Lista zada« nr 10: Funkcje rozmaite

Lista zada« nr 10: Funkcje rozmaite
(1) Udowodnij, »e
(cosh(t))2 − (sinh(t))2 = 1
oraz
cosh(t + s) = cosh(t) cosh(s) + sinh(t) sinh(s),
sinh(t + s) = cosh(t) sinh(s) + sinh(t) cosh(s).
(2) Wyprowad¹ wzór na
tgh(t + s).
arsinh, arcosh
(3) Funkcje odwrotne do funkcji hiperbolicznych to funkcje polowe :
artgh (area sinus hiperboliczny
sinh, cosh (na [0, ∞)) i tgh, tj.
i
itp.) s¡ funkcjami odwrotnymi odpowiednio do
arcosh(x) = t
wtedy i tylko wtedy, gdy
cosh(t) = x
arsinh(y) = t
wtedy i tylko wtedy, gdy
sinh(t) = y;
artgh(z) = t
wtedy i tylko wtedy, gdy
tgh(t) = z.
oraz
t ∈ [0, ∞);
Wyznacz dziedziny funkcji polowych i wyra¹ je przy pomocy logarytmu naturalnego.
(4) Udowodnij, »e funkcja
f
dana wzorem
jest elementarna. Czy funkcja
(5) Udowodnij, »e funkcja
t>0
f
sign
f (t) = 1 dla t > 0 oraz f (t) = −1 dla t < 0
jest elementarna?
dana wzorem
f (t) = t
t ≤ 0
dla
opisuje warunek
(f ◦ f )(t) = t
dla wszystkich
tej wªasno±ci s¡ monotoniczne?
(7) Czy istnieje funkcja rzeczywista
dla
Niech
f
t∈
R
f
t∈
R
R
f
okre±lonej na zbiorze
? Czy wszystkie funkcje o
okre±lona na zbiorze
o wªasno±ci
f (f (t)) = −t
b¦dzie funkcj¡ rzeczywist¡, okre±lon¡ na zbiorze liczb rzeczywistych.
Gf = {T ∈
f
dla
?
oznacza zbiór okresów funkcji
Funkcja
√
f (t) = t t
jest elementarna.
(6) Jak¡ geometryczn¡ wªasno±¢ wykresu funkcji rzeczywistej
R
oraz
f,
czyli
R : f (t) = f (t + T )
jest zatem okresowa, je±li
Gf 6= {0}.
dla wszystkich
Je±li
f
t∈
Niech
Gf
R}.
jest okresowa, niech
τf = inf(Gf ∩ (0, ∞)).
Gdy
τf > 0,
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
f.
Wyka», »e Gf jest podgrup¡
, tj. 0 ∈ G oraz je±li T, S ∈ Gf , to T +S, T −S ∈ Gf .
Udowodnij, »e je±li G ⊆
jest podgrup¡
, to G = Gf dla pewnej funkcji f .
Podaj przykªad niestaªej funkcji okresowej f , dla której τf = 0.
Udowodnij, »e je±li f jest okresowa, ci¡gªa w 0 oraz τf = 0, to f jest staªa.
Niech f i g b¦d¡ funkcjami okresowymi o okresach podstawowych τf i τg . Udowodnij, »e je±li τf /τg jest ró»n¡ od 1 liczb¡ wymiern¡, to najmniejsza wspólna
wielokrotno±¢ τ liczb τf i τg jest okresem f + g , lecz nie musi by¢ jej okresem
podstawowym (tj. mo»liwa jest nierówno±¢ τf +g < τ ).
wielko±¢
τf
nazywana jest okresem podstawowym funkcji
R
R
R
Zadania do samodzielnego rozwi¡zania przed ¢wiczeniami
(i) Czy suma funkcji okresowych jest okresowa? A iloczyn? A zªo»enie?
(ii) Utwórz wszystkie prawdziwe zdania zgodne z szablonem:
zªo»enie funkcji
rosn¡cej
z funkcj¡
malej¡cej
rosn¡c¡
jest funkcj¡
malej¡c¡
rosn¡c¡
malej¡c¡
.
(iii) Utwórz wszystkie prawdziwe zdania zgodne z szablonem:





suma
iloczyn
zªo»enie
funkcji

i funkcji
parzystej
nieparzystej
parzystej
jest funkcj¡
nieparzystej
parzyst¡
nieparzyst¡
.
Zadania dodatkowe
(A) Skonstruuj dwie (nieci¡gªe) funkcje okresowe
wszystkich
t ∈
R
.
Wskazówka:
potraktuj
f
R
g
i
takie, »e
f (t) + g(t) = t
jako przestrze« liniow¡ nad
dla
Q
i
wykorzystaj dowoln¡ baz¦ Hamela tej przestrzeni (jest to wi¦c zadanie z algebry
liniowej, nie z analizy matematycznej).
(B) Udowodnij (indukcyjnie!), »e funkcja wykªadnicza
exp
nie jest sum¡ sko«czenie
wielu funkcji okresowych.
(C) Niech
f
i
g
b¦d¡ funkcjami okresowymi o okresach podstawowych
wodnij, »e je±li
τf /τg
jest liczb¡ niewymiern¡ oraz
f +g
τf
i
jest ci¡gªa, to
τg . Udof + g nie
jest funkcj¡ okresow¡.
(D) Wska» przykªad okresowych funkcji
których
τf /τg
(E) Udowodnij, »e
f
i
g
jest liczb¡ niewymiern¡, lecz
f (t) = btc
Uwagi:
• sinh(t) = 12 (et − e−t );
• cosh(t) = 21 (et + e−t );
• tgh(t) = sinh(t)/ cosh(t).
o okresach podstawowych
f +g
jest okresowa.
jest granic¡ ci¡gu funkcji elementarnych.
τf
i
τg ,
dla