Matematyka dyskretna 2 Lista 1 1. Niech S = {1,2,3,4,5} oraz F = {S1

Matematyka dyskretna 2
Lista 1
1. Niech S = {1, 2, 3, 4, 5} oraz F = {S1 , S2 , S3 , S4 } niech bȩdzie rodzina̧ podzbiorów zbioru S postaci:
S1 = {1, 2, 3}, S2 = {4, 5}, S3 = {2}, S4 = {3, 4}. Znaleźć graf przeciȩć Ω(F ).
2. Niech S bȩdzie zbiorem wszystkich możliwych permutacji zbioru [12]. Dla danych niżej rodzin F
podzbiorów zbioru S znaleźć graf przeciȩć:
• F = {S1 , S2 , . . . , S12 }, Si jest zbiorem tych permutacji zbioru [12], w których i jest punktem
stałym,
• F = {S1 , S2 , S3 , S4 , S5 }, S1 jest zbiorem tych permutacji zbioru [12], w których 1 jest punktem
stałym, S2 jest zbiorem tych permutacji zbioru [12], w których 2 jest punktem stałym, S3 jest
zbiorem tych permutacji zbioru [12], które w rozkładzie na cykle maja̧ cykl (12), S4 jest zbiorem
tych permutacji zbioru [12], które w rozkładzie na cykle maja̧ cykl (32), S5 jest zbiorem tych
permutacji zbioru [12], które w rozkładzie na cykle maja̧ cykl (59)
3. Niech Y = {(Ai , Bi ), i ∈ [h]} bȩdzie rodzina̧ par uporza̧dkowanych pozbiorów ustalonego zbioru
spełniaja̧ca̧ założenia ∀(i ∈ [h])Ai ∩ Bi = ∅ oraz ∀(i 6= j, i, j ∈ [h])Ai ∩ Bj 6= ∅. Niech S bȩdzie zbiorem
S
wszystkich permutacji zbioru hi=1 (Ai ∪Bi ) Znaleźć graf przeciȩć rodziny F = {Si : i ∈ [h]} podzbiorów
zbioru S takich, że jeżeli π jest permutacja̧ z Si to wszystkie elementy zbioru Ai w permutacji π
poprzedzaja̧ dowolny element zbioru Bi .
4. Znajdź reprezentacjȩ przedziałowa̧ dla grafu przedziałów danego niżej.
5. Mówimy, że graf G jest tranzytywnie orientowalny (comparability graph) jeżeli każdej jego krawȩdzi
można nadać kierunek (krawȩdź {a, b} uważać za parȩ uporza̧dkowana̧ (a, b) albo (b, a)) tak, że spełniony jest warunek:
(a, b) ∈ F ∧ (b, c) ∈ F ⇒ (a, c) ∈ F
gdzie F jest zbiorem krawȩdzi grafu G z nadanym kierunkiem.
Gouila, Houri udowodnili, że dopełnienie grafu przedziałów jest grafem tranzytywnie orientowalnym.
Dowód. Niech {Iv : v ∈ V } bȩdzie przedziałowa̧ reprezentacja̧ grafu G = (V, E). Definiujemy orientacjȩ
F grafu G nastȩpuja̧co:
∀({x, y} ∈ E(G))(x, y) ∈ F ⇔ Ix poprzedza na prostej Iy .
Oczywiście taka orientacja jest tranzytywna.
Zbadaj, który z przedstawionych niżej grafów ba̧dź ich dopełnień posiada tranzytywna̧ orientacjȩ. Jakie
wnioski odnośnie ”bycia grafem przedziałów” można wycia̧gna̧ć z tych badań?
1
6. Niech A1 , A2 bȩda̧ maksymalnymi klikami grafu przedziałów G i niech F bȩdzie tranzytywna̧ orientacja̧
grafu G. Pokazać, że:
(a) Istnieje krawȩdź e = {u, v} ∈ E(G) taka, że u ∈ A1 i v ∈ A2 ,
(b) Wszystkie krawȩdzie zbioru E(G) maja̧ce jeden z końców w A1 i drugi w A2 maja̧ albo orientacjȩ
w F z A1 do A2 albo z A2 do A1 .
7. Piȩć osób odwiedziło bibliotekȩ w dniu, w którym został skradziony bezcenny egzemplarz pewnego
traktatu. Każda z osób była tam raz, spȩdziła jakiś czas i wyszła. Jeśli dwie osoby przebywały w
bibliotece w tym samym czasie to co najmniej jedna z nich widziała tȩ druga̧. Detektyw przepytał
wszystkie osoby w zwia̧zku z kradzieża̧ i sporza̧dził raport nastȩpuja̧cej treści: osoba pierwsza widziała
osobȩ druga̧ i trzecia̧, osoba druga widziała osobȩ pierwsza̧ i czwarta̧, osoba pia̧ta widziała osobȩ szósta̧
i czwarta̧, osoba szósta widziała osobȩ pierwsza̧ i czwarta̧, osoba trzecia widziała osobȩ druga̧ i pia̧ta̧,
osoba czwarta widziała osobȩ pia̧ta̧ i trzecia̧. Czy jest możliwe, że wszyscy mówia̧ prawdȩ?
8. Czy istnieje drzewo czterowierzchołkowe, które nie jest grafem przedziałów? Czy istnieje takie drzewo
o piȩciu wierzchołkach?
9. Niech G bȩdzie grafem spójnym. Jaki warunek musi spełniać graf G aby L(G) był grafem regularnym?
10. Czy prawda̧ jest, że nastȩpuja̧ce dwa warunki sa̧ równoważne dla spójnego grafu G?
• L(G) jest grafem Eulera,
• stopnie wszystkich wierzchołków w grafie G sa̧ jednakowej parzystości.
11. Skonstruować co najmniej 4-wierzchołkowy graf G taki, że L(G) nie jest grafem Eulera ale L(L(G)) =
L2 (G) jest grafem Eulera.
12. Znaleźć liczbȩ wierzchołków i liczbȩ krawȩdzi grafu T (P4 ∪ K1,2 ).
13. Które z nastȩpuja̧cych stwierdzeń sa̧ prawdziwe:
(a) Dla dowolnego spójnego grafu G grafy L2 (G), L2 (G) sa̧ izomorficzne.
(b) Grafy T (Kp ), L(Kp+1 ) sa̧ izomorficzne.
(c) Dla dowolnego spójnego grafu G z faktu, że L(G) jest grafem Eulera wynika, że T (G) jest grafem
Eulera.
2