Podstawy przetwarzania sygnałów

Podstawy przetwarzania sygnałów
5. Reprezentacja punktowa funkcji w postaci szeregu Fouriera
Ćw. 5.1 Rozwiń w szereg Fouriera funkcję f o okresie a = 2 zdefiniowaną na [−1, 1) wzorem
z ∈ C \ Z.
f (t) = cos πzt,
Wyprowadź równości:
∞
X
1
1
π ctg πz = + 2z
,
2
2
z
n=1 z − n
Ćw. 5.2 Udowodnij, że
∞
X
1
(−1)n
π
= + 2z
.
2
2
sin πz
z
n=1 z − n
∞
X
π x
sin nx
= − .
n
2
2
n=1
∀x∈(0,2π)
Na podstawie powyższej równości oblicz sumę szeregu
f (x) =
1 2iπn x
a,
e
n
n∈Z\{0}
X
0 < x < a.
Ćw. 5.3 Niech f ∈ L1P (0, a) i niech {fk } będzie ciągiem z L1P (0, a) takim, że
Z a
lim
k→∞ 0
|f (t) − fk (t)| dt = 0.
Udowodnij, że dla ustalonego n
lim cn (fk ) = cn (f ).
k→∞
Ćw. 5.4 (Szereg Fouriera iloczynu funkcji) Niech f i g będą funkcjami z przestrzeni L2P (0, a).
1. Sprawdź, że f g ∈ L1P (0, a).
2. Niech
N
X
fN (t) =
t
cn (f )e2iπn a ,
n=−N
N
X
gN (t) =
t
cn (g)e2iπn a .
n=−N
Udowodnij, że
cn (fN gN ) =
N
X
cn−k (f )ck (g).
k=−N
3. Udowodnij, że fN gN jest zbieżne do f g w L1P (0, a) i na mocy poprzedniego zadania
wywnioskuj, że
∀n∈Z
cn (f g) =
∞
X
k=−∞
i szereg ten jest zbieżny bezwzględnie.
cn−k (f )ck (g)