Pytania

Zestaw pytań na egzamin magisterski z matematyki
(dla uczestników seminarium dra Marka Majewskiego)
w roku akademickim 2014/2015
1. Podać definicj˛e funkcji f : X → Y. Co to jest dziedzina, przeciwdziedzina, zbiór wartości? Co to jest funkcja różnowartościowa, „na” oraz bijekcja? Co to jest funkcja
odwrotna? Podać przykłady.
2. Podać definicj˛e ciagu.
˛
Podać definicj˛e granicy ciagu.
˛
Wskazać interpretacj˛e geometryczna.˛ Co nazywamy ciagiem
˛
zbieżnym, a co rozbieżnym? Podać przykłady. Podać
własności rachunkowe granicy dla ciagów
˛
zbieżnych i rozbieżnych.
3. Podać definicj˛e podciagu
˛ (liczbowego). Co to jest punkt skupienia ciagu?
˛
Podać przykłady. Co to jest zbiór domkni˛ety, zwarty (określenie dla podzbiorów R za pomoca˛
ciagów)?
˛
Podać przykłady i ilustracj˛e geometryczna.˛
4. Podać definicj˛e szeregu liczbowego. Co to znaczy, że szereg jest zbieżny? Co to znaczy, że szereg jest rozbieżny? Podać przykłady. Podać warunek konieczny zbieżności
szeregu.
5. Sformułować kryterium porównawcze zbieżności szeregu o wyrazach nieujemnych
oraz kryteria d’Alemberta i Cauchy’ego zbieżności szeregu.
6. Co to znaczy, że szereg liczbowy jest zbieżny? Co to jest zbieżność bezwzgl˛edna i warunkowa? Podać (również na przykładach) zależności pomi˛edzy tymi zbieżnościami
i zbieżnościa˛ w zwykłym sensie.
7. Sformułować definicj˛e w sensie Heinego i Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie. Podać ilustracj˛e graficzna˛ w różnych sytuacjach.
8. Sformułować definicj˛e Heinego i Cauchy’ego funkcji ciagłej
˛
w punkcie. Co to jest funkcja ciagła?
˛
Sformułować i zilustrować graficznie własność Darboux.
9. Co to jest iloraz różnicowy? Podać definicj˛e pochodnej funkcji f : ( a, b) → R. Co to
znaczy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie, w zbiorze? Zinterpretować geometrycznie, poj˛ecia ilorazu różnicowego i pochodnej. Podać definicje stycznej i siecznej.
10. Podać własności rachunkowe pochodnej. Podać zwiazek
˛
różniczkowalności i ciagłości
˛
funkcji. Podać odpowiedni przykład. Sformułować twierdzenia o pochodnej funkcji
odwrotnej i złożeniu funkcji.
11. Co to jest pochodna funkcji w punkcie? Co to jest funkcja różniczkowalna? Jakie
funkcje sa˛ różniczkowalne? Sformułować twierdzenie o zwiazku
˛
pochodnej z monotonicznościa.˛
12. Sformułować twierdzenie Rolle’a i Lagrange’a oraz dokonać interpretacji geometrycznej tych twierdzeń.
13. Podać definicj˛e pochodnej kierunkowej funkcji f : G → R, G ⊂ Rn . Dokonać interpretacji geometrycznej. Co to sa˛ pochodne czastkowe?
˛
Co to jest gradient funkcji
f : G → R, G ⊂ Rn ?
1
14. Sformułować definicj˛e ekstremum (maksimum, minimum) funkcji jednej zmiennej. Co
to jest ekstremum (maksimum, minimum) właściwe, globalne? Sformułować warunek
wystarczajacy
˛ istnienia ekstremum funkcji różniczkowalnej jednej zmiennej.
15. Sformułować definicj˛e ekstremum (maksimum, minimum) funkcji wielu zmiennych
rzeczywistych. Sformułować warunek wystarczajacy
˛ istnienia ekstremum funkcji wielu
zmiennych.
16. Podać definicj˛e podziału, sumy górnej i sumy dolnej Darboux, całki dolnej i górnej
Darboux oraz całki Riemanna. Jakie funkcje sa˛ całkowalne w sensie Riemanna? Podać
przykład funkcji niecałkowalnej w sensie Riemanna.
17. Sformułować podstawowe twierdzenie rachunku całkowego oraz twierdzenie o wartości średniej. Zilustrować geometrycznie to ostatnie twierdzenie. Jakie sa˛ geometryczne zastosowania całki Riemanna?
18. Podać definicj˛e liczby zespolonej. Co to jest cz˛eść rzeczywista, cz˛eść urojona, sprz˛eżenie i moduł liczby zespolonej? Co to jest jednostka urojona? Jaka jest interpretacja
geometryczna tych poj˛eć?
19. Co to jest postać kanoniczna liczby zespolonej? Jak wykonuje si˛e działania na liczbach
zespolonych w postaci kanonicznej? Co to jest postać postać trygonometryczna liczby
zespolonej? Co to jest argument i argument główny liczby zespolonej? Jak wykonuje
si˛e działania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej?
