zadania na cwiczenia nr 2 rownania Maxwella i fala plaska

Ćwiczenia 2, 3
Równania Maxwella – fala płaska 1. Równania Maxwella mają następującą postać:
 =  (1)
div E

0
∂
B
(2)
∂t
 =0 (3)
div B
 =− ∂ D  
rot H
J (4)
∂t
∂
div J =−
(5)
∂t
Pokazać, że:
a) równanie (3) jest zgodne z równaniem otrzymanym z równania (2) po obliczeniu dywergencji obu jego stron,
b) równanie (5) można otrzymać stosując obustronnie operator dywergencji do równania (4),
2
1 ∂ 
E
2



=0
c) w próżni ( J =0 , = 0 ) pole E spełnia równanie falowe ∇ E − 2
2
V ∂t
wskazówka: ∇× ∇× 
A =∇  div 
A −∇ 2 
A
rot 
E =−


2
2 
 = 
2. Udowodnij, że E
γ E=
0
E 0 e−γk⋅r jest rozwiązaniem ∇ E−
3. Oblicz długość fali o częstotliwości 30 MHz w próżni oraz w ośrodku o następujących parametrach: ε’=2, µ’=1, σ=0, a także σ=1.
4. Wyznacz prędkość fazową fali radiowej w próżni oraz impedancję falową w próżni.
5. Jednorodna fala płaska o częstotliwości 100 MHz rozchodzi się w kierunku osi y w ośrodku −3 s
o parametrach w =4,w =1, =10 [ ] . Amplitudy zespolone składowych pola E m
wynoszą:
j30 mV
− j60 mV
E x =50 e [
] , E z=70 e
[
]
m
m
Obliczyć natężenie pola wypadkowego dla t=5s w punkcie o współrzędnych (3,6,21) [m]. Jaki kąt tworzy wypadkowy wektor z osią x? Jaka jest polaryzacja opisanej fali?
Zapisać równania fali w postaci rzeczywistej i zespolonej.
o
o
6. W bezstratnym ośrodku o w=2,2, w=1 rozchodzi się w kierunku osi z liniowo  tworzy z osią spolaryzowana fala płaska o częstotliwości f=100MHz. Kierunek wektora E
mV
] , a faza początkowa wynosi 20o. Napisać x kąt 125o. Amplituda wektora Em=70 [
m
wyrażenie na składowe pola Ex(t) i Ey(t)
7. Oblicz maksymalny kąt między wektorami E oraz D w ośrodku o anizotropii jednoosiowej o przenikalności elektrycznej:
1 0 0
= 0 1 0 0
0 0 4
[ ]
 = x H x cos t− z  y H y sin t− z  , gdzie:
8. dane jest pole magnetyczne H
 w postaci zespolonej
H x , H y ­są liczbami rzeczywistymi. Zapisz wektor H
 = x  1 j y e j  t− z
 w postaci zespolonej wyrażony jest zależnością E
9. Wektor E
2
gdzie = j  . Jaka jest polaryzacja przedstawionej fali?
0
0
0
0
[
]
10. Wykazać, że w ośrodku liniowym, jednorodnym, izotropowym bez prądów wymuszonych, naładowanym ładunkiem elektrycznym o gęstości , ładunek ten maleje wykładniczo ze 
stałą czasową  przy czym  – jest konduktywnością ośrodka (zakładamy, że jest ona różna od 0), a  stałą elektryczną.
11. W dielektryku bezstratnym o względnych przenikalnościach w=4 i w=1, rozchodzi się płaska fala elektromagnetyczna. Znaleźć wektor pola elektrycznego tej fali, jeśli wiadomo, że wektor pola magnetycznego w chwili t=0 wyraża się zależnością:
 = x e− z
H
12. Płaska kołowo spolaryzowana fala elektromagnetyczna o częstotliwości f =10[MHz] i mV
] pada na powierzchnię z=0 rozdzielającą dwa ośrodki stratne, amplitudzie EmI=50 [
m
pod kątem α =45o. Ułóż równanie fali rozchodzącej się w ośrodku pierwszym, oraz zapisz  .
amplitudę zespoloną wektora E
 fali rozchodzącej się w próżni wyraża się wzorem
13. Wektor E
j  t−2x−3y− z

E=2 x 3 y 4 z  e
z
a) określić stałą z tak aby fala była fala płaską

b) znaleźć wyrażenie opisujące wektor H
14. W polu płaskiej, spolaryzowanej pionowo fali, rozchodzącej się w kierunku osi y ustawiono prostokątną ramkę leżącą w płaszczyźnie yz. Obliczyć siłę elektromotoryczną indukowaną w E  y ,t =E m cos  t− y
ramce jeśli jej wymiary to AxB [m], a 
15. Umieszczony poziomo pręt metalowy obraca się wokół pionowej osi, dzielącej pręt na dwie części w stosunku 1:(k­1). Pręt wykonuje n obrotów na sekundę, a jego długość wynosi l. Znaleźć różnicę potencjałów między końcami pręta, jeżeli obraca się on w pionowym, jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B.