokątną ma długość 10 cm, a promień okręgu
opisanego ma długość 19 cm. Oblicz pole tego trójkąta.
2. Oblicz pole wycinka koła o promieniu 8 cm wyznaczonego przez kąt
a)
b)
c)
3. Pole wycinka koła wyznaczonego przez kąt
jest równe . Oblicz promień tego koła.
4. Oblicz pole trójkąta równobocznego opisanego na okręgu o promieniu długości
.
5. Oblicz promień koła opisanego na trójkącie o bokach długości 7 cm, 6 cm i 12cm.
6. Oblicz pole wycinka koła, jeżeli promień koła ma długość 9 cm , a kąt wycinka tego koła ma miarę 120 .
7. Pole wycinka koła jest równe
10
 cm 2 , a kąt wycinka tego koła ma miarę 48 . Oblicz długość łuku wycinka
3
koła.
8. Przyprostokątne trójkąta prostokątnego maja długości 6 i 8. Oblicz:
a) promień okręgu opisanego na tym trójkącie
b) promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
9. Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym wynosi 5, a jedna z przyprostokątnych jest dwa razy dłuższa
od drugiej. Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt.
10. W trójkąt równoramienny o wysokości 4 i podstawie 6 wpisano okrąg. Oblicz średnicę tego okręgu.
11. Na okręgu o promieniu 2 opisano trójkąt równoramienny o kącie przy podstawie 30. Oblicz obwód tego trójkata.
GEOMETRIA ANALITYCZNA
1.Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta jeżeli środki jego boków mają współrzędne:
.
2. Podstawą trójkąta równoramiennego jest odcinek o końcach w punktach
oraz
. Jedno
z jego ramion zawiera się w prostej o równaniu
. Oblicz współrzędne trzeciego wierzchołka trójkąta.
3. Wyznacz współrzędne punktu , który dzieli odcinek o końcach
i
w stosunku
.
4. Wykaż, że prosta
jest styczna do okręgu
.
5. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i przez środek okręgu o równaniu
.
6. Ile punktów wspólnych ma prosta
z okręgiem
, jeśli
oraz
.
7. Punkty
i
są wierzchołkami trójkąta prostokątnego
, w którym
jest
przeciwprostokątną. Wyznacz współrzędne wierzchołka wiedząc, że leży on na osi
.
8. O ile procent pole koła o promieniu długości 8 jest większe od pola koła wyznaczonego przez okrąg o równaniu
9. Wyznacz odległość punktu
od prostej o równaniu
.
10. Napisz równanie okręgu, którego środek należy do osi
i który przechodzi przez punkty
i
11. Wierzchołkami trójkąta
są punkty
. Oblicz długość środkowej
.
12. Wyznacz równanie okręgu, który jest symetryczny do okręgu o równaniu
względem prostej
.
13. W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty
i
są przeciwległymi wierzchołkami
kwadratu
. Wyznacz równanie prostej .
14. W układzie współrzędnych dane są dwa punkty:
i
.
a) Wyznacz równanie symetralnej odcinka .
b) Prosta
oraz prosta o równaniu
przecinają się w punkcie . Oblicz współrzędne punktu .
15. Ostrokątny trójkąt równoramienny
o podstawie
jest wpisany w okrąg o równaniu
.
Punkty i leżą na prostej o równaniu
. Oblicz współrzędne punktów:
.
16. Punkty
przekątnej tego trapezu.
17. Dany jest jeden koniec odcinka
tego odcinka.
są wierzchołkami trapezu. Oblicz długość krótszej
i jego środek
. Wyznacz współrzędne drugiego końca
18. Określ wzajemne położenie prostych i o równaniach
19. Współrzędne przeciwległych wierzchołków prostokąta
są równe
. Wyznacz
współrzędne pozostałych wierzchołków prostokąta wiedząc, że wierzchołek
leży na prostej
.
20. Punkty
są wierzchołkami trójkąta równoramiennego, w którym
. Prosta
zawierająca wysokość opuszczoną z wierzchołka ma równanie
. Oblicz pole trójkąta
.
