Reprezentacja punktowa funkcji w postaci szeregu Fouriera

Reprezentacja punktowa funkcji w postaci szeregu
Fouriera
zadania na ćwiczenia
Zad. 1. Udowodnij, że funkcja kawałkami ciągła na odcinku [a, b] jest ograniczona (przy
a i b skończonych). Podać kontrprzykład dla a = −∞ lub b = ∞.
Zad. 2. Udowodnij, że funkcja z klasy C 1 [a, b] ma na [a, b] wariację ograniczoną.
Zad. 3. Rozwiń w szereg Fouriera funkcję f o okresie a = 2 zdefiniowaną na [−1, 1] wzorem
z ∈ C \ Z.
f (t) = cos πzt,
Wyprowadź równości:
π ctg πz =
∞
X
1
1
+ 2z
,
2
2
z
n=1 z − n
Zad. 4. Udowodnij, że
∞
X
1
(−1)n
π
= + 2z
.
2
2
sin πz
z
n=1 z − n
∞
X
sin nx
∀x∈(0,2π)
n
n=1
=
π x
− .
2
2
Na podstawie powyższej równości oblicz sumę szeregu
f (x) =
1 2iπn x
a,
e
n
n∈Z\{0}
X
0 < x < a.
Zad. 5. Niech f będzie funkcją 2π-okresową zdefiniowaną na (0, 2π) wzorem
x
.
f (x) = ln 2 sin
2
1. Sprawdź, czy f jest parzysta.
2. Udowodnij, że f ∈ L1P (0, 2π).
3. Czy f ma wariację ograniczoną na (0, 2π)? Czy należy do L2p (0, 2π)?
4. Aby rozwinąć funkcję f w szereg Fouriera, oblicz an (n ­ 1). Zauważ najpierw,
że całka
Z π
x
In =
ctg sin nx dx
2
0
nie zależy od n (oblicz In − In−1 ).
5. Oblicz wartość a0 i wykaż, że
∀x∈(0,2π)
∞
X
1
x
.
cos nx = − ln 2 sin
2
n=1 n
1
Zad. 6. Niech f ∈ L1P (0, a) i niech {fk } będzie ciągiem z L1P (0, a) takim, że
a
Z
lim
k→∞ 0
|f (t) − fk (t)| dt = 0.
Udowodnij, że dla ustalonego n
lim cn (fk ) = cn (f ).
k→∞
Zad. 7. (Szereg Fouriera iloczynu funkcji) Niech f i g będą funkcjami z przestrzeni L2P (0, a).
1. Sprawdź, że f g ∈ L1P (0, a).
2. Niech
N
X
fN (t) =
t
cn (f )e2iπn a ,
n=−N
N
X
gN (t) =
t
cn (g)e2iπn a .
n=−N
Udowodnij, że
cn (fN gN ) =
N
X
cn−k (f )ck (g).
k=−N
3. Udowodnij, że fN gN jest zbieżne do f g w L1P (0, a) i na mocy poprzedniego
zadania wywnioskuj, że
∀n∈Z
cn (f g) =
∞
X
k=−∞
i szereg ten jest zbieżny bezwzględnie.
2
cn−k (f )ck (g)