20. Co nazywamy pierwiastkiem liczby zespolonej? Jaka jest różnica mi˛edzy pierwiastkiem liczby zespolonej o zerowej cz˛eści urojonej a pierwiastkiem tej liczby rozumianej
jako liczby rzeczywistej? Podać i zilustrować na przykładzie wzór na wszystkie pierwiastki n–tego stopnia z liczby zespolonej.
21. Sformułować definicj˛e przestrzeni liniowej. Podać przykłady. Co to jest podprzestrzeń
przestrzeni liniowej? Sformułować warunek konieczny i wystarczajacy
˛ na to, aby podzbiór przestrzeni liniowej był podprzestrzenia˛ liniowa.˛ Podać przykłady.
22. Podać definicj˛e kombinacji liniowej. Co to jest zbiór (układ) wektorów liniowo zależnych i niezależnych? Co to jest baza przestrzeni liniowej? Co to jest wymiar przestrzeni liniowej? Podać przykłady.
23. Podać definicj˛e przekształcenia liniowego. Podać przykłady. Co nazywamy mono–,
epi–, izo–, auto– oraz endomorfizmem? Co to jest jadro,
˛
obraz oraz rzad
˛ przekształcenia liniowego? Podać przykłady. Jaki jest zwiazek
˛
wymiaru dziedziny z wymiarem
jadra
˛
i rz˛edem przekształcenia liniowego? Jaki jest zwiazek
˛
jadra
˛
z różnowartościowościa˛ przekształcenia liniowego?
24. Podać definicj˛e przekształcenia liniowego. Podać definicj˛e macierzy przekształcenia
liniowego. Jak znaleźć macierz przekształcenia danego wzorem?
25. Zdefiniować wektor własny i wartość własna˛ endomorfizmu. Co to jest równanie charakterystyczne i wielomian charakterystyczny macierzy? Jak wykorzystać te poj˛ecia
do znajdowania wektorów i wartości własnych endomorfizmu?
26. Co to jest σ−ciało zbiorów? Podać przykłady. Co to jest σ−ciało generowane przez
rodzin˛e zbiorów? Co to sa˛ zbiory borelowskie? Co to jest funkcja mierzalna? Jakie sa˛
warunki mierzalności funkcji rzeczywistej?
2
27. Podać definicj˛e i najprostsze własności miary. Podać przykłady.
28. Co to jest miara zewn˛etrzna? Jak wprowadzamy miar˛e Lebesgue’a?
29. Co nazywamy funkcja˛ prosta?
˛ Jak definiujemy całk˛e z funkcji prostej? Sformułować
definicj˛e całki z funkcji mierzalnej nieujemnej. Jak definiujemy całk˛e (wzgl˛edem miary
Lebesgue’a) z dowolnej funkcji rzeczywistej. Co nazywamy funkcja˛ całkowalna˛ (sumowalna)?
˛
30. Co to jest przestrzeń topologiczna? Co to znaczy, że jedna topologia jest słabsza od
drugiej? Podać przykłady.
31. Co to jest zbiór otwarty, domkni˛ety, spójny, zwarty? Jakie sa˛ najprostsze własności
tych zbiorów?
32. Co to znaczy, że ciag
˛ elementów przestrzeni topologicznej jest zbieżny? Podać przykłady. Jak zachowuje si˛e zbieżność ciagów
˛
przy osłabianiu (wzmacnianiu topologii)?
33. Co nazywamy baza˛ przestrzeni topologicznej? Jak za jej pomoca˛ wprowadzić topologi˛e? Wyjaśnić również na przykładzie.
34. Co nazywamy funkcja˛ ciagł
˛ a?
˛ Jak zachowuje si˛e ciagłość
˛
w przypadku osłabiania topologii (w dziedzinie i w przeciwdziedzinie)? Co to jest homeomorfizm? Podać przykłady.
35. Co to jest ciag
˛ zbieżny? Co to jest ciag
˛ Cauchy’ego? Jaki jest zwiazek
˛
mi˛edzy tymi
poj˛eciami. Co to jest przestrzeń zupełna? Podać przykłady (pozytywny i negatywny).
36. Co to jest norma? Co to jest przestrzeń unormowana? Co nazywamy ciagiem
˛
zbieżnym w przestrzeni unormowanej? Co to jest funkcja ciagła
˛
(odwzorowujaca
˛ dwie
przestrzenie unormowane).
37. Co to jest norma? Co to jest przestrzeń unormowana? Co to jest przestrzeń Banacha?
Podać przykłady.
38. Podać definicj˛e iloczynu skalarnego? Co to jest przestrzeń unitarna? Co to jest przestrzeń Hilberta? Podać przykłady.
39. Co to sa˛ wektory ortogonalne? Sformułować twierdzenie o rzucie ortogonalnym.
40. Co to jest operator liniowy? Co to jest operator ograniczony? Sformułować twierdzenie Banacha o zwiazku
˛
operatora ograniczonego i ciagłego.
˛
Co to jest norma operatora? Podać przykład.
Marek Majewski,
Łódź, 6 lipca 2015.
3