21. Wyznacz równanie takiej prostej przechodzącej przez punkt
, która wraz z osiami układu
współrzędnych ogranicza trójkąt o polu równym 2.
22. W okrąg o równaniu
wpisano trójkąt równoboczny
w którym
.
Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta.
23. Środek okręgu przechodzącego przez punkty
leży na osi Ox.
a) Wyznacz równanie tego okręgu.
b) Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej
i oddalonej od początku układu współrzędnych o .
24. Wyznacz równania stycznych do okręgu
równoległych do osi Oy.
25. Punkt
jest wierzchołkiem rombu, którego jeden z boków zawiera się w prostej o równaniu
. Środkiem symetrii tego rombu jest punkt
. Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków
rombu i oblicz jego pole.
26. Dane są punkty
. Wyznacz na prostej
punkt , tak aby
Dla wyznaczonego punktu C:
a) wykaż, że trójkąt
jest prostokątny;
b) wyznacz równanie okręgu opisanego na trójkącie
.
27. Dane są punkty
oraz
których proste
i
są prostopadłe.
28. Określ wzajemne położenie okręgów
i
29. Podaj współrzędne środka i długość promienia okręgu o równaniu:
30. Dane są dwa wierzchołki
prostokąta
.
. Wyznacz wszystkie wartości
, dla
.
.
oraz punkt
należący do boku
CD.
a) Wyznacz równanie prostej zawierającej bok CD;
b) Oblicz współrzędne wierzchołka C;
c) Oblicz współrzędne punktu S przecięcia się przekątnych tego prostokąta.
31. Dany jest punkt
współrzędne punktu
i prosta o równaniu
będąca symetralną odcinka
. Wyznacz
. Wykonaj obliczenia uzasadniające odpowiedź.
32. Wyznacz równanie prostej, która przecina oś Ox pod kątem
, a oś Oy w punkcie
.
33. Napisz równanie wysokości trójkąta o wierzchołkach
opuszczonej
z wierzchołka .
34. Okrąg o równaniu
długość cięciwy
35. Na prostej
i prosta
przecinają się w punktach
. Wyznacz
tego okręgu.
wyznacz punkt, który jest równo odległy od początku układu współrzędnych oraz od punktu
.
36. Punkty
są przeciwległymi wierzchołkami rombu
. Wyznacz równanie przekątnej
tego rombu.
37. Wyznacz równanie prostej równoległej do prostej
przechodzącej przez punkt
równanie prostej prostopadłej do tych prostych przechodzącej przez punkt
.
oraz
38. W trójkącie równobocznym
Oblicz pole trójkąta
dane są wierzchołek
i środek okręgu wpisanego
.
.
39. Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta, którego boki zawarte są w prostych o równaniach:
40. Oblicz długość cięciwy, którą wycina z prostej
okrąg o środku w punkcie
i promieniu 10.
STATYSTYKA OPISOWA
1. Średnia wieku w pewnej grupie studentów jest równa 23 lata. Średnia wieku tych studentów i ich opiekuna jest
równa 24 lata. Opiekun ma 39 lat. Oblicz, ilu studentów jest w tej grupie.
2. Tabela przedstawia pewne dane i ich liczebność
Wartość danej -4 2 4 7 20
Liczebność
7 2 3 6 2
Oblicz średnią arytmetyczną tych danych. Podaj medianę. Oblicz odchylenie standardowe.
3. Przeprowadzono badania, dotyczące liczby osób jadących w samochodach osobowych w godzinach rannych, w
kierunku centrum pewnego miasta. Wyniki badań przedstawione są na diagramie kołowym.
a) Oblicz średnią liczbę osób jadących w samochodzie osobowym w godzinach rannych w kierunku centrum.
b) Oblicz prawdopodobieństwo, że w losowo wybranym samochodzie osobowym, w godzinach rannych, w kierunku
centrum, były więcej niż 3 osoby.
c) Wiedząc, że samochodów osobowych, w których były 4 osoby, zaobserwowano o 350 więcej, niż samochodów
w których było 5 osób, oblicz, ile wszystkich samochodów obserwowano w trakcie badań
4. Uczniowie napisali pracę kontrolną. 30% uczniów otrzymało piątkę, 40% otrzymało czwórkę, 8 uczniów otrzymało
trójkę, a pozostali ocenę dopuszczającą. Średnia ocen wynosiła 3,9. Ilu uczniów otrzymało piątkę?
5. Średnia arytmetyczna liczb:
jest równa 2. Oblicz .
6. Uczeń otrzymał pięć ocen:
. Średnia arytmetyczna tych ocen jest równa 4. Oblicz i medianę tych
pięciu ocen.
7. Średnia wieku 15 mieszkańców pewnego bloku wynosi 33 lata. Gdy do wolnego mieszkania wprowadził się nowy
mieszkaniec, średnia zwiększyła się o 1 rok. Ile lat ma nowy mieszkaniec?
8. Oblicz medianę danych: 0, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 1.
9. Zważono 150 losowo wybranych kostek masła produkowanego przez pewien zakład mleczarski. Wyniki badań
przedstawiono w tabeli.
Masa kostki masła [dag] Liczba kostek masła
16
1
18
15
19
24
20
68
21
26
22
16
Na podstawie danych przedstawionych w tabeli oblicz średnią arytmetyczną oraz odchylenie standardowe masy
kostki masła.
10. W pewnej szkole przeprowadzono ten sam sprawdzian z matematyki w trzech klasach 1a, 1b i 1c. Na poniższym
diagramie przedstawiono wyniki tego sprawdzianu z wyszczególnieniem liczby osób, które uzyskały poszczególne
oceny.
a) Ilu uczniów pisało sprawdzian w poszczególnych klasach?
b) Która z ocen była wystawiana najczęściej?
c) W której klasie średnia ocen ze sprawdzianu była najwyższa?
11. Na diagramie poniżej przedstawiono procentowy podział miesięcznych zarobków w pewnej firmie.
a) Podaj medianę tych zarobków
b )Wyznacz średnią kwotę miesięcznych zarobków w tej firmie.
12. Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III.
Oceny
6 5 4 3 2 1
Liczba uczniów 1 2 6 5 9 2
Oblicz średnią arytmetyczną i kwadrat odchylenia standardowego uzyskanych ocen.
13. Mediana trzech liczb jest równa 4, a ich średnia arytmetyczna jest równa 5. Oblicz sumę największej
i najmniejszej z tych liczb.
14. Marek waha się, który obóz letni wybrać. Aby podjąć najlepszą decyzję sporządził tabelkę i obliczył średnie
ważone. Który obóz powinien wybrać?
Koszt
Termin
Towarzystwo Atrakcyjność
Średnia
(waga 0,4) (waga 0,1) (waga 0,3)
(waga 0,2)
Obóz wędkarski 8
2
8
4
Obóz żeglarski
4
4
6
7
Obóz rowerowy 7
6
5
5
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1. Rzucono dwiema sześciennymi kostkami do gry i określono zdarzenia:
– na każdej kostce wypadła nieparzysta
liczba oczek, – suma wyrzuconych oczek jest nie mniejsza niż 8. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia
.
2. Rzucamy trzy razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek
równego 12.
3. Rzucamy dwa razy symetryczną, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego
na tym, że:
a) suma liczb oczek jest liczbą nieparzystą,
b) iloczyn oczek jest mniejszy od 10
c) za drugim razem wypadnie liczba parzysta
d) różnica oczek w obu rzutach będzie mniejsza niż 3
4. Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że różnica między liczbami oczek wyrzuconych na kostkach (od większej
odejmujemy mniejszą) będzie równa 2?
b) Jaka jest najbardziej prawdopodobna różnica między wynikami na kostkach (od większego odejmujemy mniejszy)?
5.Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo każdego z następujących
zdarzeń:
a) w każdym rzucie wypadnie nieparzysta liczba oczek.
b) suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą większą od 9.
c) suma oczek otrzymanych w obu rzutach jest liczbą nieparzystą i większą od 9.
6. Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami. Jakie jest prawdopodobieństwo, że na pierwszej kostce wypadło dwa
razy mniej oczek niż na drugiej?
7. Rzucamy 6 razy symetryczną 6-ścienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo:
a) otrzymania co najmniej raz szóstki;
b) otrzymania co najwyżej raz szóstki.
8. Z pudełka, w którym jest 6 kul czarnych i 4 żółte, wyjęto dwa razy po jednej kuli ze zwracaniem. Oblicz
prawdopodobieństwo, że wyjęto kule jednakowych kolorów.
9. W urnie znajduję się 5 kul białych i 3 czarne. Wyjmujemy losowo 4 kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród
wyjętych są przynajmniej 2 kule czarne.
10. W pudełku znajduje się 5 kul białych, 3 kule czerwone i 1 zielona. Losujemy 1 kulę. Oblicz prawdopodobieństwo
wylosowania kuli białej.
11. Mamy dwa pudełka z kulami. W pudełku A znajdują się 3 kule zielone i 6 niebieskich, a w pudełku B 5 kul
zielonych i 8 niebieskich. Rzucamy kostką sześcienną do gry. Jeżeli na kostce wypadną co najmniej 3 oczka, to
losujemy kulę z pudełka A, w przeciwnym wypadku losujemy kulę z pudełka B. Oblicz prawdopodobieństwo, że
wylosujemy kulę niebieską.
12. W wazonie stoi 12 czerwonych i 8 żółtych róż. Pani Krystyna wyjęła losowo dwie róże z wazonu. Oblicz
prawdopodobieństwo, że wśród wybranych kwiatów jest przynajmniej jedna róża żółta.
13. Paulina ma w szafie 20 bluzek w kilku kolorach. W tabelce przedstawiono, jaki procent bluzek stanowią bluzki w
danym kolorach
Kolor bluzki %
czerwony
15
niebieski
70
czarny
5
biały
10
Oblicz prawdopodobieństwo, że wybrana losowo bluzka jest niebieska.
14. Piotrek ma 100 płyt CD z muzyką poważną. Codziennie słucha jednej płyty i odstawia ją na miejsce. Płyty wybiera
w sposób losowy. Oblicz prawdopodobieństwo, że w ciągu pięciu kolejnych dni będzie słuchał codziennie tej samej
płyty.
15. Przy okrągłym stole zasiada losowo 8 osób, a wśród nich rodzice z dwojgiem dzieci. Jakie jest
prawdopodobieństwo tego, że dzieci usiądą bezpośrednio między rodzicami?
16. Ze zbioru
losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo
zdarzenia , polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6.
17. Każdej karcie bankomatowej jest przypisany numer identyfikacyjny zwany kodem PIN. Kod ten składa się z
czterech cyfr (cyfry mogą się powtarzać, ale kodem PIN nie może być 0000). Oblicz prawdopodobieństwo, że w
losowo utworzonym kodzie PIN żadna cyfra się nie powtórzy. Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.
18. Ze zbioru liczb
losujemy dwie liczby (mogą się powtarzać). Oblicz prawdopodobieństwo, że
suma wylosowanych liczb jest parzysta.
19. Zamek szyfrowy składa się z 5 tarcz. Na każdej z tarcz znajduje się 6 cyfr. Zamek otwiera kombinacja cyfr podana
w odpowiedniej kolejności. (istotne są cyfry na tarczach oraz kolejność ustawiania tarcz). Jakie jest
prawdopodobieństwo otworzenia zamka przy losowym ustawieniu tarcz?
20. W koszu znajdują się owoce: 12 jabłek i 8 pomarańczy. Wyjmujemy kolejno trzy owoce, nie odkładając ich do
kosza. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy dokładnie dwie pomarańcze?.
Część zadań pochodzi ze strony internetowej http://www.zadania.info . Można tam znaleźć rozwiązania.